методические рекомендации. Методические рекомендации по обработке результатов измерений при выполнении лабораторных работ по физике
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Кафедра «Физика» Утверждаю Декан энерго-экологического факультета, канд. техн. наук, доц. _____________ В.Е. Ерещенко «____» __________ 2017 г. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ МОСКВА МАДИ 2017 УДК 53 ББК 22.3 С524 Составители: Смык А.Ф., Спиридонова Л.В., Симонова Н.А. Смык, А.Ф. С524 Методические рекомендации по обработке результатов измерений при выполнении лабораторных работ по физике / сост.: А.Ф. Смык, Л.В. Спиридонова, Н.А. Симонова. – М.: МАДИ, 2017. – 44 с. В данном пособии представлена методика обработки результа- тов измерений, используемая в физическом практикуме МАДИ. Реко- мендовано для студентов всех направлений подготовки, выполняю- щих лабораторные работы по физике. УДК 53 ББК 22.3 © МАДИ, 2017 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. Принципы построения систем единиц и основные единицы системы СИ ......................................................... 4 2. Характеристики числа ............................................................................ 6 3. Классификация погрешностей............................................................... 9 4. Вычисление погрешностей при прямых измерениях ........................ 12 5. Расчёт погрешностей при косвенных измерениях ............................ 16 6. Приборы с нониусом и электроизмерительные приборы ................ 21 7. Задачи для самостоятельного решения ............................................ 29 8. Контрольные вопросы .......................................................................... 32 9. Рекомендации по выполнению лабораторных работ по физике ............................................................................................... 33 10. Варианты заданий для проверки усвоения методики обработки результатов измерений в физическом практикуме .................................................................. 39 Список литературы ................................................................................... 44 4 1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ ЕДИНИЦ И ОСНОВНЫЕ ЕДИНИЦЫ СИСТЕМЫ СИ Между физическими величинами существуют связи, выражаю- щие либо физические законы, такие как, например, второй закон Нью- тона F a m = или закон всемирного тяготения 1 2 2 , m m F r = γ либо форму- лы определения физических величин, такие как, например, плотности , m V ρ = давления F P S = Среди всех единиц физических величин часть можно выбрать независимо. Тогда все остальные единицы фи- зических величин будут определяться через независимые единицы с помощью уравнений связи. Единицы физических величин, принятые в качестве независимых, носят название основных единиц измерения. Единицы физических величин, определяемые через основные едини- цы с помощью уравнений связи, носят название производных единиц. Совокупность основных и производных единиц составляет систему единиц. В результате международных усилий была разработана и с 1963 г. введена в действие Международная система единиц, сокра- щенно обозначенная СИ. Эта система единиц является универсаль- ной, т.к. она охватывает все области измерения и устанавливает чёт- кую связь между единицами измерения механических, тепловых, электрических, магнитных, световых и акустических величин. Всякое измерение физической величины представляет собой прямое или косвенное сравнение ее с эталоном или с другой одно- родной величиной, которая принята за единицу измерения. Основными единицами измерения системы СИ являются: 1. Единица длины – метр (м). 2. Единица массы – килограмм (кг). 3. Единица времени – секунда (с). 4. Единица термодинамической температуры – Кельвин (К). 5. Единица силы тока – Ампер (А). 6. Единица силы света – кандела (кд). 7. Единица количества вещества – моль (моль). 5 Дополнительные единицы: 1. Единица плоского угла – радиан (рад). 2. Единица телесного угла – стерадиан (ср). Килограмм – единственная единица СИ, которая определена при помощи предмета, изготовленного человеком. Эталон килограмма хранится в Международном бюро мер и весов (г. Севр, Франция) и представляет собой цилиндр диаметром и высотой 39,17 мм из пла- тино-иридиевого сплава. Его копии хранятся в национальных метро- логических учреждениях по всему миру. Все остальные единицы оп- ределяются с помощью фундаментальных физических свойств и за- конов. Например, 1 секунда – это интервал времени, равный 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 при от- сутствии возмущения внешними полями. А 1 метр равен длине пути, который свет проходит в вакууме за промежуток времени, равный 1 299792458 секунды. Как видно из этого определения, величина 1 метра привязана к секунде с помощью фундаментальной постоянной – скорости света в вакууме, которая принята равной в точности 299 792 458 м/с. Таблица 1 Приставки для образования кратных и дольных единиц Кратность и дольность Приставки Обозначения русское международное 10 12 тера Т Т 10 9 гига Г G 10 6 мега М M 10 3 кило к k 10 2 гекто г h 10 дека да da 10 –1 деци д d 10 –2 санти с c 10 –3 милли м m 10 –6 микро мк μ 10 –9 нано н n 10 –12 пико п p 10 –15 фемто ф f 6 Для выражения больших или малых значений физических вели- чин применяют кратные или дольные единицы от исходных единиц. Приставки для образования дольных и кратных единиц измерений приведены в табл. 1. Производные единицы Международной системы единиц обра- зуются из основных с помощью формул, выражающих физические за- кономерности. Например, давление, вызываемое силой в один Нью- тон (Н), равномерно распределённой по поверхности площадью в один квадратный метр (м 2 ), равно одному Паскалю (Па) 1 Па = 1 Н/м 2 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧИСЛА Прежде чем рассматривать процесс измерения той или иной физической величины и дальнейшую обработку полученных результа- тов, обратимся к основным понятиям, связанным с числом. Результа- ты измерений и расчетов записываются с помощью чисел. Все физи- ческие величины выражаются числами с соответствующими едини- цами измерения. Для обозначения числа используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Числа состоят из целой и дробной частей. Дробную часть числа принято записывать в виде десятичной дроби. Каждая цифра в числе стоит на определенном месте, которое называется разрядом. Разря- ды с их наименованиями изображены на схеме (рис. 1). Для записи любого числа можно использовать стандартный вид с помощью степени с основанием 10. В стандартном виде в соответст- вии с системой СИ целая часть числа содержит только разряд еди- ниц , а остальные цифры числа находятся в его дробной части. Для со- хранения разряда исходного числа используется множитель 10 n , где показатель n равен максимальному номеру разряда исходного числа. Например, число 1237 в стандартном виде должно быть записано так: 3 1,237 10 . ⋅ Все числа, с которыми мы имеем дело при решении задач и вы- полнении измерений, являются приближенными. Они записываются с 7 помощью конечного количества цифр, которое зависит от разрядности шкалы приборов, с помощью которых эти числа были получены. Ко- личество цифр связано с точностью этого числа. Рис. 1 Принято считать, что все цифры записанного числа являются точными за исключением последней. Последняя цифра числа содер- жит некоторую погрешность и называется сомнительной. Например, в ходе измерений физической величины Х получено число 7,53. В нем верными считаются цифры 7 и 5, а цифра 3 – сомнительная, она сто- ит в разряде сотых и говорит о точности измерений. Точность измере- ний какой-то величины Х характеризуется абсолютной погрешностью Δх в единицах измеряемой величины. Поэтому абсолютная погреш- ность результата измерения будет равна 0,01. ± С указанием погреш- ности это число должно быть записано так: 7,53 0,01. ± Сама по себе абсолютная погрешность числа не свидетельству- ет о точности этого числа. Например, одна и та же абсолютная по- грешность в 1 мм для отрезка, длина которого составляет 1 мм, очень велика, а для отрезка длиной в 1 метр вполне приемлема. 111,1111 тысячи сотни десятки единицы Целая часть числа Дробная часть числа десятые сотые тысячные десятитысячные 8 Точность числа определяется его относительной погрешностью. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погреш- ности к среднему значению измеренной величины. Относительную по- грешность принято выражать в процентах (%), то есть умножать полу- ченное отношение на 100. Рассмотрим два числа с одинаковым набором цифр: 1,23 и 123. Погрешность записи числа 1,23 равна 0,01/1,23 = 1/123, погрешность записи числа 123 равна 1/123. Значит погрешности разных по величи- не чисел с одинаковым набором цифр одинаковы. Например, число 123 г и число 123 кг имеют одинаковую точность, хотя само первое число в 1000 раз меньше второго. Как видим, точность числа никак не связана с разрядами этого числа, а зависит только от количества так называемых значащих цифр. Цифры, составляющие число, могут играть двойную роль. Во- первых, они нужны для обозначения разряда числа. Во-вторых, они указывают на точность этого числа. Цифры, указывающие на точность числа, называются значащими цифрами. Все цифры числа, отличные от нуля, являются значащими. Если нули находятся внутри числа, а само число начинается и заканчива- ется цифрами, отличными от нуля, то все цифры этого числа являют- ся значащими. Например, в числе 1,02034 значащих цифр шесть. Особую трудность в понимании смысла точности числа пред- ставляют нули, стоящие в начале и в конце числа. Сравним, напри- мер, два числа: 2 см и 2,0 см. С точки зрения арифметики эти числа равны. Цифра «0» во втором числе для обозначения разряда не нуж- на. Однако она указывает на точность и является значащей. Теперь сравним два числа: 2 см и 0,02 м. Эти числа равны, поскольку выра- жают один и тот же линейный размер, записанный для разных единиц измерения. Нули в записи второго числа необходимы только для обо- значения разряда и, следовательно, не являются значащими. Если число содержит дробную часть, то все первые нули, если они есть, не являются значащими цифрами, а все последние нули, если они есть, являются значащими цифрами. Например, в числе 0,00250 первые три нуля не являются значащими цифрами, а послед- 9 ний ноль является значащим, поскольку для обозначения разряда он не нужен, но он указывает на точность числа. Если число заканчивается нулями и не содержит дробную часть, то последние нули в целой части числа необходимы для обозначения его разряда, но они ничего не говорят о точности самого числа. Чтобы выяснить точность такого числа, его нужно записать в стандартном виде . Если нули окажутся последними в дробной части числа, то единственным их назначением будет указание на точность этого чис- ла, и они будут значащими цифрами. Например, в числе 2357 четыре значащие цифры, в числе 2,357 тоже четыре значащие цифры, в числе 2000 количество значащих цифр определить невозможно. В числе 2000,0 – пять значащих цифр. В числе 0,00012300 значащими являются последние пять цифр: 1, 2, 3, 0, 0. Первые четыре нуля нужны только для обозначения разряда и пропадут при записи числа в стандартном виде: 1,2300·10 –4 Важно, что чем больше значащих цифр в записи числа, тем меньше его относительная погрешность и тем точнее это число. То есть точность числа определяется количеством значащих цифр. 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ Вследствие несовершенства измерительных приборов и наших органов чувств, а также выбранной методики измерения мы не можем в ходе измерений получить истинное (точное) значение измеряемой величины, а получаем всегда ее приближенное значение. Сколько бы раз мы ни проводили измерения, истинное значение измеряемой ве- личины неизвестно, поскольку каждый результат измерения связан с погрешностью и всегда является приближенным. Это связано не толь- ко с тем, что измерительный прибор всегда имеет ограниченную точ- ность, но и с тем, что в процессе измерения происходит взаимодейст- вие измерительного прибора как с объектом измерения, так и с на- блюдателем, обладающим некоторой предельной чувствительностью. Например, измерение линейного размера тела с помощью микромет- ра приводит к деформации этого тела, а значит, к изменению его ис- тинного размера. Вследствие ограниченных возможностей глазомера 10 наблюдателя существует неоднозначность в считывании показаний прибора. Кроме того, на взаимодействие прибора и объекта измере- ния оказывает влияние окружающая среда: изменение температуры, давления, влажности и многие другие случайные факторы. Они изме- няют случайным образом результат измерения как в сторону его уменьшения, так и увеличения. Если в ходе измерений обнаружена неисправность измеритель- ной аппаратуры или имела место невнимательность экспериментато- ра, который занес в журнал измерений результат, резко отличающий- ся от предыдущих, то в этом случае говорят о грубой погрешности. Если она установлена, то соответствующий результат измерения на- до отбрасывать и не учитывать при дальнейшей обработке. Исключая грубые, все остальные погрешности измерения в зави- симости от причин принято делить на систематические и случайные. Систематические (или приборные) погрешности обусловле- ны неисправностью прибора (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического винта и т.д.), неточностью его градуировки или тем, что не учтены ка- кие-либо обстоятельства при проведении опыта. Систематические по- грешности сохраняют свою величину и знак во время измерений. Тщательное изучение приборов и методики измерений позволяет уменьшить эти погрешности или ввести соответствующие поправки. Существует систематическая приборная погрешность, которую нельзя устранить и нельзя ввести поправку. Ее рассчитывают по точности прибора или принимают равной половине цены деления его шкалы и берут с двойным знаком ( ±), т.к. неизвестно, в какую сторону – уменьшения или увеличения – изменит она значение из- меряемой величины. Приборная погрешность миллиметровой ли- нейки равна 0,5 мм, штангенциркуля и других приборов, снабженных нониусом, равна точности нониуса, секундомера (и других приборов со стрелками, перемещающимися скачками) равна цене деления секундомера. Погрешность цифровых электронных приборов также равна цене деления. 11 Часто погрешности, связанные с конструктивными особенностя- ми приборов, указываются в паспортах к приборам. Но погрешности некоторых физических приборов можно оценить и не обращаясь к паспорту. Для этого надо знать класс точности прибора, который ука- зан непосредственно на шкале. Класс точности – это систематическая относительная погрешность данного прибора, выраженная в процен- тах от максимального значения шкалы. Абсолютная погрешность при- бора определяется следующим образом: max , 100 х х Δ = γ где max х – номинальное значение шкалы, γ – класс точности прибора (безразмерная величина, имеющая значения от 0,01 до 4). Случайные погрешности – это погрешности, появление кото- рых не может быть предупреждено и устранено; они вызваны боль- шим числом причин, действующих в каждом отдельном измерении различным образом. Если погрешность отдельного измерения прин- ципиально непредсказуема, то она случайным образом изменяет зна- чение измеряемой величины. Однако при многократных измерениях случайные погрешности подчиняются законам математической стати- стики, и поэтому их можно учесть и значительно уменьшить их влия- ние на результаты измерения. Погрешности измерения, о которых ничего нельзя сказать зара- нее, могут быть как случайными, так и систематическими. Случайные погрешности вычисляются в ходе обработки результатов измерений, а систематические погрешности оцениваются на основании характери- стик прибора. Случайные и приборные погрешности определяют ширину ин- тервала, в котором лежит истинное значение измеряемой величины. По способу выполнения измерения разделяются на прямые и косвенные. При прямом измерении значение измеряемой величины считы- вается непосредственно со шкалы прибора. К таким измерениям отно- сятся, например, измерение длин линейкой, микрометром, измерение 12 массы взвешиванием с помощью гирь на равноплечных весах, измере- ние температуры термометром, измерение тока амперметром и т.п. При косвенном измерении значение измеряемой величины оп- ределяется по формуле, связывающей данную величину со значения- ми других величин, измеряемых в ходе прямых измерений. Большин- ство физических величин определяются в ходе косвенных измерений. 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ Для расчёта погрешностей результатов прямых измерений не- которой величины х нужно сделать несколько измерений этой величи- ны. Вследствие действия случайных причин в результатах измерений мы получим как завышение, так и занижение истинного значения из- меряемой величины. Вероятность получения того или иного результа- та в каждом измерении можно определить при помощи нормального распределения Гаусса. Обозначим число измерений и соответственно число результатов этих измерений буквой n. Запись каждого из n ре- зультатов измерения должна обязательно содержать все цифры с учётом самого мелкого деления прибора. Мы рассмотрим обработку результатов прямых измерений для небольшого количества измере- ний от 5 до 10, как это требуется в физическом практикуме, при за- данной вероятности нахождения истинного значения измеряемой ве- личины, равной 0,9. Статистическая обработка результатов измере- ний в этом случае содержит следующие этапы. 1. Вычисляем |