Математика. К.р._Мат.ан._ПЗС_заоч. Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы по дисциплине математический анализ

• Название: Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы по дисциплине математический анализ
• Анкор: Математика. Кр
• Дата: 16.01.2023
• Размер: 426 Kb.
• Имя файла: К.р._Мат.ан._ПЗС_заоч.doc
• Тип: Методические рекомендации; #889809
• страница: 1 из 5

Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Уральский институт управления и экономики»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по выполнению домашней контрольной работы
по дисциплине

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»


Для студентов заочной формы обучения


По направлению:
230105.65 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

Челябинск

2009
Математический анализ: Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы / М.А.Сбродова - Челябинск: ЧОУ ВПО «Южно-Уральский институт управления и экономики», 2009.- 32с.

Математический анализ: Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы: 230100.62 «Информатика и вычислительная техника»

ã Издательство ЧОУ ВПО «Южно-Уральский институт управления и экономики», 2009
ЧОУ ВПО «Южно-Уральский институт управления и экономики»

КАРТОЧКА РЕЦЕНЗЕНТА


Домашняя контрольная работа
По дисциплине ____________________________________________________________________

Студента ____________________________________________________________________

(Фамилия, имя, отчество)
Группа __________Специальность _____________________________________
Дата проверки «__» _________________________________200__г.
Оценка _________________________________________________
Преподаватель ________________________________________ _______________

(Фамилия, имя, отчество) (подпись)

РЕЦЕНЗИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………	5
Методические рекомендации по выполнению контрольных заданий…	6
Задания для домашней контрольной работы……………………………	20
Рекомендуемый список литературы……………………………………..	27

ВВЕДЕНИЕ

Цель курса математики в системе подготовки а – освоение необходимого математического аппарата.

Задачи изучения математики как фундаментальной дисциплины состоят в развитии логического и алгоритмического мышления, в выработке умения моделировать реальные процессы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Раздел I Введение в анализ
Тема 1 Функции
Понятие о множествах. Действительные числа и числовые множества. Постоянные и переменные величины. Функции и способы их задания. Область определения функции. Четные, нечетные, монотонные и ограниченные функции. Сложная функция. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики. Неявные функции. (гл. 4, § 4.1–4.3, 4.6; с. 95–99, 100–103, 115–117); (2, гл. 5,4).

Прежде всего, полезно ознакомиться с некоторыми логическими символами и кванторами, чтобы использовать их в дальнейшем для сокращения записей (1, с. 123).

Изучение темы следует начать с основных понятий теории множеств, [1, с. 123–124]. Далее нужно четко усвоить важнейшее понятие математического анализа – функции, уметь находить область ее определения, знать три способа задания функции: аналитический, графический, табличный.

Студенту нужно знать простейшие преобразования для построения функций, как-то: сдвиг графика y=f(x+a)+b вправо при а  0 и влево при a  0, а также на параллельно оси Ох вниз при b 0 и вверх на при b 0; сжатие 0m1 (растяжение m 1) графика функции y=mf(x) вдоль оси Ох.

В курсе рассматриваются в основном элементарные функции. Студент должен уяснить определение элементарной функции (1, с. 132) четко знать свойства и строить графики следующих основных элементарных функций: у = С (постоянная), у = xⁿ(степенная), у =a^x(показательная), у =log_ax (логарифмическая). Необходимо усвоить понятие сложной функции (функции от функции).

Построение графика четной (нечетной) функции можно значительно упростить, если учесть, что графики четных функций симметричны относительно оси Оу, а нечетных – относительно начала координат. Одним из характерных свойств функции является монотонность (т.е. возрастание или убывание на каком-либо промежутке).

Студенту необходимо уяснить, что функции находит широкое применение в экономической теории. Знать конкретные виды функций и их сущность (функция полезности, функция издержек и т.д.).

Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, через две данные точки. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Точка пересечения двух прямых. (1, гл. 5, § 5.1–5.5, 5.7, с. 123–132, 138, 139).

Студенту необходимо прочно усвоить материал, который будет использован при изучении экономико-математических методов и прикладных моделей (линейное программирование). Большое значение здесь имеет определение уравнения линии на плоскости как уравнения с двумя переменными х и у, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на ней. Из этого определения следуют два важных для практики положения, которые нужно знать:

1. Если задано уравнение линии, то можно установить, принадлежит ли ей какая-либо точка плоскости. Для этого достаточно подставить координаты точки в уравнение линии вместо переменных х и у. Если окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит линии, в противном случае – не принадлежит.

2. Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для нахождения координат точки пересечения двух линий нужно решить систему, составленную из их уравнений. Этот вопрос должен быть усвоен твердо.

Студент должен знать простейшие виды уравнений прямой и уметь пользоваться ими при решении задач. Соответствующий учебный материал приведен в (1, с.95–99, 100–103,115–116).

Обратите особое внимание на нахождение уравнений прямых, параллельной и перпендикулярной данной прямой (пример 4.5).

Рекомендуется разобрать задачи с решениями N4.1–4.3, 4.5, 4.10, 4.12 и задачи для самостоятельного решения N 4.14–4.19, 4.21–4.23 по учебнику (1) и аналогичные задачи по практикуму (2).

Тема 2 Пределы и непрерывность

Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и точке. Бесконечно малые величины и их свойства. Бесконечно большие величины. Основные теоремы о пределах: теорема единственности, предел суммы, произведения, частного. Признаки существования предела. Второй замечательный предел. Число е. Понятие о натуральных логарифмах. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях. Вычисление пределов. (1, гл.6, § 6.1–6.7); (2, гл.6).

Необходимо ознакомиться с определением предела числовой последовательности (1, с.141, 142) и его геометрической интерпретацией; понять определение предела функции в точке (1, с.143–146) и в бесконечности и познакомиться с их геометрической интерпретацией.

Суть предела числовой последовательности в том, что для любого сколь угодно малого положительного числа 0 можно найти номер числовой последовательности (N=N()), что для всех членов последовательности с номерами nN верно неравенство a_n-A.

Весьма важным являются понятия бесконечно малых и бесконечно больших величин (1, с.147–153), суть которых сводится к тому, что при своем изменении бесконечно малая (по абсолютной величине) будет меньше любого, сколь угодно малого числа 0, а бесконечно большая будет больше любого сколько угодно большого числа М0.

Нужно знать взаимосвязь бесконечно больших и бесконечно малых величин, с помощью которых доказываются теоремы о пределах. Следует обратить внимание на признаки существования пределов, особенно на теорему 1 (1, с.155), часто позволяющую установить наличие предела значительно проще, чем при использовании его определения.

Необходимо (без вывода) знать второй замечательный предел в двух формах записи: = e и ^1/y=e.

Понятие непрерывности функции (в точке, на промежутке) является более простым, чем предел, так как оно выражается непрерывностью графика при прохождении данной точки, данного промежутка (без отрыва карандаша от листа бумаги). Наряду с интуитивным представлением надо знать определение непрерывности функции в точке и на промежутке, свойства непрерывных функций (1, с. 161–166), а также то, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке области определения и может иметь разрыв лишь на границах области определения.

Необходимо ознакомиться с теоретическими вопросами и дать на них ответы.

Рекомендуется разобрать задачи с решениями N6.1-6.3, 6.5, 6.6, 6.8, 6.9-6.11, 6.13, 6.14 и задачи для самостоятельной работы N 6.18, 6.20–6.27, 6.33–6.36, 6.38–6.41 по учебнику (1) и аналогичные задачи по практикуму (2).
Раздел II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 3 Производная
Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, ее геометрический, механический и экономический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой; Дифференцируемость функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (необходимый признак дифференцируемости). Основные правила и основные формулы дифференцирования. Производная сложной функции Производные высших порядков. (1, гл. 7, § 7.1–7.7, с. 176–205); (2, гл. 7).

Необходимо изучить задачи, приводящие к понятию производной: задачи о касательной и задачи о скорости движения (1, с.176, 177), задачи о производительности труда (экономический смысл производной).

После этого нужно усвоить определение производной как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Нужно знать обозначение производной, алгоритм ее вычисления, основываясь на теории пределов.

Студент обязан понимать геометрический и механический смысл производной (1, с.178, 181), уметь решать простейшие задачи по вычислению производной на основе алгоритма ее вычисления; знать и уметь применять основные правила дифференцирования, вычислять производную сложной и обратной функций. При этом нужно знать четко правила вычисления элементарных функций (1,с. 188, 193), знать наизусть таблицу производных (1, с.192). Это позволит усвоить дифференцирование сложных функций, обратных функций, неявно заданных функций (1, с.193), находить производные от произведения, суммы, разности, а также вычислять производные высших порядков. Нужно знать использование понятия производной в экономике, понятие эластичности функции, свойства эластичности функции.

Изучая материал этой темы, студенты знакомятся с необходимым условием дифференцируемости функции. Необходимо четко уяснить, что из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке. Обратная теорема несправедлива, так как существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках могут не иметь производной (1, с. 179, 180).

Рекомендуется разобрать задачи с решениями N 7.1–7.8, 7.10, 7.13, 1.15–7.17 и задачи для самостоятельной работы N 7.20–7.29, 7.35, 7 42, 7.43, 7.46–7.49 по учебнику (1) и аналогичные задачи по практикуму (2).

Для усвоения темы нужно решить задачи контрольной работы, ответить письменно на теоретические вопросы в контрольной работе.
Тема 4 Приложения производной
Правило Лопиталя ('без вывода), Теорема Ролля и Лагранжа (с нестрогими геометрическими доказательствами). Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимые и достаточные признаки экстремума (второй достаточный признак – без доказательства). Исследование функции (область определения, четность и нечетность, интервалы монотонности и точки экстремума, поведение функции при х  и в точках разрыва, горизонтальные и вертикальные асимптоты, точки пересечения графика с осями координат) и построение ее графика. Квадратичная функция у = ax²+bx+c и ее график. Дробно-линейная функция у = и ее график. (1,гл. 8, § 8.1 – 8.5, 8.7 – 8.9; с. 205 – 21, 225 – 236); (2, гл. 8).

Нужно уяснить, что правило Лопиталя является эффективным средством вычисления пределов. При этом нужно понимать, что предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций заменяется вычислением отношения их производных. Это правило можно использовать для вычисления целого ряда неопределенностей.

С помощью производных можно эффективно исследовать функции на возрастание и убывание, определять экстремумы функций (1, с.216, 217), наибольшее и наименьшее значение. Для этого необходимо знать теоремы о достаточных условиях возрастания и убывания функции, определения точек минимума и максимума, первое и второе достаточное условие экстремума, определение выпуклости и вогнутости функции (выпуклости вниз). Необходимо знать общую схему исследования функции, кроме п.6,7 (1, с.232).

В учебном пособии приведена схема исследования функции для нахождения характерных точек и особенностей, по которым можно построить ее график (1, с. 232). Выполнение пункта 6' этой схемы, связанного с нахождением интервалов выпуклости функции и точек перегиба, в программу не входит.

Рекомендуется разобрать задачи с решениями е 8.1–8.3, 8 4–8.7; 8.9, 8.11–8.15, 8.17 и задачи для самостоятельной работы N 8.19–8.31, 8.32–8.34, 8 41–8.53 по учебнику (1) и аналогичные задачи по практикуму (2), обратив особое внимание на исследование функций и построение их графиков.
Тема 5 Дифференциал функции
Студенту нужно разобраться с определением дифференциала функции и четко уяснить, что дифференциал функции (1,с.244) – главная линейная относительно х часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной.

dy=f(x)x

Необходимо уяснить геометрический смысл дифференциала (1, с.245).

Дифференциал функции – есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в данной точке, когда х – получает приращение х.

Операция нахождения дифференциала сводится к нахождению производной и также называется дифференцированием функции.

Студенту необходимо уяснить сущность инвариантности формы дифференциала. Для этого нужно понять, что dy=f(x)dx и dy=f(u)du (1, с.246), если y=f(u), а u=(x). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции y=f(u)u, а udx=du(1, с.244, формула 9.2) и dу=f(x)dx=f(u)udx=f(u)du.

Вид формы (инвариантность формы – это независимость формы от дифференцируемой функции) дифференциала не меняется от характера дифференцируемой функции.

Весьма важным является практическое приложение дифференциала для приближенных вычислений. Необходимо уяснить из геометрического смысла дифференциала, что чем «круче» график функции, тем меньше нужно брать приращение аргумента х для вычисления функции с заданной точностью.

Необходимо разобрать задачи N9.1–9.3, 9.5–9.12 (1, с. 244–250) и аналогичные задачи по практикуму (2). При этом нужно понять, что последующее значение функции (1, с.247, пример 9.3) можно вычислять через предыдущее. Если предыдущее значение f(x)= , а последующее f(x+x)= , то  + x.

Это так, ибо y= – =f(x). Поэтому цепочка вычислений такова. Вычисляется предыдущее значение функции, а затем последующее. Чем меньше шаг по приращению аргумента х, тем больше точность вычисления функции.

На вычислении дифференциала основаны многие численные методы в математике.

Студенту необходимо разобраться в вычислении относительной погрешности через дифференциал (1, с.247, 248) и эластичность функции (1, с.196) E_x(y)=x(y)/y.
Раздел IIIИНТЕГРАЛЬНОЕ ИCЧИЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Тема 6 Неопределенный интеграл

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла (с доказательством). Таблица основных интегралов. Интегрирование методом разложения, замены переменной и по частям. Понятие о «неберущихся» интегралах. (1, гл. 10, § 10.1–10.5, 10.8; с. 247–265); (2, гл. 10); (3,гл.9).

Студенту необходимо, прежде всего, разобраться в принципиальном вопросе: интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной. Эта задача является более сложной по сравнению с задачей дифференцирования.

Понятие первообразной функции (1, с.251) связывается геометрической интерпретацией, когда первообразные отличаются на число (константу). Отсюда следует определение неопределенного интеграла, как «совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х (ось абсцисс)».

f(x)dx=F(x)+C, f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, F(x) – первообразная функция,  – знак интеграла, С – константа.

Следует изучить свойства (с доказательствами) неопределенного интеграла (1, с.253, 254), знать табличные интегралы (1, с.255). Обратить внимание на свойство 2 (1, с.253): дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению d(f(x)dx)=f(x)dx, то есть операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны (знаки d и  взаимно уничтожают друг друга).

Непосредственное интегрирование предполагает (1, примеры 1.10–10.3, с.255–257) сведение интегралов к табличным за счет тождественных преобразований и основных правил интегрирования.

Для вычисления интегралов применяют линейную подстановку t=kx+b, а также другие подстановки:

а) переменная интегрирования х заменяется функцией переменной t: x=(t), а dx=(t)dt; f(x)dx=f((t))(t)dt;

б) новая переменная t вводится как функция переменной интегрирования x: t=(x), dt=(x)dx; f((x))(x)dx=f(t)dt.

Последнюю подстановку удобно применять, если подынтегральное выражение содержит дифференциал (производную) функции (х) с точностью до постоянного множителя.

Если интеграл, полученный после замены переменной, стал «проще» данного (преобразован в табличный или приводящийся к табличному), то цель подстановки достигнута.

После интегрирования функции по переменной t необходимо вернуться к прежней переменной х, выразив t через хпо формуле, применявшейся при подстановке.

Примеры различных подстановок даны в (1, § 10.3, 10.6).

Практическое применение формулы интегрирования по частям ((10.21), с. 263), если оно целесообразно, связано с проблемой правильного разбиения подынтегрального выражения на сомножители u и dv. Отметим, что формулу интегрирования по частям, как правило, удобно применять, если подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или логарифмическую функцию (1, примеры 10.10–10.13, с. 263-269).

Рекомендуется разобрать задачи с решениями N 10.1–10.4, 10.6–10.8, 10.9-10.11, 10.13, 10.14, 10.18а, 10.23, 10.24а, 10.25-10.27 и задачи для самостоятельного решения N 10.33-10.39, 10.41-10 45, 10 47–10.54, 10.55–10.59, 10.61, 10.63-10.65, 10.68–10.70 по учебнику (1) и аналогичные задачи по практикуму (2), обратив особое внимание на интегрирование методом подстановки.

Тема 7 Определенный интеграл

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и по частям. Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций. (1, гл.11, § 11.1-11.8, 11.10; с. 283–10, 312–314, 318–321); (2, гл. 11).

Студенту необходимо рассмотреть задачу о площади криволинейной трапеции и разобраться в том, что площадь криволинейной трапеции есть предел площади S под ломанной при неограниченном приближении ломанной к заданной кривой.

Необходимо разобраться с понятием интегральной суммы, ее геометрическим смыслом и перейти к понятию определенного интеграла (1, с.283–285).

Студент должен знать, что в отличие от неопределенного интеграла, который является семейством кривых, определенный интеграл является числом и определенный интеграл вычисляется формулой Ньютона-Лейбница.

Благодаря этой формуле (1,ф.1.15) интеграл вычисляется путем нахождения приращения первообразной для данной функции на отрезке интегрирования.

Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке – непрерывность функции на этом отрезке.

Студент должен разобраться в методах интегрирования, изучив для этого свойства определенного интеграла и теорему о среднем (1, с.289–291).

Метод интегрирования по частям позволяет расширить класс интегрируемых функций за пределы табличных интегралов(1, с. 241–245). При этом необходимо использовать приемы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Метод подстановки также расширяет класс интегрируемых функций. При этом нужно помнить, что при введении новой переменной изменяются пределы интегрирования. После их изменения можно рассчитать определенный интеграл, не возвращаясь к старой переменной (1, пример 11.4), (2,с.259).
Тема 8 Несобственный интеграл
Вычисляется как интеграл с одним или с двумя неограниченными пределами. Подынтегральная функция определена и непрерывна на одном из промежутков a;+), (-;b, -;+.

Если несобственный интеграл сходится, то он имеет конечный предел, если не сходится, то предел его равен бесконечности (2, с.271, 272).

Для вычисления площадей плоских фигур необходимо уметь определять пределы интегрирования, если они не заданы и если площадь фигуры представляется в виде сумм или разностей криволинейных трапеций. Поэтому нужно построить кривые, ограничивающие плоские фигуры, определяют граничные условия (пределы интегрирования). Необходимо разобрать примеры (1,11.5–11.7, 11.20–11.22, с.300–304, 313), (2, с.261, примеры 11.30–11.35).

Формула трапеций применяется для приближенного вычисления определенного интеграла, когда соответствующая первообразная не вычисляется непосредственным интегрированием.

Разобрать примеры по теме (1, N 11.1–11.11, 11.18–11.22, задачи для самостоятельной работы N 11.25–11.30,11.32–11.35,11.37–11.39, 11.41, 11.42, 11.43–11.52, 11.57, 11.59), (2,11.1 а), б), в), г), д), е), 11.30–11.35, задачи для самостоятельной работы 11.2–11.28, 11.36–11.53, 11.54–11.57, 11.58–11.61, 11.62–11.71, 11.75–11.86).