Методические указания для проведения лабораторных работ и практических занятий по дисциплинам Автоматика, Теория автоматического управления
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Электропривод и АПУ» ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ Методические указания для проведения лабораторных работ и практических занятий для студентов всех специальностей Могилев 2012 2 УДК 681.5.011 ББК 31.2 T 33 Рекомендовано к опубликованию учебно-методическим управлением ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет» Одобрено кафедрой «Электропривод и АПУ» «06» июня 2012 г., протокол № 11 Составитель ассистент О. В. Обидина Рецензент канд. техн. наук, доц. С. В. Болотов Методические указания для проведения лабораторных работ и практических занятий по дисциплинам «Автоматика», «Теория автоматического управления» для студентов специальностей 1 – 36 01 03 «Технологическое оборудование машиностроительного производства», 04 00 «Электроэнергетика и электротехника», 14 06 07 «Электрооборудование автомобилей и тракторов», 1 – 54 01 02 «Методы и приборы контроля качества и диагностики состояния объектов», 20 01 00 «Приборостроение», 20 01 02 «Приборы и методы контроля качества и диагностики», 20 01 02.65.01 «Физические методы и приборы контроля качества». Учебное издание ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ Ответственный за выпуск Г. С. Леневский Технический редактор И. В. Русецкая Компьютерная верстка Н. П. Полевничая Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать трафаретная. Усл.-печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 99 экз. Заказ № . Издатель и полиграфическое исполнение Государственное учреждение высшего профессионального образования «Белорусско-Российский университет» ЛИ № 02330/0548519 от 16.06.2009 г. Пр. Мира, 43, 212000, г. Могилев. © ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 2012 3 1 Типовые динамические звенья 1.1 Цель работы 1 Изучение способов описания динамических свойств звеньев систем автоматического регулирования. 2 Получение дифференциальных уравнений, передаточных функций динамических звеньев и определение их параметров. 3 Получение переходных и частотных характеристик динамических звеньев. 4 Построение переходных и частотных характеристик динамических звеньев. 1.2 Отчет по лабораторной работе Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие разделы. 1 Титульный лист установленного образца. 2 Цель работы. 3 Исходные данные в соответствии с заданием. 4 Вывод передаточных функций динамических звеньев, определение их параметров. 5 Вывод выражений для переходных и частотных характеристик динамических звеньев. 6 Графики переходных и частотных характеристик динамических звеньев. 1.3 Основные теоретические положения При изображении систем управления применяются два принципа – функциональный и структурный и, соответственно, схемы подразделяются на функциональные и структурные. Функциональной схемой называется такая схема, в которой каждому функциональному элементу системы соответствует определенное звено. Названия элементов и блоков указывают на выполняемые функции, например: чувствительный элемент, преобразующий элемент, датчик, управляющий блок, исполнительный блок, электродвигатель и т. д. Структурной схемой называется такая схема, в которой каждой математической операции преобразования сигнала соответствует определенное звено. В зависимости от полноты математического описания и от математических операций, выполняемых различными звеньями, для 4 объектов могут быть составлены различные структурные схемы. Структурная схема системы может быть получена из функциональной схемы, если известны передаточные функции (или дифференциальные уравнения) и параметры всех элементов, входящих в ее состав. Графическое изображение структурной схемы аналогично изображению функциональной схемы, с той лишь разницей, что элементами структурной схемы являются динамические звенья. Кроме того, в прямоугольники, изображающие динамические звенья, вписывают их передаточные функции. Суммирование или вычитание сигналов отображается такими же графическими элементами, как и на функциональных схемах (сумматором и элементом сравнения). Ветвление сигнала при подаче его на входы нескольких звеньев отображается точкой на линии связи. В результате структурная схема представляет собой графическую форму математической модели автоматической системы. Все внешние воздействия и сигналы взаимодействий динамических звеньев на структурной схеме показывают в виде функций комплексного переменного p. Характеристики звеньев автоматических систем. Части структурной схемы называют звеньями, каждое из которых отображает алгоритм преобразования сигнала – математическую или логическую операцию. На структурных схемах звенья изображают прямоугольниками, внутри которых записывают соответствующие операторы преобразования сигналов. Прямоугольники соединяют линиями, отображающими информационные сигналы взаимодействия звеньев, с указанием направлений этих сигналов, как показано на рисунке 1. Рисунок 1 – Звено системы автоматического регулирования Звено системы может являться техническим устройством любой физической природы, конструкции и назначения. Входная x(t)и выходная y(t) величины соответствуют физическим величинам, выражающим воздействие предыдущего звена на данное звено и воздействие данного звена на последующее. В зависимости от физических свойств различают статические и динамические элементарные звенья. У статического звена мгновенное значение выходного сигнала зависит только от мгновенного значения входного сигнала в данный момент и не Звено x(t) y(t) 5 зависит от характера изменения входного сигнала во времени. Связь между входным и выходным сигналами статического звена обычно описывается алгебраической функцией. Динамическое звено преобразует входной сигнал в соответствии с операциями интегрирования и дифференцирования во времени. Значение выходного сигнала динамического звена зависит не только от текущего значения входного сигнала, но и от его предыдущих значений, т. е. характера изменения входного сигнала. Динамические звенья описываются дифференциальными уравнениями. Уравнения динамических звеньев. Составление уравнения динамики каждого звена системы является предметом соответствующей конкретной области технических наук: электротехники, теплотехники, динамики полета и т. п., к которым и следует каждый раз обращаться. Допустим, что в результате составления уравнения динамики какого- нибудь конкретного звена получилось следующее линейное дифференциальное уравнение: ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 t x b dt t dx b dt t x d b dt t x d b t y a dt t dy a dt t y d a dt t y d a m m m m m m n n n n n n Решение дифференциальных уравнений значительно упрощается при использовании операционного преобразования Лапласа. При этом каждой временной функции x(t) или y(t) соответствует функция X(p) или Y(p) (комплексной переменной р = c + j , где p – оператор преобразования Лапласа). Преобразование Лапласа выполняется в соответствии с формулой: 0 ) ( ) ( dt e t f p F pt , где f(t) – оригинал функции; F(p) – изображение функции по Лапласу. Переход от оригинала к изображению называется прямым преобразовании Лапласа и имеет символическую запись: ) ( ) ( t f L p F . 6 Переход от изображения к оригиналу называется обратным преобразованием Лапласа и имеет символическую запись: ) ( ) ( 1 p F L t f На практике прямое и обратное преобразования осуществляются по таблицам изображений типовых функций. Передаточная функция звена. Применив преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению звена ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 t x b dt t dx b dt t x d b dt t x d b t y a dt t dy a dt t y d a dt t y d a m m m m m m n n n n n n получим ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 1 0 1 1 1 p X b p pX b p X p b p X p b p Y a p pY a p Y p a p Y p a m m m m n n n n Если вынести общие множители Y(p)иX(p), имеем: ). )( ( ) )( ( 0 1 1 1 0 1 1 1 b p b p b p b p X a p a p a p a p Y m m m m n n n n Передаточной функцией звена W(р) называется отношение изображений Лапласа выходной и входной величин звена при нулевых начальных условиях т. е.: ) ( ) ( ) ( p X p Y p W или 0 1 1 1 0 1 1 1 ) ( a p a p a p a b p b p b p b p W n n n n m m m m Между дифференциальными уравнениями и передаточными функциями существует однозначная связь. Сравнивая последнее выражение с дифференциальным уравнением звена, видно, что формально передаточную функцию звена можно составлять как отношение операторных многочленов правой и левой частей уравнения звена. И наоборот, зная передаточную функцию, легко написать его уравнение, имея в виду, что числитель передаточной функции соответствует правой части уравнения, а знаменатель 7 передаточной функции – левой части уравнения. В теории автоматического регулирования принято приводить уравнение звена к стандартному виду, когда свободный член равен единице: , ) ( ) ( 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 0 0 p A p B k p A p A p A p B p B p B a b p W n m n n n n m m m m где через A n (p) и B m (p) обозначены многочлены относительно р с коэффициентами 1 в младших членах, причем степень B m (p), как правило, ниже степени A n (p), т. е. m < n; 0 0 a b k – коэффициент усиления звена. Пример 1 Пусть звено описывается дифференциальным уравнением ). ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 t kx t y dt t dy T dt t y d T В операторной форме уравнение имеет вид ) ( ) 1 )( ( 1 2 2 p kX p T p T p Y Откуда передаточная функция звена 1 ) ( ) ( ) ( 1 2 2 p T p T k p X p Y p W Пример 2 Решим обратную задачу – найдем по передаточной функции дифференциальное уравнение. Пусть передаточная функция имеет вид: , 1 ) ( ) ( ) ( Tp k p X p Y p W откуда Y(p)(Tp+1)=kX(p); 8 TpY(p)+Y(p)=kX(p). Учитывая, что dt d p (формальное операционное соответствие), получим: ). ( ) ( ) ( t kx t y dt t dy T Переходная функция звена. Переходной функцией h(t) называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие (рисунок 2), т. е. переходный процесс на выходе y(t) при единичном скачке 1(t) на входе звена x(t)=1(t). Рисунок 2 – Входное воздействие x(t) = 1(t) и переходная функция звена h(t) Переходная функция может быть определена экспериментально или вычислена теоретически. Если на вход подается единичный скачок 1(t), то его изображение по Лапласу p t L p X 1 ) ( 1 ) ( . Зная передаточную функцию звена W(p), находим изображение выходной величины как: p p W p Y 1 ) ( ) ( Переходя к оригиналу, получим ) ( 1 ) ( 1 p W p L t h 9 Переход от изображения к оригиналу может быть осуществлен по таблице операционных соответствий (приложение А) или по теореме разложения. Частотные характеристики звена. Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме. Если на вход динамического звена поступает гармонический сигнал определенной частоты, то выходной сигнал имеет также гармонический характер и ту же частоту, но с другой амплитудой и фазой. В связи с этим различают амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики звена. Если на вход звена подается единичный синусоидальный сигнал (рисунок 3) x(t)=sin t, то на выходе будет (в установившемся режиме) y(t)=A sin( t+), где A – амплитуда (точнее, усиление амплитуды); – фаза (точнее, сдвиг по фазе). Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) A( )есть зависимость отношения амплитуды колебаний на выходе звена к амплитуде на входе от частоты входного сигнала: âõ âûõ À A A ) ( ) ( , где A вых ( ), A вх – соответственно амплитуды выходного и входного сигналов; – частота входного сигнала. АЧХ выражает отношение амплитуд колебаний на выходе звена и его входе в зависимости от частоты входного сигнала. 10 Рисунок 3 – Реакция устойчивого звена на синусоидальное воздействие Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) ) ( есть зависимость разности фаз выходного и входного сигналов от частоты входного сигнала 1 2 ) ( , где 2 , 1 – начальные фазы соответственно выходного и входного сигналов. Амплитудная и фазовая частотные характеристики, построенные по точкам, представлены на рисунке 4. Рисунок 4 – Амплитудная (а) и фазовая (б) частотные характеристики звена Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) есть отношение выходного и входного гармонического сигналов, записанных в 11 комплексной форме, при изменении частоты входного сигнала от нуля до бесконечности: _______ _______ ) ( ) ( ) ( X Y j W АФЧХ изображается на комплексной плоскости и для каждой частоты представляет собой вектор длиной A( ), идущий под углом ) ( к вещественной положительной полуоси. Годограф, соединяющий концы векторов, построенных для всех частот от нуля и до бесконечности, и будет являться АФЧХ. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (ее еще называют комплексной передаточной функцией) звена получается из передаточной функции W(p) подстановкой p = j : ) ( ) ( ) ( ) ( j A j B k p W j W n m j p Амплитудно-фазовая частотная характеристика представляет собой комплексное число и может быть представлена в виде ) Im( ) Re( ) ( ) ( ) ( j e A j W j , где A( ) – амплитудно-частотная характеристика; Re( ) – вещественная частотная характеристика; Im( ) – мнимая частотная характеристика. A( )= 2 2 ) Im( ) Re( . Графически амплитудно-фазовая частотная характеристика изображается на комплексной плоскости (рисунок 5) в координатах (Re(), Im()), как годограф функции W(j ). Можно строить амплитудно-фазовую частотную характеристику, выделив в выражении W(j ) вещественную и мнимую части. При этом частоту изменяют от 0 до . 12 Рисунок 5 – АФЧХ звена |