Методические указания для проведения лабораторных работ и практических занятий по дисциплинам Автоматика, Теория автоматического управления
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
Логарифмические частотные характеристики. Чаще всего амплитудную и фазовую частотные характеристики изображают в логарифмическом масштабе частот и строят отдельно логарифмические амплитудно-частотную характеристику ЛАЧХ и фазо- частотную характеристику ЛФЧХ. Такие логарифмические частотные характеристики очень удобны для инженерных расчетов. По горизонтальной оси откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, то есть находят отметки соответствующие lg. Около отметок наносят действительные значения частот, единицы измерения которых радианы в секунду. Равномерной единицей на оси абсцисс является декада – любой отрезок, на котором значение частоты увеличивается в десять раз. Зависимость логарифма модуля lnA( )АФЧХ от частоты, отложенной по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, называется логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ).Обычно принято на графике по оси ординат откладывать не lnA( ), а пропорциональную ей величину – L( )=20lgA( ) L( )=20lgA( )=20lg W(j ) , единицей измерения для которой является децибел (дБ). По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (рисунок 6). Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза с . Начало координат обычно помещают в точке = 1, так как lg1 = 0. Точка же = 0 лежит в -. Однако, в зависимости от интересующего нас диапазона частот 13 можно начало координат брать и в другой точке ( = 0,1; = 10 или другой). Рисунок 6 – Логарифмические частотные характеристики При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) используется та же ось частот, то есть по оси абсцисс частота откладывается по-прежнему в логарифмическом масштабе, а отсчет углов ) ( идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах. Достоинством логарифмических частотных характеристик является то, что частотные характеристики систем могут быть аппроксимированы отрезками прямых линий. Основные типы звеньев. Типы звеньев систем автоматического регулирования различаются в зависимости от вида их передаточных функций или дифференциальных уравнений. Типовым динамическим звеном называют звено, которое описывается дифференциальным уравнением, порядок которого не выше второго. Различают следующие основные типовые звенья: – безынерционное (пропорциональное или усилительное); 14 – инерционное первого порядка (или апериодическое); – инерционное второго порядка; – колебательное; – консервативное; – интегрирующее (идеальное и реальное); – дифференцирующее (идеальное и реальное). Основные типы звеньев делятся на три группы: – позиционные; – дифференцирующие; – интегрирующие. Передаточные функции типовых динамических звеньев приведены в таблице 1. Таблица 1 – Типовые динамические звенья Тип звена Передаточная функция Безынерционное k p W ) ( Апериодическое 1-го порядка 1 ) ( Tp k p W Апериодическое 2-го порядка ) 2 ( , 4 2 , ) 1 )( 1 ( 1 ) ( 2 1 2 2 2 1 1 4 , 3 4 3 1 2 2 2 T T T T T T p T p T k p T p T k p W Колебательное 1 2 ) ( 2 2 Tp p T k p W Позиционные Консервативное 1 ) ( 2 2 p T k p W Идеальное интегрирующее p k p W ) ( Интегрирующие Реальное интегрирующее ) 1 ( ) ( Tp p k p W Идеальное дифференцирующее kp p W ) ( Дифференцирующие Реальное дифференцирующее 1 ) ( Tp kp p W Обозначим входную величину звена через x(t), а выходную через y(t) (см. рисунок 1). 15 В звеньях позиционного типа линейной зависимостью y(t)=kx(t) связаны выходная и входная величины в установившемся режиме. Коэффициент пропорциональности k между выходной и входной величинами представляет собой коэффициент передачи звена. В звеньях интегрирующего типа линейной зависимостью ) ( ) ( t kx dt t dy связаны производная выходной величины и входная величина в установившемся режиме. В этом случае для установившего режима будет справедливо равенство dt t x k t y ) ( ) ( , т. е. выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины, откуда и произошло название этого типа звеньев. В звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью dt t dx k t y ) ( ) ( связаны в установившемся режиме выходная величина и производная входной, откуда и произошло название этого типа звеньев. Знание характеристик типовых звеньев необходимо для расчетов систем управления. Идеальное усилительное (безынерционное) звено. Уравнение и передаточная функция звена имеют вид: y(t) = k x(t); W(p) = k. Примерами безынерционного звена являются редуктор, делитель напряжения, датчики угла, безынерционный усилитель и др. В действительности безынерционных звеньев нет. Обычно в САР идеальными считают звенья, инерционность которых значительно меньше инерционности других звеньев. Чаще всего это различные датчики и предварительные усилители. Инерционное запаздывание многих измерительных элементов автоматических систем (датчиков угла рассогласования, фотоэлектрических датчиков, магнитоэлектрических датчиков) мало, поэтому их считают безынерционными звеньями. Частотные характеристики звена описываются следующими выражениями и представлены на рисунке 7: W(j ) = k; A( ) = k; ) ( = 0. Переходная функция звена имеет вид: h(t)=k 1(t). 16 Рисунок 7 – Частотные характеристики безынерционного звена При подаче на вход звена ступенчатого воздействия соответствующее значение выходной величины устанавливается мгновенно. То есть выходная координата безынерционного звена повторяет с точностью до коэффициента k закон изменения входной координаты. Инерционное звено 1-го порядка (апериодическое звено). Уравнение и передаточная функция звена имеют вид: (Тр+1)Y(p) = kX(p); 1 ) ( Tp k p W , где Т – постоянная времени; k – коэффициент передачи звена. Примерами инерционных (апериодических) звеньев являются двигатели постоянного тока, если х(t) – напряжение питания, а y(t) – угловая скорость вала (t); двухфазные асинхронные двигатели; усилители при учете инерционного запаздывания; массивное тело, если входной величиной считать количество поступающего в единицу времени тепла Q, а выходной – температуру в какой-либо точке внутри тела и др.); L-R цепочка. Амплитудно-фазовая частотная характеристика инерционного звена имеет вид и представлена на рисунке 8: 1 ) ( T j k j W 17 Рисунок 8 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика инерционного звена Из W(j ) находим выражения для АЧХ и ФЧХ, графики которых представлены на рисунке 9: 1 ) ( 2 2 T k A ; T arctg ) ( Рисунок 9 – Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики инерционного звена 18 Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика инерционного звена имеет вид: 1 lg 20 lg 20 1 lg 20 ) ( 2 2 2 2 T k T k L Эта характеристика имеет асимптоты: а) при 0 L( ) 20lgk; б) при L( ) 20lgk – 20lgT Последняя асимптота будет наклонной прямой с наклоном -20 дБ/дек, а первая – горизонтальная прямая. Пересекаются асимптоты в точке T c 1 Сама ЛАЧХ близка к этим асимптотам. На логарифмической сетке по оси частот откладывается сопрягающая частоте T c 1 (рисунок 10). Для частот меньших, чем сопрягающая, т. е. при T 1 , можно пренебречь вторым слагаемым под корнем, тогда слева от сопрягающей частоты можно заменить L( ) приближенным выражением L( ) 20lgk. Этому выражению соответствует горизонтальная прямая. Для частот больших сопрягающей T 1 в выражении для L( ) можно пренебречь единицей под корнем. Тогда L( ) = 20lgk - 20lg( T). Второе слагаемое представляет собой прямую линию, идущую под наклоном -20 дБ/дек. Ломаная линия и называется асимптотической ЛАЧХ. Наибольшее отклонение точной ЛАЧХ от асимптотической приблизительно равно 3 дБ на частоте сопряжения, т. к. 03 , 3 lg 20 2 lg 20 lg 20 ) 1 ( k k T L 19 Рисунок 10 – ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционного звена Переходная функция, согласно решению уравнения звена, при х(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях имеет вид: ) 1 ( ) ( T t e k t h Она изображена на рисунке 11. Рисунок 11 – Переходная функция инерционного звена Постоянная времени Т определяет наклон касательной в начале кривой (рисунок 11). Следовательно, величина Т характеризует степень 20 инерционности звена, т. е. длительности переходного процесса. Колебательное звено. Уравнение и передаточная функция звена имеют вид: (T 2 2 p 2 +T 1 p+1)Y(p) = kX(p); 1 ) ( 1 2 2 2 p T p T k p W , причем предполагается T 1 < 2Т 2 , так что корни характеристического уравнения T 2 2 p 2 + T 1 p + 1 = 0 – комплексные. Общепринята запись передаточной функции колебательного звена в виде: 1 2 ) ( 2 2 Tp p T k p W , где Т = T 2 , 2 1 2T T причем 0 < < 1, так как T 1 < 2Т 2 . При 1 звено становится инерционным звеном второго порядка. АФЧХ, АЧХ и ФЧХ звена приведены на рисунке 12 и рассчитываются по формулам: 1 2 ) ( ) ( 2 2 T j j T k j W ; 2 2 2 2 2 2 4 ) 1 ( ) ( T T k A ; 2 2 1 2 ) ( T T arctg 21 Рисунок 12 – Частотные характеристики колебательного звена Амплитудная характеристика уменьшается с увеличением , т. е. А( ) k, если 1 > > 0,707. При < 0,707 появляется максимум на характеристикеА( ), который уходит в бесконечность при 0. Поэтому величина 2 1 2T T называется параметром затухания. Отсюда видна роль постоянных времени Т 1 и Т 2 в уравнении звена: постоянная Т 2 увеличивает колебания, а T 1 – демпфирует их. Если АФЧХ звена определена экспериментально, то с ее помощью можно определить параметры k, и Т: – k равен длине отрезка на вещественной оси от начала координат до точки АФЧХ при = 0; 22 – находится из выражения 2 k AB ; AB k 2 ; m T 1 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика звена 2 2 2 2 2 2 4 ) 1 ( lg 20 lg 20 ) ( T T k L При значениях 0,5 < < 1 характеристика близка к ломаной (рисунок 13). Рисунок 13 – Логарифмические частотные характеристики колебательного звена при различных значениях Если же < 0,5, то получается заметный максимум (см. рисунок 13). Тут необходимо вычислять превышение H m 2 1 2 1 lg 20 m H на частоте 2 2 1 1 T m Имеются шаблоны для вычерчивания этой кривой. 23 В упрощенных расчетах достаточно находить H m приближенно (см. рисунок 13): 2 1 lg 20 m H при T 1 Переходная функция колебательного звена изображена на рисунке 14. Рисунок 14 – Переходная функция колебательного звена Она рассчитывается по формуле: ) 1 sin 1 1 (cos 1 ) ( 2 2 2 t T t T e k t h t T При = 1 колебания вырождаются в апериодический процесс. При = 0 колебания становятся незатухающими (периодическими), и в этом случае колебательное звено носит название консервативного звена. Примерами колебательных звеньев являются управляемые двигатели постоянного тока, упругие механические передачи, цепочка R-L-C, пружина. Реальное дифференцирующее звено. Уравнение и передаточная функция звена: (Тр+1)Y(p) = kpX(p); 1 ) ( Tp kp p W . АФЧХ, АЧХ и ФЧХ звена приведены на рисунке 15 и рассчитываются по формулам: T j k j j W 1 ) ( ; 2 2 1 ) ( T k A ; T arctg o 90 ) ( 24 Рисунок 15 – Частотные характеристики реального дифференцирующего звена Логарифмические частотные характеристики приведены на рисунке 16. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика реального дифференцирующего звена имеет вид: 2 2 1 lg 20 lg 20 lg 20 ) ( T k L 25 Рисунок 16 - Логарифмические частотные характеристики реального дифференцирующего звена Переходная функция (рисунок 17) имеет вид: T t e T k t h ) ( , t > 0. Рисунок 17 – Переходная функция реального дифференцирующего звена 26 Примерами такого типа звена являются обычная цепочка RC, трансформатор, механический демпфер с пружиной. 1.4 Расчет и построение переходных и частотных характеристик с помощью пакета Mathcad Пакет программ Mathcad фирмы MathSoft относится к программным системам компьютерной математики. Он имеет простой и удобный интерфейс, сочетающийся с мощными средствами для выполнения сложных математических расчетов. Для получения частотных характеристик следует задать ранжированную переменную, определяющую расчетный диапазон частот в формате: <имя переменной частоты>:=<первое значение>,<второе> <последнее>. Здесь диапазон «..» вводится при нажатии клавиши «;». Далее определяется комплексная переменная p():=i. Здесь i – мнимая единица, считается известной в Mathcad (возможно задать ее значение i := 1 ). Квадратный корень задается в шаблоне, который вызывается символом «\». Затем вводится выражение передаточной функции как переменной, зависящей от р. Пример задания частоты от 0.025 до 100 с шагом 0.025 с -1 Диапазон изменения частоты 0.025 0.05 100 Мнимая единица i 1 Замена оператора Лапласа p i Далее в виде функции с помощью оператора присваивания задаётся расчетное выражение передаточной функции с использованием определенной переменной р. В левой части оператора в скобках после имени функции, указывается имя ранжированной переменной-аргумента. Например, W p ( ) a 3 p 3 a 2 p 2 a 1 p a 0 b 4 p 4 b 3 p 3 b 2 p 2 b 1 p b 0 Затем определяются выражения различных частотных характеристик. При этом используются следующие встроенные функции Mathcad: Re(<выражение>) – выделение действительной части выражения; 27 Im(<выражение>) – выражение мнимой части выражения; |<выражение>| – взятие модуля выражения; arg(<выражение>) – взятие аргумента выражения в радианах. Пример определения выражений частотных характеристик в Mathcad. Выражения вещественной и мнимой характеристик системы r p ( ) Re W p ( ) ( ) i p ( ) Im W p ( ) ( ) Амплитудночастотная и фазочастотные характеристики системы A p ( ) W p ( ) p ( ) arg W p ( ) ( ) 180 Логарифмическая амплидудночастотная характеристика L p ( ) 20log W p ( ) ( ) Двухмерные графики в декартовой системе координат строятся в Mathcad с помощью шаблона, вызываемого символом @ (рисунок 18). максимум Y Зона графика переменная Y минимум Y минимум X максимум Рисунок 18 – Шаблон двухмерного графика XY Plot При заполнении шаблона сначала указываются переменные (или расчетные выражения), значения которых отображаются в осях X и Y. При этом следует указывать в скобках полную структуру ранжированной переменной. Можно не указывать диапазон изменения переменных (максимальные и минимальные значения), при этом будут автоматически отображаться на графике все значения. Если выполнить двойной клик левой кнопки мыши по графику, то раскроется диалоговое окно настроек графика. Страница «XY Axes» содержит настройки отображения осей графика с помощью трех групп маркеров: осей абсцисс (X-Axis) и ординат (Y-Axis), а так же вида осей графика (Axes Style). Для настройки отображения данных по осям используются позиции маркеров: Log Scale – установка логарифмической шкалы; 28 Grid Lines – отображение сетки шкалы; Numbered – показ числовых значений линий сетки на шкале; Autoscale – автоматическое масштабирование графика; Show Markers – отображение маркеров графика; Auto Grid – автоматическое определение числа линий сетки, если оно выключено, то в поле Number of Grid следует указать число линий сетки на оси. Общий вид графика настраивается с помощью следующих переключателей: Boxed – на графике не выделяются координатные оси; Crossed – на графике строятся координатные оси; None – на графике не показываются координатная сетка и оси. Если установить маркер в позицию Equal Scales, то масштаб отображения по осям X и Y выбирается одинаковым. Пример построения графиков приведен на рисунке 19. 0 0.5 1 1.5 1 0.5 0 i p r p 0 20 40 60 0 0.5 1 A p АФЧХ системы АЧХ системы Рисунок 19 – Частотные характеристики системы При построении логарифмических характеристик следует в окне настроек графика для оси абсцисс установить маркеры в позициях Log Scale и Grid Lines. Чтобы построить в одних координатных осях шаблона несколько графиков, следует в позиции задания имени функции оси Y указать сначала первую функцию графика (ЛАЧХ), а далее через запятую записать имя второй функции (ФЧХ). При этом снизу имени будет выведен пример линии, которой нарисован график соответствующей функции. При построении 29 графика ФЧХ следует учитывать, что расчетное значение ФЧХ будет лежать в диапазоне от минус 180 до плюс 180 о 0.1 1 10 100 1 10 3 1 10 4 150 100 50 0 L p p Рисунок 20 – ЛАЧХ и ЛФЧХ системы Расчет переходных характеристик системы в Mathcad можно выполнить символьными обратными преобразованиями Лапласа. При этом используется раздел меню |