числовые ряды. Методические указания для решения задач. Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами заданий для самостоятельного решения

• Название: Методические указания для решения задач. Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами заданий для самостоятельного решения
• Дата: 26.10.2022
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• Тип: Методические указания; #756523
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n
n
n
n
arctg
π
23.
а
)
∑
∞
=








−
+
⋅
+
1 3
2
)
1
(
1 6
1
n
n
n
arctg
n
; б
)
( )
∑
∞
=
−
2 2
3
sin
1
n
n
n
24.
а
)
∑
∞
=








+
⋅
−
⋅
+
2 2
1
)
1
(
arccos
2 1
n
n
n
n
n
; б
)
( )
∑
∞
=
−
+
5 2
2 2
cos
1
n
n
n
25.
а
)
( )
∑
∞
=
1 2
2 2
sin
n
n
n
; б
)
( )
(
)
( )
∑
∞
=
−
+
2
ln
1 4
n
n
n
arctg
26.
а
)
( )
∑
∞
=
+
1 4
2 2
4
cos
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
−
+
2
)
1
(
5
n
n
n
n

3.
Применяя радикальный признак
Коши
, исследовать на сходимость ряды
:
1.
n
n
n
n
4 1
1 1
2 1
⋅






+
∑
∞
=
2.
2 1
1 3
1 2
n
n
n
n
∑
∞
=






+
−
3.
∑
∞
=






+
+
1 2
2 2
1 1
2
n
n
n
n
4.
∑
∞
=
+
1 1
2
n
n
n
n
5.
n
n
n
n
n
∑
∞
=






+
⋅
1 4
5 3
2 6.
∑
∞
=
π
1 2
2
sin
n
n
n
n
7.
2 1
2 3
1 2
n
n
n
n
∑
∞
=






−
+
8.
∑
∞
=
1 3
)
(ln
n
n
n
n
9.
3 1
)
1
(
1 3
2 2
+






+
+
∑
∞
=
n
n
n
n
n
10.
3 1
1 3
n
n
n
n
∑
∞
=






−
11.
n
n
n
n
n
∑
∞
=






+
−
1 1
5 3
4 12.
∑
∞
=
1 2
3
n
n
n
arctg
n
π
13.
2 1
5 10
n
n
n
n
∑
∞
=






+
14.
∑
∞
=
+
⋅
1 5
)
1 2
(
3
n
n
n
n
n
15.
∑
∞
=
1 4
arcsin
n
n
n
n
π
16.
∑
∞
=
−
−
⋅
1 1
2
n
n
n
e
17.
2 1
1 3
2
n
n
n
n
∑
∞
=






−
+
18.
2 1
3 4
2
n
n
n
n
∑
∞
=






+
19.
n
n
n
n
n
n
5 1
1
⋅






−
∑
∞
=
20.
n
n
n
n
n
2 1
2 4
1 3
∑
∞
=






+
−
21.
∑
∞
=






+
+
1 2
1 3
2
n
n
n
n
22.
∑
∞
=
+
⋅
1 2
5 3
n
n
n
n
23.
(
)
∑
∞
=
−
⋅






−
+
1 2
1 1
4 2
3
n
n
n
n
n
24.
∑
∞
=
1 2
4 4
n
n
n
arctg
n
π
25.
2 1
3 2
1
n
n
n
n
∑
∞
=






−
+
26.
2 1
3 1
1
n
n
n
n
n
−
∞
=






+
∑

4.
Применяя признак сравнения и
интегральный признак
Коши
, исследовать на сходимость ряды
:
1.
∑
∞
=
+
1 2
)
1 3
(
ln
1
n
n
n
2.
∑
∞
=
+
1 2
)
2
(
ln
)
3
(
1
n
n
n
3.
∑
∞
=
+
1 2
)
1 2
(
ln
1
n
n
n
4.
∑
∞
=
+
+
1 2
)
1
(
ln
)
3 2
(
1
n
n
n
5.
∑
∞
=
+
+
1 2
)
1 2
(
ln
)
3 2
(
1
n
n
n
6.
∑
∞
=
−
3
)
1
ln(
1
n
n
n
7.
∑
∞
=
−
−
3 2
)
7 4
(
ln
)
5 3
(
1
n
n
n
8.
∑
∞
=
+
+
1 2
)
1
(
ln
)
5
(
1
n
n
n
9.
∑
∞
=
+
+
1 2
)
2 5
(
ln
)
4 3
(
1
n
n
n
10.
∑
∞
=
+
1 2
)
7
(
ln
1
n
n
n
11.
∑
∞
=
+
1 2
)
5
(
ln
)
1 2
(
1
n
n
n
12.
∑
∞
=
+
2 3
2
ln
)
1
(
n
n
n
n
13.
∑
∞
=
−
−
5
)
3
ln(
)
2
(
1
n
n
n
14.
∑
∞
=
−
2 2
2
ln
)
3
(
n
n
n
n
15.
∑
∞
=
−
1
)
2
ln(
)
1 2
(
1
n
n
n
16.
∑
∞
=
−
1 2
)
2
(
ln
)
3
(
3
n
n
n
17.
∑
∞
=
+
1
)
2
ln(
)
1
(
1
n
n
n
18.
∑
∞
=
+
1 2
ln
)
5
(
n
n
n
n
19.
∑
∞
=
−
2
ln
)
1 3
(
1
n
n
n
20.
∑
∞
=
+
2 2
ln
)
3 2
(
3
n
n
n
n
21.
∑
∞
=
+
−
1
)
1
ln(
)
1 2
(
1
n
n
n
22.
∑
∞
=
−
−
+
4 2
)
2
ln(
)
9 5
(
1
n
n
n
n
23.
∑
∞
=
+
−
1
)
1 3
ln(
)
3 2
(
1
n
n
n
24.
∑
∞
=
−
1 2
)
2
ln(
)
2
(
3
n
n
n
n
25.
∑
∞
=
+
2 2
ln
)
2
(
1
n
n
n
26.
∑
∞
=
+
+
1 2
)
1 3
(
ln
)
1 2
(
1
n
n
n

5.
Исследовать на сходимость ряды по признаку
Даламбера
:
1.
∑
∞
=
−
+
1
)!
1
(
3 1
2
n
n
n
n
2.
∑
∞
=
−
4
!
)
3
(
7
n
n
n
3.
∑
∞
=
1 2
2 2
)
!
(
n
n
n
4.
∑
∞
=
−
⋅
6
)!
5
(
3
n
n
n
n
n
5.
∑
∞
=
+
−
+
⋅
1 3
2
)!
1
(
)
2
(
5
n
n
n
n
6.
∑
∞
=
+
⋅
1 1
5
)!
2
(
!
n
n
n
n
7.
∑
∞
=
+
⋅
1
)!
1 2
(
!
10
n
n
n
n
8.
∑
∞
=
+
+
1 2
)!
1
(
)
2
(
6
n
n
n
n
9.
∑
∞
=
⋅
+
+
1 7
1 5
4
)!
2 2
(
n
n
n
n
10.
∑
∞
=
+
+
1 2
!
)
2
(
1
n
n
n
11.
∑
∞
=
⋅
+
+
1 5
2
)!
1
(
3 2
n
n
n
n
12.
∑
∞
=
2 2
)
!
(
n
n
n
n
13.
∑
∞
=
+
+
1 1
2
)!
1 2
(
7
n
n
n
14.
∑
∞
=
1
!
)
3
(
!
n
n
n
15.
∑
∞
=
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
1
)!
1
(
3
)
1 2
(
5 3
1
n
n
n
n
16.
∑
∞
=
+
1 2
)!
2
(
)
3 4
(
)
!
(
n
n
n
n
17.
∑
∞
=
+
1 1
!
n
n
n
n
18.
∑
∞
=
−
+
1 1
6
!
)
2
(
n
n
n
19.
∑
∞
=
+
1
)!
3
(
n
n
n
n
20.
∑
∞
=
+
+
⋅
2 3
2
)!
1
(
1 5
n
n
n
n
21.
∑
∞
=
+
⋅
1 2
!
4
n
n
n
n
n
22.
∑
∞
=
+
⋅
1
)!
2
(
!
)
1
(
5
n
n
n
n
23.
∑
∞
=
+
⋅
+
1 1
5
)!
2
(
3
n
n
n
n
24.
∑
∞
=
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
1
)
1 3
(
8 5
2
)
1 2
(
7 5
3
n
n
n
25.
∑
∞
=
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
1
)
5 2
(
11 9
7
)
2 3
(
7 4
1
n
n
n
26.
( )
∑
∞
=
1
!
2
n
n
n
n

6.
Исследовать на сходимость ряды
, используя подходящие признаки сходимости
:
1.
∑
∞
=






+
1 1
n
n
n
n
2.
(
)
∑
∞
=
+
+
1 1
1
n
n
n
n
n
3.
∑
∞
=
⋅
+
1 3
5 1
3
n
n
n
n
4.






−
+
⋅
∑
∞
=
1 1
ln
1 1
n
n
n
n
n
5.
∑
∞
=








−
+
1 2
2 6
4 5
3
n
n
n
n
n
n
6.
(
)
∑
∞
=
+
1 1
2
!
n
n
n
n
7.
(
)
∑
∞
=
−
1 1
n
n
n
n
8.
( )
∑
∞
=
1 3
!
ln
n
n
n
9.
(
)
∑
∞
=
+
+
1 2
3 4
n
n
n
n
n
10.
∑
∞
=
−
1 3
3 3
n
n
n
11.
n
n
n
n
n
−
−
+
∑
∞
=
2 1
2 3
12.
(
)
( )
∑
∞
=
⋅
+
1 2
1 1
n
n
arctg
n
13.
∑
∞
=
⋅






+
1 2
2 1
n
n
n
e
n
n
14.
2 3
1 1
ln






+
⋅
∑
∞
=
n
n
n
n
15.
∑
∞
=
+
1 2
4 1
n
n
n
16.
∑
∞
=






−
1 2
1 1
n
n
n
17.
n
n
e
n
n






⋅
∑
∞
=
1
!
1 18.
(
)
∑
∞
=
+
1 2
1
ln
1
n
n
n
19.
∑
∞
=






+
+
1 2
2 1
1
n
n
n
20.
(
)
(
)
∑
∞
=
−
−
⋅
⋅
⋅
1
!
1 2
1 2
3 1
n
n
n
21.
∑
∞
=






+
+
1 4
1 1
n
n
n
tg
π
22.
∑
∞
=
−
+
1 3
2 2
n
n
n
n
23.
(
)
∑
∞
=
+
⋅
1 3
2
ln
1
n
n
n
24.
(
)
∑
∞
=
−
−
+
2 2
1 1
5
n
n
n
n
25.






⋅
∑
∞
=
n
arctg
n
n
2 1
1 26.
n
n
n
2 1
sin
5 3
2
⋅






∑
∞
=

7.
Исследовать на абсолютную и
условную сходимость ряды
:
1.
а
)
( )
∑
∞
=
+
+
⋅
−
1 4
1 4
2 1
n
n
n
n
; б
)
( )
∑
∞
=
1 5
5
sin
n
n
n
2.
а
)
( )
(
)
∑
∞
=
+
+
−
1 2
)
1
(
arcsin
1
n
n
n
n
n
n
; б
)
( )
∑
∞
=
+
−
+
1 3
2 1
1
n
n
n
n
n
3.
а
)
∑
∞
=
+
+
+
−
1 1
)
1
(
1 2
)
1
(
n
n
n
n
n
; б
)
( )
∑
∞
=






+
+
−
1 1
2 1
3 1
n
n
n
n
n
4.
а
)
∑
∞
=
+
+
−
1 1
)
1
ln(
)
1
(
n
n
n
; б
)
( )






π
⋅
−
∑
∞
=
−
n
n
n
2
sin
1 3
1 1
5.
а
)
∑
∞
=
−
4
ln
)
ln
(ln
)
1
(
n
n
n
n
n
; б
)
n
n
n
n
n
∑
∞
=
+






+
−
1 1
1 2
)
1
(
6.
а
)
∑
∞
=
+
−
2
ln
)
1
(
)
1
(
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
−
−
1 2
4 2
1 2
)
1
(
n
n
n
n
n
7.
а
)
∑
∞
=
+
−
1
)
1
ln(
)
1
(
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
−
1 1
3 2
)
1
(
n
n
n
n
8.
а
)
∑
∞
=
+






π
−
1 1
3 2
sin
)
1
(
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
1 2
cos
n
n
n
9.
а
)
∑
∞
=






π
−
1 6
cos
)
1
(
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
1 2
3
sin
)
1
(
n
n
n
n
10.
а
)
∑
∞
=
−
1
)
2
ln(
)
1
(
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
−
1 1
2 2
)
1 2
(
)
1
(
n
n
n
n
11.
а
)
∑
∞
=






−
1 1
)
1
(
n
n
n
tg
; б
)
∑
∞
=
−
+
−
1 2
1 2
)
1
(
)
1
(
n
n
n
n
12.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 3
1 2
)
1
(
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
π
−
1 2
sin
)
1
(
n
n
n
13.
а
)
∑
∞
=
+
+
−
1 2
)
4
(
ln
)
3
(
)
1
(
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
−
1 2
2
sin
)
1
(
n
n
n
n

14.
а
)
∑
∞
=
+
−
1 3
1
)
1
(
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=






+
−
1 2
1 1
ln
)
1
(
n
n
n
15.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 1
3
)
1
(
n
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=






⋅






−
1 1
1
sin
)
1
(
n
n
n
tg
n
16.
а
)
∑
∞
=






−
−
1 1
cos
1
)
1
(
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
1
!
sin
n
n
n
17.
а
)
( )
∑
∞
=






π
⋅
−
1
sin
1
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
1 3
cos
n
n
n
n
18.
а
)
( )
∑
∞
=






+
+
+
−
−
1 2
2 2
3 1
2 1
n
n
n
n
n
n
; б
)
( )
(
)
∑
∞
=














+
+
+
+
π
−
1 2
2 6
5 3
1
sin
1