числовые ряды. Методические указания для решения задач. Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами заданий для самостоятельного решения
 Скачать 361.53 Kb.
|
Утверждение 2.Еслирядсходитсянеабсолютно (т.е. сходитсяусловнопо признакуЛейбница), топутемнадлежащейперестановкиегочленоввсегда можнопридатьсуммерядапроизвольноезначениеидажесделатьряд расходящимся. Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ = − 1 ) 1 ( n n n Решение. Это знакочередующийся гармонический ряд. Первоначально, исследуем исходный ряд на абсолютно сходимость. Для этого составим ряд из абсолютных величин его членов ∑ ∞ = 1 1 n n – это гармонический расходящийся ряд. Следовательно, абсолютной сходимости нет. Поэтому исследуем исходный ряд по признаку Лейбница на условную сходимость. Условия для 0 1 ≥ = n a n : 1) n n 1 1 1 ≤ + , 2) 0 1 lim = +∞ → n n выполняются, следовательно, искомый ряд сходится условно. ■ Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ = + − 1 2 1 1 2 ) 1 ( n n n n n Решение. Составим ряд из абсолютных величин его членов: ∑ ∞ = + 1 2 1 1 2 1 n n n n Применим к получившемуся знакоположительному ряду достаточный признак Коши: 2 1 1 lim 2 1 1 1 2 1 lim 2 e n n n n n n n n = + = + +∞ → +∞ → (в силу второго замечательного предела). Из расходимости данного ряда по признаку Коши (так как 1 2 > e ) следует расходимость исходного ряда. ■ Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ = − − 1 3 1 2 sin ) 1 ( n n n π Решение. Искомый ряд является знакочередующимся, исследуем его на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из абсолютных величин его членов ∑ ∑ ∞ = ∞ = = 1 1 3 3 2 sin 2 sin n n n n π π . К общему члену получившегося знакоположительного ряда можно применить эквивалентность α α sin , так как 0 2 ∞ → → n n π . Тогда 3 3 2 2 sin n n π π при +∞ → n . Из сходимости ряда = ∑ ∞ = 1 2 / 3 3 8 n n π ∑ ∞ = = 1 2 / 3 3 1 8 n n π (см. (2.2) – сходимость обобщенного гармонического ряда, 1 2 3 > = q ) следует сходимость ряда ∑ ∞ = 1 3 2 sin n n π . Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. ■ Пример 3.4. Исследовать на сходимость ряд ( ) ∑ ∞ = + + − 1 2 1 3 2 ) 1 ( n n n n n Решение. Исследуем исходный ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд из абсолютных величин ∑ ∞ = + + 1 2 2 1 3 2 n n n n . Из оценки общего члена получившегося знакоположительного ряда n n n n n 3 2 1 3 2 2 2 2 < + + и первого признака сравнения следует сходимость ряда, составленного из абсолютных величин, т.к. n 3 2 есть общий член сходящегося геометрического ряда со знаменателем 1 3 2 < = q Поэтому исходный ряд ( ) ∑ ∞ = + + − 1 2 1 3 2 ) 1 ( n n n n n сходится абсолютно.■ Пример 3.5. Исследовать на сходимость ряд n n n n n ∑ ∞ = + + − 1 3 2 2 3 ) 1 ( Решение. Данный ряд – знакочередующийся, поэтому проверим его на абсолютную сходимость. Составим ряд из абсолютных величин. По виду общего члена полученного ряда делаем выбор достаточного признака сходимости. Применим признак Коши с общим членом n n n n a + + = 3 2 2 3 . Очевидно, что 1 2 3 3 2 2 3 lim lim > = + + = +∞ → +∞ → n n n n n n n a . Так как ряд, составленный из абсолютных величин, расходится по признаку Коши, то и искомый ряд расходится. Можно было исследовать этот ряд с помощью необходимого признака сходимости. Так как +∞ = = + + = +∞ → +∞ → +∞ → n n n n n n n n a 2 3 lim 3 2 2 3 lim lim , то исходный ряд расходится (не выполняется первое условие Лейбница). ■ Пример 3.6. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ = − 1 ! 5 ) 1 ( n n n n n n Решение. Данный ряд – знакочередующийся, поэтому проверим его на абсолютную сходимость. Ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, исследуем на сходимость по признаку Даламбера. Так как общий член )! 1 ( 5 ) 1 ( ; ! 5 1 1 1 + + = = + + + n n a n n a n n n n n n , то = + + = + + +∞ → + +∞ → ! 5 : )! 1 ( 5 ) 1 ( lim lim 1 1 1 n n n n a a n n n n n n n n = + + + + +∞ → ! ) 1 ( 5 ! ) 1 ( 5 lim 1 1 n n n n n n n n n = + = +∞ → n n n n 1 lim 5 1 1 5 1 1 lim 5 1 < = + +∞ → e n n n , и данный ряд сходится. Поэтому искомый ряд сходится абсолютно. ■ Пример 3.7. Исследовать сходимость ряда ( ) ∑ ∞ = 1 2 2 sin n n n π Решение. Поскольку ( ) 0 lim 2 ≠ ∞ = ∞ → n n π , то нельзя применить эквивалентность: α α sin . Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд из модулей членов исходного ряда ( ) ∑ ∞ = 1 2 2 sin n n n π . Так как ( ) 2 sin n π 1 ≤ , то ( ) ∑ ∞ = 1 2 2 sin n n n π ∑ ∞ = ≤ 1 2 1 n n . Из сходимости обобщенного гармонического ряда ∑ ∞ = 1 2 1 n n по первому признаку сравнения следует сходимость исходного ряда. ■ Пример 3.8. Исследовать сходимость ряда ( ) ( ) ∑ ∞ = − + − 1 2 1 cos 1 n n n n Решение. Данный знакочередующийся ряд исследуем на абсолютную сходимость. Составим ряд из абсолютных величин исходного ряда ( ) ∑ ∞ = + 1 2 cos 1 n n n . Очевидно, что ( ) ∑ ∞ = + 1 2 cos 1 n n n ∑ ∞ = + ≥ 1 1 1 n n . Ряд ∑ ∞ = + 1 1 1 n n по второму признаку сравнения одновременно расходится с ∑ ∞ = 1 1 n n ( 1 2 1 < = p ). Тогда, по первому признаку сравнения из расходимости «меньшего» ряда следует расходимость ряда ( ) ∑ ∞ = + 1 2 cos 1 n n n . Следовательно, абсолютной сходимости исходного ряда нет. Проверим выполнение условий признака Лейбница на условную сходимость. Отметим, что вместо члена ( ) n n 2 cos 1 + можно рассматривать 1 1 + n . Условия 1) ∞ → n lim 0 1 1 = + n и 2) 1 1 1 + + n 1 1 + ≤ n выполняются, следовательно, исходный ряд условно сходящийся. ■ Пример 3.9. Вычислить сумму ряда ( ) ∑ ∞ = 1 ! 1 n n n с точностью 5 10 − = ε Решение. ( ) ∑ ∞ = 1 ! 1 n n n 24 1 6 1 2 1 1 1 4 3 2 + + + + = Так как 5 3 10 − > a , а 5 4 10 − < a , то для вычисления приближенного значения ряда с требуемой точностью достаточно взять четыре первых слагаемых : ( ) ∑ ∞ = 1 ! 1 n n n = + + + = 4 3 2 24 1 6 1 2 1 1 1 25463 , 1 331776 1 216 1 4 1 1 = + + + Отметим , что оценкой (3.4) в данном случае нельзя воспользоваться , так как ряд знакоположительный ■ Пример 3.10. Вычислить сумму ряда ∑ ∞ = − ⋅ − 1 1 2 )! 2 ( ) 1 ( n n n n с точностью 5 10 − = ε Решение. 8 ! 8 1 6 ! 6 1 4 ! 4 1 2 ! 2 1 2 )! 2 ( ) 1 ( 1 1 + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ∑ ∞ = − n n n n Так как четвертый член 00001 , 0 000003 , 0 8 ! 8 1 < ≈ ⋅ , то согласно неравенству оценки остатка знакочередующегося ряда (3.4), для вычисления приближенного значения ряда с требуемой точностью достаточно ограничиться первыми тремя членами ряда : ( ) 23981 , 0 4320 1 96 1 4 1 6 ! 6 1 4 ! 4 1 2 ! 2 1 2 )! 2 ( 1 1 1 ≈ + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ∑ ∞ = − n n n n ■ Пример 3.11. Докажите , с помощью рядов , что 0 ! lim = +∞ → n n n n Решение. Составим числовой ряд , общий член которого задан по формуле : n n n n a ! = Полученный ряд – знакоположительный , поэтому применим к нему достаточный признак сходимости По виду общего члена ряда останавливаем свой выбор на признаке Даламбера : = + + = + + = + +∞ → + + +∞ → ! ) 1 ( )! 1 ( lim ! : ) 1 ( )! 1 ( lim 1 1 1 n n n n n n n n a a n n n n n n n n = + + + +∞ → 1 ) 1 ( ) 1 ( lim n n n n n n = + = +∞ → n n n n n ) 1 ( lim ( ) 1 1 1 1 1 lim < = + +∞ → e n n n ( использовали второй замечательный предел ). Следовательно , ряд сходится По необходимому признаку сходимости (1.3): если числовой ряд сходится , то 0 lim = +∞ → n n a , следовательно 0 ! lim = +∞ → n n n n ■ 4. СХОДИМОСТЬРЯДОВСКОМПЛЕКСНЫМИЧЛЕНАМИ Рассмотрим числовые ряды , членами которых являются не вещественные числа , а комплексные Пусть дан ряд 2 1 + + + + n c c c , (4.1) где общий член ряда n c – комплексное число , т е n n n b i a c + = , причем ( ) ( ) n n n n b c a c = = Im , Re Если последовательность частичных сумм n n c c c S + + + = 2 1 ряда (4.1) имеет конечный предел S : b i a S S n n + = = +∞ → lim , то ряд называется сходящимся , а комплексное число S – его суммой В противном случае , когда этот предел не существует или равен бесконечности , ряд (4.1) называется расходящимся Теория рядов с комплексными числами тесно связана с теорией вещественных числовых рядов Вместе с рядом (4.1) рассматривают ряды ∑ ∞ = 1 n n a (4.2) и ∑ ∞ = 1 n n b (4.3), составленные из вещественных и мнимых частей комплексных членов ряда Теорема (необходимоеидостаточноеусловиесходимости). Числовой ряд с комплексными членами (4.1) сходится тогда и только тогда , когда сходятся оба ряда с вещественными членами (4.2) и (4.3). Ряд (4.1) расходится , когда расходится хотя бы один из числовых рядов (4.2), (4.3). Это дает нам метод исследования сходимости и расходимости ряда (4.1) с комплексными членами , заключающийся в исследовании сходимости и расходимости двух числовых рядов (4.2) и (4.3) с вещественными числами , для которых применимы ранее рассмотренные приемы Пример 4.1. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ ∞ = + + 1 4 2 1 1 n n n i n Решение. Так как данный числовой ряд с комплексными членами , то для исследования его на сходимость составим два ряда , полученные из вещественных и мнимых частей комплексных членов ряда : ∑ ∞ = 1 2 1 n n и ∑ ∞ = + 1 4 1 n n n Первый из составленных рядов является обобщенным гармоническим рядом , он сходится , так как 1 2 > = p Второй ряд по второму признаку сравнения эквивалентен в смысле сходимости ряду ∑ ∞ = 1 3 1 n n , т к 1 4 + n n 3 4 1 n n n = при +∞ → n Поэтому ряд ∑ ∞ = + 1 4 1 n n n сходится в силу сходимости обобщенного гармонического ряда ∑ ∞ = 1 3 1 n n ( 1 3 > = p ). По теореме ряд ∑ ∞ = + + 1 4 2 1 1 n n n i n является сходящимся , так как сходятся ряды ∑ ∞ = 1 2 1 n n и ∑ ∞ = + 1 4 1 n n n ■ Необходимыйпризнаксходимостиряда (4.1): Если ряд (4.1) сходится , то 0 lim = +∞ → n n c . (4.3) Достаточныйпризнакрасходимостиряда (4.1): Если для ряда (4.1) 0 lim ≠ +∞ → n n c , то ряд расходится . (4.4) Заметим , что на практике удобно находить предел модуля общего члена ряда при +∞ → n , т к 0 lim = +∞ → n n c ⇔ 0 lim = +∞ → n n c Пример 4.2. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ = + 1 2 ) 2 ( n n n i n Решение. Рассмотрим общий член исследуемого ряда = + = n n n i n c 2 ) 2 ( n i n + = 2 1 Вычислим модуль этого комплексного числа : = + = n n n c 4 1 1 n n = 2 5 Тогда 0 2 5 lim lim ≠ +∞ = = +∞ → +∞ → n n n n n c , поскольку 1 2 5 > Следовательно , по достаточному признаку расходимости (4.4) искомый ряд расходится ■ На ряды с комплексными членами переносится понятие абсолютной сходимости Ряд (4.1) называется абсолютно сходящимся , если сходится знакоположительный ряд с вещественными членами , составленный из модулей членов ряда (4.1), т е ряд = ∑ ∞ = 1 n n c ∑ ∞ = + 1 2 2 n n n b a . (4.5) Утверждение |