числовые ряды. Методические указания для решения задач. Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами заданий для самостоятельного решения

• Название: Методические указания для решения задач. Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами заданий для самостоятельного решения
• Дата: 26.10.2022
• Размер: 361.53 Kb.
• Имя файла: числовые ряды.pdf
• Тип: Методические указания; #756523
• страница: 4 из 6

. Из абсолютной сходимости ряда
(4.5)
следует
,
сходимость рядов
∑
∞
=
1
n
n
a
,
∑
∞
=
1
n
n
b
и искомого ряда
(4.1):
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
+
=
1 1
n
n
n
n
n
b
i
a
c
.

Этот результат дает нам удобный метод исследования сходимости рядов с
комплексными членами
Пример 4.3.
Исследуем на сходимость ряд
(
)
∑
∞
=
+
1 1
n
n
i
n
Решение. Приведем общий член ряда к
алгебраической форме комплексного числа
, умножив его на сопряженное знаменателя
:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1 1
1
+
−
+
=
+
−
=
+
n
n
i
n
n
n
n
n
i
n
n
i
n
Составим ряд из модулей членов исходного ряда
(
)
(
)
(
)
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
=
+
+
=
+
+
+
1 1
2 2
1 2
2 2
2 1
1 1
1 1
1 1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Так как
2 3
1

1 1
n
n
n
+
при
+∞
→
n
, и
обобщенный гармонический ряд
∑
∞
=
1 2
3 1
n
n
сходится
(
1 2
3
>
=
p
), то сходится и
ряд
∑
∞
=
+
1 1
1
n
n
n
Следовательно
, искомый ряд сходится абсолютно
■
Справедливоиобратноеутверждение: если абсолютно сходятся ряды
∑
∞
=
1
n
n
a
и
∑
∞
=
1
n
n
b
,
то абсолютно сходится и
ряд
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
+
=
1 1
n
n
n
n
n
b
i
a
c
.
Пример 4.4.
Исследовать сходимость ряда
∑
∞
=
1
n
n
n
i
Решение.
Перепишем ряд в
виде
:
=
∑
∞
=
1
n
n
n
i
∑
∞
=
−








−
−
+
−
1 1
1 2
)
1
(
2
)
1
(
n
n
n
n
i
n
Исследуем ряды
:
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
−
−
1 1
1 1
2
)
1
(
,
2
)
1
(
n
n
n
n
n
n
на сходимость
Оба ряда эквивалентны ряду
∑
∞
=
−
1
)
1
(
n
n
n
, поэтому
, они сходятся по признаку
Лейбница
(
см пример
3.1).
Следовательно
, сходится и
исследуемый ряд
Если же составить ряд из модулей членов искомого

ряда
:
∑
∞
=
1 1
n
n
, то он расходится
(
см пример
2.1).
Таким образом
, исходный ряд является условно сходящимся
■
Пример 4.5. Исследовать сходимость ряда
∑
∞
=






−
1 7
3 4
n
n
i
Решение. Проверим необходимый признак сходимости ряда с
комплексными членами
n
n
c
∞
→
lim
=






+
=
+
−
=
∞
→
∞
→
n
n
n
n
i
49 16 49 9
lim
7 4
7 3
lim
0 7
5
lim
=






∞
→
n
n
Необходимый признак сходимости выполняется
, но он не является достаточным
Составим ряд из модулей членов исходного ряда
∑
∑
∞
=
∞
=






=
−
1 1
7 5
7 3
4
n
n
n
n
i
Полученный ряд является геометрическим рядом
Он сходится
, так как
7 5
=
q
Следовательно
, исходный ряд абсолютно сходящийся
■
5. ВОПРОСЫДЛЯСАМОПРОВЕРКИ
1.
Дайте определения сходящегося и
расходящегося рядов
Исследуйте сходимость ряда
, составленного из членов геометрической прогрессии
2.
Докажите необходимый признак сходимости
3.
Дайте определения линейных операций над числовыми рядами
4.
Докажите
, что отбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости
(
расходимости
).
Покажите
, что сумма ряда равна сумме первых его
n
членов
, сложенной с
суммой ряда
, полученного из данного ряда отбрасыванием этих
n
членов
5.
Докажите теорему о
сравнении рядов с
положительными членами
Приведите пример применения этого признака
6.
Докажите признак
Даламбера сходимости знакоположительных рядов
Приведите пример применения этого признака

7.
Докажите признак
Коши сходимости рядов с
положительными членами
Приведите пример применения этого признака
8.
Докажите интегральный признак
Коши сходимости ряда
Приведите пример применения этого признака
9.
Дайте понятие знакопеременного ряда
, его условной и
абсолютной сходимости
Приведите примеры абсолютно и
условно сходящихся рядов
10.
Докажите
, что из абсолютной сходимости знакопеременного ряда следует его сходимость
11.
Докажите признак
Лейбница сходимости знакочередующихся рядов
Приведите пример на применение этого признака
12.
Покажите
, что при замене суммы ряда типа
Лейбница суммой первых его членов допускаемая абсолютная погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена
13.
Дайте определение сходимости рядов с
комплексными членами
Приведите примеры сходящихся и
расходящихся рядов
Сформулируйте методы исследования на сходимость ряда с
комплексными членами
14.
Используя неравенства
y
x
y
x
iy
x
z
+
≤
+
=
+
=
2 2
,
y
i
x
y
y
i
x
x
+
≤
+
≤
;
, докажите необходимый и
достаточный признаки сходимости ряда с
комплексными членами

ЗАДАНИЯДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГОРЕШЕНИЯ
1.
Найти сумму ряда
:
1.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 2
5 8
4 1
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
−
−
3
)
2
(
)
1
(
5 4
n
n
n
n
n
2.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 2
3 8
16 1
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
1
)
3
(
)
2
(
1
n
n
n
n
3.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 2
5 12 9
6
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
−
3 2
)
1
(
5 3
n
n
n
n
4.
а
)
∑
∞
=
−
−
2 2
5 12 9
24
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
−
−
3
)
2
(
)
1
(
2 5
n
n
n
n
n
5.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 2
8 6
9 6
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
−
−
3
)
2
(
)
1
(
4
n
n
n
n
n
6.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 2
8 21 9
9
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
+
1
)
2
(
)
1
(
6
n
n
n
n
n
7.
а
)
∑
∞
=
+
+
0 2
3 8
4 2
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
−
3
)
2
(
)
1
(
4
n
n
n
n
8.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 2
45 28 49 14
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
+
1
)
3
(
)
1
(
3 5
n
n
n
n
n
9.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 2
2 3
9 3
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
+
1
)
3
(
)
2
(
6
n
n
n
n
n
10.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 2
12 7
49 7
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
3 2
)
4
(
1
n
n
n
11.
а
)
∑
∞
=
−
+
2 2
2 1
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
+
1
)
2
(
)
1
(
2 3
n
n
n
n
n
12.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 2
48 14 49 14
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
−
−
1
)
2
(
)
1
(
2 5
n
n
n
n
n
13.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 2
5 24 36 6
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
2 2
)
1
(
1
n
n
n

14.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 2
13 84 49 14
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
+
1
)
2
(
)
1
(
8 3
n
n
n
n
n
15.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 2
3 4
4 4
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
1
)
3
(
)
1
(
1
n
n
n
n
16.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 2
6 35 49 7
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
−
−
3 2
)
2
(
)
1
(
2 4
n
n
n
n
17.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 2
20 3
9 9
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
−
1
)
2
(
)
1
(
2 3
n
n
n
n
n
18.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 2
40 42 49 14
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
−
+
−
3
)
2
(
)
1
(
)
1
(
10 8
n
n
n
n
n
19.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 2
15 8
16 8
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
+
1
)
2
(
)
1
(
4 3
n
n
n
n
n
20.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 2
10 21 49 7
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
−
+
1
)
1
(
)
1
(
1 3
n
n
n
n
n
21.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 2
6 5
25 5
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
−
1
)
3
(
)
1
(
2
n
n
n
n
n
22.
а
)
∑
∞
=
−
1 2
9 4
6
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
+
1
)
4
(
)
1
(
4 3
n
n
n
n
n
23.
а
)
∑
∞
=
−
−
1 2
6 35 49 7
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
−
+
3
)
2
(
)
1
(
2
n
n
n
n
n
24.
а
)
∑
∞
=
−
+
2 2
2 1
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
1
)
2
(
)
1
(
2
n
n
n
n
25.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 2
35 12 36 12
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
−
3 2
)
1
(
1 3
n
n
n
n
26.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 2
10 21 49 12
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
+
1
)
3
)(
1
(
9 5
n
n
n
n
n

2.
Исследовать ряды на сходимость
, используя признаки сравнения
:
1.
а
)
( )
∑
∞
=
+
1 2
)
1
(
cos
n
n
n
n
; б
)
( )
( )
∑
∞
=
−
−
+
1
ln
1 2
n
n
n
n
2.
а
)
∑
∞
=
−
+
1 6
)
1
(
5
n
n
n
; б
)
(
)
∑
∞
=
+
+
1 1
ln
1
n
n
n
n
3.
а
)
( )
∑
∞
=
1 2
3
sin
n
n
n
n
; б
)
( )
∑
∞
=
−
2 3
2 5
ln
n
n
n
n
4.
а
)
∑
∞
=
+
1 2
1
)
(
n
n
n
arctg
; б
)
(
)
∑
∞
=
−
+
1 2
1 2
)
(
cos
2
n
n
n
n
π
5.
а
)
∑
∞
=
⋅
+
1 2
5
)
1
(
n
n
n
n
arctg
; б
)
(
)
∑
∞
=
−
−
2 3
3 3
)
1
(
arcsin
n
n
n
n
n
6.
а
)
( )
∑
∞
=
⋅
+
⋅
1 4
3
)
1
(
sin
n
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
+
2 2
2 3
ln
n
n
n
n
n
7.
а
)
(
)
∑
∞
=
+
1 2
4 4
2
cos
n
n
n
n
π
; б
)
( )
∑
∞
=
−
⋅
2 2
3
ln
n
n
n
n
8.
а
)
∑
∞
=
1 1
n
n
n
; б
)
(
)
(
)
∑
∞
=
π
+
⋅
+
1 3
2 2
sin
2 3
n
n
n
n
9.
а
)
( )
∑
∞
=
+
1 2
3 9
3
cos
n
n
n
; б
)






⋅
∑
∞
=
n
n
n
3 1
sin
1 2
4 3
10.
а
)
( )
∑
∞
=
1 2
2
sin
n
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
⋅
−
⋅
2 2
2 1
3
n
n
n
n
arctg
π
11.
а
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
⋅
1 2
)
2
(
)
1
(
2
cos
n
n
n
n
n
π
; б
)
( )
(
)
(
)
∑
∞
=
+
−
+
1 1
ln
1 2
n
n
n
arctg
12.
а
)
( )
∑
∞
=
1 3
7
ln
n
n
n
; б
)
( )
∑
∞
=
−
2 2
6
cos
1
n
n
n
13.
а
)
( )
∑
∞
=
+
1 2
2 5
sin
n
n
n
; б
)
( )
∑
∞
=
−
−
+
5 4
1 3
n
n
n

14.
а
)
(
)
∑
∞
=
+
1 2
2
sin
1
n
n
n
π
; б
)
( )
∑
∞
=
⋅
−
+
2
ln
1 2
n
n
n
n
15.
а
)
(
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
1 4
7 10 2
cos
2
n
n
n
n
π
; б
)
( )
∑
∞
=
−
⋅
5 3
4 3
4
ln
n
n
n
n
n
16.
а
)
∑
∞
=
+
−
+
1 2
2
)
1
(
3
n
n
n
; б
)
(
)
∑
∞
=
−
+
+
2 2
3 2
sin
2
n
n
n
π
π
17.
а
)
∑
∞
=
+
1
)
2
(
n
n
n
n
arcctg
; б
)
(
)
∑
∞
=
−
−
2 4
4 2
2 2
)
1
(
arccos
n
n
n
n
18.
а
)
( )
∑
∞
=
+
⋅
1 4
2 4
cos
n
n
n
n
; б
)
(
)
∑
∞
=
−
+
2 3 2
3 2
ln
n
n
n
n
19.
а
)
( )
∑
∞
=
+
+
1 3
1
ln
n
n
n
n
; б
)
( )
∑
∞
=
−
6 5
ln
n
n
n
20.
а
)
(
)
∑
∞
=
+
1 2
21 3
3
cos
n
n
n
π
; б
)
(
)
(
)
∑
∞
=
+
+
1 2
2
cos
2 4
n
n
n
n
π
21.
а
)
( )
∑
∞
=
+
+
1 5
1
ln
n
n
n
n
; б
)
( )








−
+
⋅
−
∑
∞
=
6 1
2
cos
4 1
3 4
3
n
n
n
n
22.
а
)
∑
∞
=








−
+
⋅
+
1 4
)
1
(
3
arcsin
4 1
n
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
−
⋅
−
⋅
3 4
3 4
2 2
1 2