числовые ряды. Методические указания для решения задач. Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами заданий для самостоятельного решения

• Название: Методические указания для решения задач. Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами заданий для самостоятельного решения
• Дата: 26.10.2022
• Размер: 361.53 Kb.
• Имя файла: числовые ряды.pdf
• Тип: Методические указания; #756523
• страница: 6 из 6

n
n
n
n
n
n
n
19.
а
)
( )
∑
∞
=
−
1
ln
1
n
n
n
n
; б
)
( )
!
5 1
2 1
n
n
n
n
+
∞
=
∑
−
20.
а
)
( )
(
)
∑
∞
=
π
+
−
1 6
sin
1 1
n
n
n
n
; б
)
( )
∑
∞
=
−
−
5 2
2 1
1
n
n
n
n
21.
а
)
( )
(
)
∑
∞
=
+
−
1
ln
1
n
n
n
n
n
e
n
; б
)
( )
n
n
n
n
n
n
n
∑
∞
=














+
+
+
+
−
1 2
2 1
2 1
3
ln
1 22.
а
)
n
n
n
n
∑
∞
=






+
−
1 3
2 5
1
; б
)
( )
( )
∑
∞
=
1 3
ln
2
sin
n
n
n
23.
а
)
( )
(
)
∑
∞
=
+
+
⋅
−
1 2
1 2
3 5
2
n
n
n
n
n
; б
)
( )
∑
∞
=
−
+
−
1 1
2 2
1 1
n
n
n
n
24.
а
)
( )






+
⋅
+
−
∑
∞
=
1 1
5 1
2 1
n
tg
n
n
n
; б
)
∑
∞
=
+
1 3
cos
1
n
n
n
25.
а
)
( )
∑
∞
=






−
π
⋅
−
2 2
1 2
sin
1
n
n
n
n
; б
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
−
1 2
!
2 1
n
n
n
n
n
n
26.
а
)
( )
∑
∞
=
−
+
⋅
−
1 1
2 2
1 1
n
n
n
n
; б
)
(
)
(
)
∑
∞
=
−
π
4 3
4 3
2
sin
n
n
n

1.
Исследовать на сходимость с
помощью признаков сравнения
(
применять таблицу эквивалентностей
):
1.
∑
∞
=






+
⋅
1 2
1 1
n
n
tg
n
2.
∑
∞
=








+
+
1 2
2 2
1
ln
)
2
(
n
n
n
n
3.
∑
∞
=






+
⋅
+
1 2
1
)
1
(
n
n
arctg
n
4.
∑
∞
=






+
⋅
+
+
1 2
3 2
1
arcsin
3 1
n
n
n
n
5.
∑
∞
=






−
⋅
−
2 3
1 1
1 1
n
n
arctg
n
6.
∑
∞
=






−
−
+
1
)
2
)(
1
(
2
arcsin
n
n
n
n
n
7.
(
)
1 3
1 1
1
−
+
∑
∞
=
n
n
e
n
8.
∑
∞
=






+
+
1
)
1
)(
2
(
1
n
n
n
arctg
9.
(
)
∑
∞
=
−
−
1 5
5 1
2
)
4
(
cos
1
n
n
n
π
10.
∑
∞
=






+
+
1 2
)
1
(
2
n
n
n
n
tg
11.
(
)
(
)
∑
∞
=
−
1 2
cos
1
n
n
π
12.
∑
∞
=






+
1 3
1 1
ln
n
n
n
13.
∑
∞
=






⋅
1 2
1 1
n
n
arctg
n
14.
∑
∞
=








⋅
1 5
4 3
1
arcsin
1
n
n
n
15.
(
)
∑
∞
=
⋅
1 2
)
3
(
n
n
n
arctg
n
π
16.
∑
∞
=








+
+
1 2
2 3
4
ln
n
n
n
17.
∑
∞
=






+
+
⋅
1 2
3 2
n
n
n
tg
n
18.
∑
∞
=






⋅
1
sin
1
n
n
n
π
19.
∑
∞
=






+
+
1 3
1 1
1
ln
1
n
n
n
20.
∑
∞
=








+
1 5
3 2
sin
n
n
n
21.
∑
∞
=






+
1 3
4 3
)
5
(
arcsin
n
n
n
22.
∑
∞
=






+
−
⋅
+
+
1 1
3 1
3
ln
3 2
n
n
n
n
n
23.
(
)
∑
∞
=
+
−
1
)
2
(
1 1
n
n
n
e
24.
( )
∑
∞
=
⋅
1
arcsin
n
n
n
n
π
25.
∑
∞
=






−
⋅
1 2
1 1
n
n
e
n
26.
∑
∞
=






+
1 1
arcsin
1
n
n
n
n
n
n

9.
Докажите с
помощью рядов
, что
0
lim
=
+∞
→
n
n
а
:
1.
!
2 3
n
a
n
n
=
2.
( )
!
3n
n
a
n
n
=
3.
(
)
n
n
n
n
a
!
5
+
=
4.
( )
2 5
!
2
n
n
n
a
=
5.
(
) ( )
n
n
n
n
a
n
+
+
=
1
ln
1 2
6.
(
)
!
3 2
2
−
=
n
a
n
n
7.
n
a
n
n
n
⋅
=
+
−
3 1
7 5
8.








+
+
+
+
=
1 2
1
ln
1 2
3 2
3 3
n
n
n
n
n
a
n
9.
n
n
n
n
a






+
−
=
2 3
1 10.
(
)
1
ln
5 2
+
=
n
n
a
n
11.
n
a
n
n
n
1 3
2
+
=
12.
)
1 2
(
2 2
+
=
n
arctg
a
n
13.
2 2
1
n
n
n
n
a






+
+
=
14.
1 3
1 2
+
+
=
n
a
n
n
15.
(
)
1
ln
7 3
+
⋅
=
n
n
a
n
16.
(
)
n
n
n
n
a
1
!
+
=
17.






=
n
n
n
a
2
sin
2
π
18.
(
)
(
)
4 5
11 6
1 1
2 5
3 1
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
n
n
a
n
19.
( )
n
arctg
n
a
n
!
1
=
20.
( )
2
!
n
n
n
n
n
a
=
21.
!
)
1 2
(
!
5
!
3
!
1
−
=
n
n
a
n
n
22.
2 2
n
n
a
n
n
+
=
23.
(
)
(
)
n
n
n
n
a
1
!
3
+
+
=
24.
( )
( )
n
n
n
tg
a
n
2
sin
1
+
=
25.
(
)
( )
!
2
!
1 5
n
n
a
n
n
+
=
26.
(
)
n
n
n
n
a
1
!
+
=

10. Вычислить приближенно сумму числового ряда с точностью
001
,
0
=
ε
:
1.
( )
∑
∞
=
+
−
1 2
2 1
n
n
n
n
2.
( )
∑
∞
=
+
⋅
−
1 2
1 2
1
n
n
n
n
3.
( )
∑
∞
=
−
1 2
n
n
n
4.
( )
∑
∞
=
+
−
1 3
3 1
n
n
n
5.
( ) (
)
∑
∞
=
+
+
−
1 2
1 1
n
n
n
n
n
6.
∑
∞
=
1
!
1
n
n
7.
∑
∞
=
−
1
n
n
n
e
8.
(
)
∑
∞
=
⋅
+
1 5
5 1
n
n
n
9.
∑
∞
=
⋅
1 2
3 1
n
n
n
10.
( )
(
)
∑
∞
=
⋅
+
−
⋅
1 2
2 1
1
n
n
n
n
n
11.
( )
(
)
∑
∞
=
+
+
−
1 3
1 2
1
n
n
n
n
12.
( )
∑
∞
=
−
+
1 2
5 1
n
n
n
13.
( )
∑
∞
=
+
+
+
−
1 2
1 10 6
1
n
n
n
n
14.
∑
∞
=
+
1 7
5
n
n
n
15.
∑
∞
=
+
1 6
1 2
n
n
n
16.
( )
(
)
∑
∞
=
⋅
+
⋅
−
1 4
6 1
n
n
n
n
n
17.
∑
∞
=
−
1 1
2 10
n
n
n
18.
∑
∞
=
−
−
⋅
1 1
n
n
e
n
19.
∑
∞
=






+
−
1 5
1 1
2
n
n
n
n
20.
(
)
∑
∞
=
−
⋅
⋅
⋅
1
!
1 2
3 1
n
n
n
21.
∑
∞
=
1 100
!
n
n
n
22.
∑
∞
=
1
n
n
e
n
23.
∑
∞
=
+
−
⋅
1 2
2 3
5
n
n
n
24.
∑
∞
=
+
1 1
2
n
n
n
n
25.
( )
∑
∞
=
−
+
−
⋅
1 1
3 3
1
n
n
n
n
n
26.
( )
∑
∞
=
1 2
!
2
n
n
n

11.
Исследовать на сходимость ряд с
комплексными членами
:
1.
а
)
(
)
∑
∞
=
⋅
−
1 13 2
3
n
n
n
n
i
; б
)
∑
∞
=
+
−
1 9
1 2
3
n
n
i
2.
а
)
( )
∑
∞
=
+
1 2
!
1
n
n
n
i
; б
)
( )
∑
∞
=
+
−
1 3
2 1
n
n
i
n
3.
а
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
1 2
2
n
n
n
i
n
; б
)






+
+






−
∑
∞
=
1 1
5 2
1
n
tg
i
n
n
4.
а
)
(
)
∑
∞
=
⋅
−
1 5
2
n
n
n
n
i
; б
)
∑
∞
=
−
1 1
n
i
n
5.
а
)
(
)
∑
∞
=
−
⋅
1 10 1
3
n
n
n
i
n
; б
)
∑
∞
=
−
1 3
1
n
n
e
i
6.
а
)
n
n
i
∑
∞
=






+
1 6
2
; б
)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
−
1 4
7 1
n
n
n
i
i
7.
а
)
n
n
i
∑
∞
=






−
1 8
3 5
; б
)
(
)
!
2 5
3 1
+
+






∑
∞
=
n
i
e
n
n
n
8.
а
)
n
n
i
∑
∞
=






+
1 2
3
; б
)
∑
∞
=
+
1 2
1
n
i
n
9.
а
)
( )
∑
∞
=
−
1 4
1
n
n
n
i
; б
)
( ) ( )
∑
∞
=
+
⋅
+
−
1 2
2 6
5 1
1
n
n
n
n
i
10.
а
)
( )
∑
∞
=
+
+
1 2
1 1
n
n
n
i
; б
)
(
)
∑
∞
=
+
−
1 3
2 10
n
n
i
n
11.
а
)
( )
∑
∞
=
+
1 3
1
n
n
n
i
; б
)
∑
∞
=
+
−
1 5
1 2
n
n
i
n
12.
а
)
( )
∑
∞
=
−
−
1 2
2 1
n
n
n
i
; б
)
∑
∞
=
+
1 2
n
i
n
n
13.
а
)
( )
∑
∞
=
+
⋅
1 3
3
n
n
n
i
n
; б
)
∑
∞
=
+
+
1 3
10 5
n
n
n
i

14.
а
)
( )
∑
∞
=
−
1 4
1
n
n
n
i
; б
)
( )
∑
∞
=
+
+
+
−
1 3
2 1
7 6
1
n
n
n
n
n
i
15.
а
)
( )
(
)
∑
∞
=
+
−
1 2
!
1 1
n
n
n
i
; б
)
(
)(
)
∑
∞
=
+
+
+
+
1 2
1 2
n
n
n
n
n
i
n
16.
а
)
( )
∑
∞
=
−
1 1
n
n
i
n
; б
)
∑
∞
=
+
1 1
n
n
i
n
17.
а
)
n
n
i
∑
∞
=






−
1 6
1 5
; б
)
∑
∞
=
−
1 10 5
2
n
n
n
n
i
18.
а
)
(
)
∑
∞
=
−
1 11 3
1
n
n
n
i
; б
)




+



∑
∞
=
!
2 1
sin
1
n
i
n
n
n
19.
а
)
(
)
∑
∞
=
−
1 2
10 2
2
n
n
n
i
; б
)
( )
∑
∞
=
+
+
−
1 5
3 2
3 1
n
n
n
i
n
20.
а
)
( )
∑
∞
=
+
+
1 3
1 5
n
n
n
i
;
б
)
( )




+



∑
∞
=
!
2 1
arcsin
1 2
n
e
i
n
n
n
21.
а
)
(
)
(
)
∑
∞
=
⋅
+
−
1 5
1 2
4
n
n
n
n
i
; б
)



+
⋅
+










−
∑
∞
=
1 1
3 2
2 1
n
tg
i
n
n
22.
а
)
(
)
∑
∞
=
+
1 3
2
n
n
n
i
; б
)
( )
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
−
1 2
1 7
3
n
n
n
i
23.
а
)
(
)
∑
∞
=
−
⋅
1 2
15 3
2
n
n
n
i
n
;
б
)
∑
∞
=
+
1 2
n
i
n
n
24.
а
)
n
n
i
∑
∞
=






−
1 8
7
; б
)
(
)




+
⋅
+










∑
∞
=
!
1 6
3 1
n
n
i
e
n
n
25.
а
)
(
)
∑
∞
=
⋅
−
1 2
2 3
n
n
n
n
i
; б
)
∑
∞
=
−
+
1 2
2 3
2 3
n
n
i
i
n
n
26.
а
)
n
n
i
∑
∞
=






−
1 2
6 7
; б
)
( )
n
n
n
i
n
5 1
7 5
1 3
2
+
−
−
∑
∞
=

ЛИТЕРАТУРА
1.
Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях: Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк.,
1983.
2.
Задачник-практимум по высшей математике. Ч. III: Ряды. Теория функций комплексного переменного. Ряды и интеграл Фурье. /Под. ред. Волкова.– СПб.: изд-во СПбГУ, 1997.
3.
Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу
(интегралы и ряды). М.: Наука, 1981.
4.
Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. /Под редакцией
А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича. –М.: Наука, 1981.
5.
Данко П.Е., Попов Л.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. – M.: Высшая школа, 1974, 1980.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
3 1. Основные понятия числового ряда
4 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов
7 3. Сходимость знакопеременных рядов
17 4. Сходимость рядов с комплексными членами
24 5. Вопросы для самопроверки
27
Задания для самостоятельного решения
29
Список литературы
44

Татьяна
Александровна
Матвеева
Виктория
Борисовна
Светличная
Неля
Николаевна
Короткова
Числовые ряды
Учебное пособие
Редактор
Е
М
Марносова
Темплан
2003., поз
№
Лицезия
ИД
№ 04790 от
18.05.2001
Подписано в
печать
_________________.
Формат
60x84 1/16.
Бумага газетная
Печать офсетная
Усл печ л
Уч
.- изд л
Тираж
250.
Заказ
____.
Волгоградский государственный технический университет
400131
Волгоград
, пр
Ленина
,28.
РПК
”
Политехник
”.
Волгоградского государственного технического университета
400131
Волгоград
, ул
Советская
, 35.