числовые ряды. Методические указания для решения задач. Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами заданий для самостоятельного решения
 Скачать 361.53 Kb.
|
7 4 5 3 3 2 1 + + + + Решение. По виду членов ряда можно утверждать, что общий член ряда имеет вид: 1 2 − = n n a n . То есть мы исследуем на сходимость ряд ∑ ∞ = − 1 1 2 n n n . Проверим необходимый признак сходимости ряда: = +∞ → n n a lim = − +∞ → 1 2 lim n n n 0 2 1 ≠ . Т. к. он нарушается, то данный ряд расходится (или говорим, расходится по достаточному признаку расходимости). ■ Пример 2.4. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ ∞ = + 1 3 1 1 n n n Решение. Учитывая, что 1 1 3 + = n n a n 2 5 1 n b n = при +∞ → n (так как 1 lim = +∞ → n n n b a ), то по второму признаку сравнения ряды ∑ ∞ = + 1 3 1 1 n n n и ∑ ∞ = 1 2 5 1 n n ведут себя одинаково, в смысле сходимости. Ряд ∑ ∞ = 1 2 5 1 n n – обобщенный гармонический, и т.к. 1 2 5 > = p , то по (2.1) он является сходящимся. Следовательно, искомый ряд также сходится. ■ Пример 2.5. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ ∞ = − + 1 2 2 3 1 2 n n n Решение. С помощью второго признака сравнения упростим исходный ряд, так как 2 3 1 2 2 − + = n n n a n n n b 3 2 2 = при +∞ → n , то о сходимости искомого ряда можно судить по ряду ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = = 1 2 1 2 1 3 2 3 2 n n n n n n n n b . По виду общего члена последнего знакоположительного ряда можно сделать выбор достаточного признака, в данном случае признака Коши. По признаку Коши ( ) 3 1 3 lim 3 lim lim 2 2 = = = +∞ → +∞ → +∞ → n n n n n n n n n n a (учли известный факт из матанализа: 1 lim = ∞ + → n n n ). Так как 1 3 1 < = q , то искомый ряд сходится. ■ Пример 2.6. Исследовать на сходимость ряд ( ) ∑ ∞ = 2 3 ln 1 n n n Решение. Для того чтобы исследовать данный знакоположительный ряд на сходимость, удобно применить интегральный признак Коши, положив, что ( ) ( ) x x x f 3 ln 1 = . Условия, допускающие применение этого признака, выполнены, ибо функция ( ) x f непрерывна при 2 ≥ x , положительна при этих значениях x, монотонно убывает с ростом x и ( ) 0 lim = +∞ → x f x ; выполнение условия ( ) n a n f = очевидно. Исследуем соответствующий несобственный интеграл на сходимость: ( ) ( ) 2 ln 2 1 2 ln 2 1 ln ln 2 2 2 ln 3 2 3 2 = ∞ + − = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ + ∞ + t t dt x dx dt x t x x dx dx x f Итак, несобственный интеграл сходится, следовательно, вместе с ним сходятся и искомый ряд. ■ Пример 2.7. Исследовать на сходимость ряд ( ) ∑ ∞ = + 1 ! 4 5 n n n Решение. Так как общий член ряда ( ) ! 4 5 + = n n a n ! 5 n b n n = , при +∞ → n , то исследуем по достаточному признаку Даламбера эквивалентный искомому ряд в смысле сходимости: ∑ ∑ ∞ = ∞ = = 1 1 ! 5 n n n n n b : n n n a a 1 lim + +∞ → ( ) ( ) 1 0 1 5 lim ! 1 5 ! 5 lim ! 5 : ! 1 5 lim 1 1 < = ∞ = + = + = + = +∞ → + +∞ → + ∞ → c n n n n n n n n n n n n , следовательно, исходный ряд сходится. ■ Пример 2.8. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ = + + 1 2 2 1 n n n n Решение. Форма общего члена данного знакоположительного ряда наводит на мысль об использовании признака Коши. Действительно: = + − = + + = +∞ → +∞ → +∞ → n n n n n n n n n n n a 2 1 1 lim 2 1 lim lim 2 = = + = + − = ∞ → + − + − +∞ → e n n n n n α α α 1 1 lim : предел ный замечатель второй 2 1 1 lim 2 ) 2 ( 1 2 lim − + − +∞ → = = e e n n n Так как 1 1 1 < = − e e , то по признаку Коши исходный ряд сходится. Решение возможно и с помощью признака Даламбера, но в этом случае его использование было бы нерационально. ■ При исследовании некоторых задач на сходимость числовых рядов удобно при применении признаков сравнения использовать следствия первого и второго замечательных пределов: применительно к рядам считаем ( ) n α бесконечно малой величиной, т.е. ( ) 0 → n α при +∞ → n Таблицаэквивалентностей ( ) α α sin ( ) α α tg ( ) α α k k 1 1 − + ( ) α α arcsin ( ) α α arctg ( ) α α 1 ln + ( ) 2 cos 1 2 α α − ( ) α α 1 ctg ( ) ( ) b b ln 1 log α α + ( ) α α π arccos 2 − α α 1 − e ( ) b b ln 1 ⋅ − α α Пример 2.9. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ = + + + + ⋅ 1 3 2 3 3 1 2 1 ln 1 n n n n n n Решение. Так как + + − + = + + + + 1 2 2 1 ln 1 2 1 ln 3 2 3 2 3 n n n n n n n n и 0 1 1 2 2 n 3 2 → → + + − n n n n при +∞ → n , то можно применить эквивалентность: ( ) α α 1 ln + . Тогда общий член исследуемого ряда + + + + ⋅ = 1 2 1 ln 1 3 2 3 3 n n n n n a n 3 4 1 n b n = при +∞ → n . Из второго признака сравнения и сходимости обобщенного гармонического ряда ∑ ∞ = 1 3 4 1 n n (см. (2.1)) следует сходимость искомого ряда. ■ Пример 2.10. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ = + − 1 2 1 1 n n n arctg Решение. По таблице эквивалентностей общий член искомого ряда + − = 1 1 2 n n arctg a n 1 n 1 2 + − n 2 1 n b n = , +∞ → n , так как 0 1 n 1 lim 2 = + − +∞ → n n Из сходимости (2.1) обобщенного гармонического ряда ∑ ∞ = 1 2 1 n n следует сходимость данного ряда. ■ Пример 2.11. Исследовать на сходимость ряд ( ) ( ) ∑ ∞ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 1 4 13 9 5 2 3 7 4 1 n n n Решение. Выпишем несколько первых слагаемых исходного ряда ( ) ( ) 13 9 5 7 4 1 9 5 4 1 5 1 1 4 13 9 5 2 3 7 4 1 1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∑ ∞ = n n n : По форме общего члена данного ряда решаем использовать признак Даламбера. Выпишем ( ) 1 + n -ый член этого ряда: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 1 4 13 9 5 1 3 2 3 7 4 1 1 1 4 1 4 13 9 5 2 1 3 2 3 7 4 1 1 + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + n n n n n n n n a n Тогда по признаку Даламбера: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = +∞ → + +∞ → 2 3 7 4 1 1 4 13 9 5 5 4 1 4 13 9 5 1 3 2 3 7 4 1 lim lim 1 n n n n n n a a n n n n 1 4 3 5 4 1 3 lim < = + + = +∞ → n n n , и искомый ряд сходится. ■ Пример 2.12. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ = + 1 )! 1 ( n n n n Решение. Так как общий член ряда ( ) n n n n a ! 1 + = n n n n b ! = при +∞ → n , то по второму признаку сравнения исследуем на сходимость ряд ∑ ∑ ∞ = ∞ = = 1 1 ! n n n n n n b Применим к нему достаточный признак Даламбера: = + ⋅ + ⋅ + = ⋅ + + = +∞ → + +∞ → + +∞ → n n n n n n n n n n n n n n n n n b b ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( lim ! ) 1 ( ! ) 1 ( lim lim 1 1 ( ) e n n n n n n n 1 1 1 1 lim 1 lim = + = + = +∞ → +∞ → Так как 1 1 < e , следовательно, полученный и исходный ряды сходятся. ■ Пример 2.13. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ = + 1 5 3 2 sin n n n Решение. Так как = + +∞ → 2 lim 5 3 n n n 0 1 lim lim 6 13 2 5 3 1 = = +∞ → +∞ → n n n n n , то к общему члену ряда можно применить эквивалентность: ( ) α α sin Поэтому = n a + 2 sin 5 3 n n 2 5 3 + n n 6 13 1 n b n = , при +∞ → n . Из сходимости (2.1) обобщенного гармонического ряда ∑ ∞ = 1 6 13 1 n n ( 1 6 13 > = p ), следует сходимость искомого ряда. ■ Пример 2.14. Исследовать на сходимость числовой ряд ( ) ∑ ∞ = − + − + + 1 2 2 1 1 n n n n n Решение. Упростим общий член ряда n a , умножив и разделив его на сопряженное: ( ) ( ) = − + + + + − + − + + = − + − + + = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n a n 2 2 2 2 2 1 1 2 n n n n n n + − + + + + = n 1 = при +∞ → n То есть по второму признаку сравнения искомый ряд эквивалентен в смысле сходимости с рядом ∑ ∞ = 1 1 n n . Так как гармонический ряд расходится (см.(2.1)), то из этого следует расходимость данного ряда. ■ Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакоположительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практике. Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакопеременными. 3. СХОДИМОСТЬЗНАКОПЕРЕМЕННЫХРЯДОВ Числовой ряд 3 2 1 1 + + + = ∑ ∞ = a a a a n n (3.1) называется знакопеременным, если члены этого ряда n a не все являются неотрицательными числами. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд: ( ) 1 4 3 2 1 1 1 + − + − = − ∑ ∞ = + a a a a a n n n (3.2) Например, ряд ( ) ∑ ∞ = 1 2 sin n n n – знакопеременный, но не является знакочередующимся. Знакопеременный ряд ∑ ∞ = 1 n n a называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 3 2 1 1 + + + = ∑ ∞ = a a a a n n , (3.3) составленный из абсолютных величин его членов. Числовой ряд (3.1) ∑ ∞ = 1 n n a называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин ∑ ∞ = 1 n n a , расходится. ПризнакЛейбницасходимостизнакочередующихсярядов: есличленызнакочередующегосяряда(3.2)монотонноубываютпо абсолютнойвеличинеистремятсякнулюпри +∞ → n , торядсходится, иначе говоря, есличленыряда ∑ ∞ = − − 1 1 ) 1 ( n n n a , 0 ≥ n a удовлетворяютусловиям: 1) 0 lim = +∞ → n n a , 2) n n a a ≤ + 1 , торядсходится. Отметим, что из сходимости ряда (3.3) ∑ ∞ = 1 n n a следует сходимость и ряда (3.1) ∑ ∞ = 1 n n a , причем абсолютная, а из расходимости ряда (3.3), установленной с помощью признаков Даламбера или Коши, – расходимость ряда (3.1): ∑ ∞ = 1 n n a Только для знакочередующихся рядов верна оценка остатка ряда: 1 + < n n a R , (3.4) т.е. ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов. В ряде не всегда можно группировать члены. Например, ряд ( ) 1 1 1 1 1 1 + − + + − + − − n , является расходящимся, так как частичные суммы четного, нечетного чисел членов равны ...) 3 , 2 , 1 ( 0 2 = = m S m , ...) 3 , 2 , 1 ( 1 1 2 = = + m S m и, следовательно, нет предела его частичных сумм. После группировки членов ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 = + + + + = + − + + − + − получаем сходящийся ряд, сумма которого равна нулю. При другой группировке членов ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − − − = − − − − − − − − получаем сходящийся ряд, его сумма равна единице. Приведем два утверждения: Утверждение |