КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ С ПРИМЕРАМИ _ТерМех. Методические указания и контрольные задания для студентовзаочников технических специальностей высших учебных заведений

• Название: Методические указания и контрольные задания для студентовзаочников технических специальностей высших учебных заведений
• Анкор: КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ С ПРИМЕРАМИ _ТерМех.docx
• Дата: 13.12.2017
• Размер: 2.5 Mb.
• Имя файла: КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ С ПРИМЕРАМИ _ТерМех.docx
• Тип: Методические указания; #11295
• страница: 5 из 7

Ответ: υ_B=0,46 м/с; υ_E=0,46 м/с; ώ₂=0,67 с^-1; а_B=0,72 м/с²; έ₃=2,56 с^-2.

Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К 4.0К 4.4) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К 4.5К 4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону =f₁(t) заданному в табл. К 4. Положительное направление отсчета угла  показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения ОО₁лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD(рис. 04) или по окружности радиуса R(рис. 59) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость s=AM=f₂(t)(sв сантиметрах, tв секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0-4 и для рис. 5-9; там же даны размеры bи l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s=AM>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁=1с.




Пример К4а.

Дано: R=0,5 м, =t²–0,5t³, s=πRcos(πt/3) ( – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).

Определить: V_абс и а_абс в момент времени t₁=2 с.

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины переносным движением. Тогда абсолютная скорость V_абс и абсолютное ускорение а_абс точки найдутся по формулам:

= + ,

= + + ,

где, в свою очередь, = + , = + .

Рис. К4а
Определим все, входящие в равенства, величины. Рассмотрим каждое движение в отдельности.

1. Относительное движение (мысленно остановить вращение пластины вокруг опоры О). Это движение происходит по закону .

Положение точки В на дуге окружности в момент времени t₁=2 с:

.

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t₁=2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К4а в этом положении (точка B₁).

Тогда .

Теперь находим числовые значения V_отн, а^_отн, аⁿ_отн:

;

,

где ρ – радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента t₁=2 с, учитывая, что R=0,5 м, получим:

;

.

Знаки показывают, что вектор а^_отн направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор V_отн-в противоположную сторону; вектор аⁿ_отн направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. К4а.

2. Переносное движение (мысленно остановить движение точки по окружности). Это движение (вращение) происходит по закону =t² – 0,5t³. Найдем угловую скорость  и угловое ускорение ε переносного вращения при t₁=2 с:



Знаки указывают, что в момент t₁=2 с направления  и ε противоположны направлению положительного отсчета угла ; отметим это на рис. К4а.

Для определения V_пер и а_пер находим сначала расстояние h₁=ОВ₁точки B₁ от оси вращения О. Из рисунка видно, что. Тогда в момент времени t₁=2 с получим:

;

.

Изображаем на рис. К4а векторы V_пер и a^_перс учетом направлений  и ε и вектор аⁿ_пер (направлен к оси вращения).

3. Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле:

,

где  – угол между вектором V_отн и осью вращения (вектором ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор V_отн. Тогда в момент времени t₁=2 с, учитывая, что в этот момент |V_отн|=1,42 м/с и ||=2 с^-1, получим

а_кор=5,68 м/с².

Направление а_корнайдем по правилу Н. Е. Жуковского: так как вектор υ_отнлежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90⁰ в направлении ώ, т. е. по ходу часовой стрелки. Изображаем а_кор на рис. К4а. [Иначе направление а_кор можно найти, учтя, что а_кор=2(ώ*υ_отн)].

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения υ_абс и а_абс остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

4. Определение υ_а6с. Проведем координатные оси B₁xy(см. рис. К4а) и спроектируем почленно обе части равенства

υ_абс=υ_отн+υ_пер на эти оси. Получим для момента времени t₁=2 с;





После этого находим



Учитывая, что в данном случае угол между υ_отн и υ_пер равен 45°, значение υ_абс можно еще определить по формуле



5. Определение а_абс. По теореме о сложении ускорений



Для определения а_абс спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси B₁xy. Получим





Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t₁=2 с, найдем, что в этот момент

а_абсх=9,74 м/с²; а_авсу=7,15 м/с²

Тогда



Ответ: υ_а6с=3,95 м/с, а_абс=12,08 м/с².
Пример К4б.

Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси zпо закону  = f₁(t) (положительное направление отсчета угла  показано на рис. К4б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка Впо закону s = АВ = f₂(t); положительное направление отсчета s – от А к D.

Дано:  = 0,1 t³–2,2 t, s = АВ = 2 + 15 t – 3t²; ( – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: V_абс и а_абс в момент времени t₁ = 2 с.


Рис. К4б



Решение. Рассмотрим движение точки В, как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:

= + , = + + ,

где, в свою очередь, = + .

Определим все входящие в равенство величины.

1. Относительное движение  это движение прямолинейное и происходит по закону

s = AB = 2 + 15t  3t²,

поэтому



В момент времени t₁ = 2 с имеем

s₁ = AB₁ = 20 cм, V_отн = 3 см/с, а_отн =  6 см/с²

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К4б.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону

 = 0,1t³  2,2t.

Найдем угловую скорость  и угловое ускорение  переносного вращения:

 = = 0,3t²  2,2;  = = 0,6t и при t₁ = 2 с,

 =  1 c^1,  = 1,2 c^2.

Знаки указывают, что в момент t₁ = 2 с направление  совпадает с направлением положительного отсчета угла , а направление  ему противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h₁ точки В₁ от оси вращения z:

h₁ = AB₁ sin 30° = 10 см. Тогда в момент t₁ = 2 с, учитывая равенства (68), получаем:

V_пер = ||h₁ = 10 cм/с,

= ||h₁ = 12 см/с², = ²h₁ = 10 см/с².

Изобразим на рис. К4б векторы и (с учетом знаков  и )и ; направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор – по линии В₁С к оси вращения.

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 30°, то численно в момент времени t₁ = 2с

а_кор = 2|V_отн|  ||  sin 30° = 3 см/с².

Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Для этого вектор спроецируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору ) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону , т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор (см. рис. К3б).

4. Определение V_абс. Так как = + , а векторы и взаимно перпендикулярны, то ; в момент времени t₁ = 2 с V_абс = 10,44 см/с.

5. Определение а_абс. По теореме о сложении ускорений

= + + + .

Для определения а_абс проведем координатные оси В₁хуz₁ и вычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на оси х₁, а векторы и расположены в плоскости В₁хуz₁, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проецируя обе части равенства (71) на оси В₁хуz₁ и учтя одновременно равенства (67), (69), (70), получаем для момента времени t₁ = 2 с:

а_{абс х} = || – а_кор = 9 см/с²,

а_{абс у} = + |а_отн|sin 30 ° = 13 см/с²,

а_{абс z} = |а_отн|cos 30 ° = 5,20 см/с².

Отсюда находим значение а_абс:

см/с².

Ответ: V_абс = 10,44 см/с, а_абс = 16,64 см/с².
Задача Д1.
Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость V₀.движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 —Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления cреды R. зависящая от скорости V груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения

(коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l или

время t движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х = x(t). где х = ВD.