Методические указания к решению задач по курсу "механика" Казань 2 0 1 2 методические указания к решению задач по курсу "

• Название: Методические указания к решению задач по курсу "механика" Казань 2 0 1 2 методические указания к решению задач по курсу "
• Анкор: Metodichka fizach-mexanika.pdf
• Дата: 12.12.2017
• Размер: 1.36 Mb.
• Имя файла: Metodichka fizach-mexanika.pdf
• Тип: Методические указания; #10954
• страница: 3 из 9

Раздел 2. Минимальные сведения по теории размерностей
2.1 Как устроена физическая формула?
Любая физическая формула устроена таким образом, что, во-первых, раз- мерность левой части равна размерности правой части, во-вторых, аргумент любой функции должен быть безразмерной величиной.
Зависимость физической величины Y от другой величины x в соответствии с этими требованиями должна иметь вид Y

Af(x/b). Здесь размерность величины Y должна быть равна размерности А, а размерность величины x должна быть равна размерности b, чтобы отношение x/b было безразмерной величиной.
Например, зависимость амплитуды линейного гармонического колебания от времени t, выражается формулой x(t)

Asin(

t

). Если величина x(t) измеря- ется в метрах, то величина А также должна выражаться в метрах, а величина параметра

(частоты колебания) должна иметь размерность обратную размер- ности времени [

]

1/T. Величина

(начальная фаза колебания), в соответствии с этими правилами должна быть безразмерной.
2.2 Применение

-
теоремы. Переход к безразмерным переменным.
На практике чаще встречаются ситуации, когда физическая величина Y за- висит не от одной величины x, а от нескольких сразу, т.е:
1 2
( ,
,...
)
n
Y
f x x
x

Как в этом случае правильно записать физическую формулу, в соответст- вии с вышеприведёнными требованиями? Ответ на этот вопрос дает

-теорема
[1], которая формулируется следующим образом:
Выберем среди величин
1 2
,
,...
n
x x
x
k штук, независимых (т.е. таких, раз-
мерности которых не могут быть выражены друг через друга). Тогда из ос-
тавшихся n–k величин могут быть образованы n–k безразмерных комбинаций,
которые преобразуют исходную формулу к виду


1 2
,
,...,
n k
Y
Af


 

,
где величины
1 2
,
,...,
n k

 

являются уже безразмерными. Размерность [Y]
должна быть равна размерности [А], т.е., отношение [Y]/[A]

П – безразмер-
ная величина.
Величина k зависит от выбора системы единиц. Если придерживаться систе- мы единиц СИ, то число независимых размерностей, достаточных для выражения размерности произвольной механической величины, равно трём. Это: единица массы – килограмм (М), единица длины – метр (L), единица времени секунда (Т).
Размерности остальных механических величин могут быть представлены в виде
 
i
i
i
a
b
c
i
x
M L T

(i

1,2...,n), где степени , ,
i
i
i
a b c
зависят от конкретной физической величины x
i

21
Приведём таблицу степеней a, b, c для размерностей часто встречающихся механических величин, чьи единицы являются производными от основных – мас-
сы M (a

1, b

0, c

0), длины L (a

0, b

1, c

0) и времени T (a

0, b

0, c

1). Обра- тите внимание на то, что некоторые величины имеют одинаковые размерности.
Таблица 2.1.
Механическая величина
a степень M
b степень L
c степень T
Объём (V)
0 3
0
Кривизна (1/R)
0
–1 0
Линейная скорость (v)
0 1
–1
Угловая скорость (

)
0 0
–1
Секторная скорость (

1/2r

v)
0 2
–1
Линейное ускорение (a,w)
0 1
–2
Угловое ускорение (

)
0 0
–2
Объёмная плотность массы (

)
1
–3 0
Импульс (p)
1 1
–1
Момент импульса (L

r

p)
1 2
–1
Сила (F)
1 1
–2
Работа, энергия, момент силы (A, E,
M

r

F)
1 2
–2
Момент инерции (J)
1 2
0
Мощность (N)
1 2
–3
Давление (P)
1
–1
–2
Вязкость (

)
1
–1
–1
Поверхностное натяжение (s,

)
1 0
–2
Модуль Юнга, модуль сдвига (E, G)
1
–1
–2
Гравитационная постоянная (

)
–1 3
–2
Имея перед глазами Таблицу 2.1, можно решить ряд задач по теории раз- мерностей на составление безразмерных комбинаций.
Прежде чем решать задачу на составление безразмерных комбинаций, полез- но составить для себя некий алгоритм, содержащий в себе основные действия.

22
Инструкция по основным действиям, приводящим к физической записи
формул в соответствии с требованиями

-теоремы.
1.Определить набор физических величин (найти n), оказывающих влияние на рассматриваемое явление. Обратить внимание на физические постоянные, которые могут неявно присутствовать в задаче.Первоначальный выбор величин неоднозначен и может быть уточнён после физического анализа.
2.Выбрать систему основных размерностей (найти k). Это может быть сис- тема MLT, FLT, EFLT и т.д.
3.Определить число основных безразмерных комбинаций по формуле: m

n–
k.
4.Представить m оставшихся величин по формуле
1 2
3
m
m
m
m
m
a
b
c
x
x x x
 
(для оп- ределённости считаем, что x
1
, x
2
, x
3
являются независимыми величинами, т.е., их размерности не могут быть выражены друг через друга).
5.Найти неизвестные показатели степеней исходя из условия, что новые величины

m
являются безразмерными.
6.Проанализировать полученную физическую комбинацию. Если обнару- жено физическое противоречие, то постараться подобрать другой набор физи- ческих величин, уменьшая или увеличивая число n.
2.3 Примеры задач на применение теории размерностей
Пример1. Свяжите радиус орбиты планеты с периодом обращения её во- круг Солнца.
1.Планеты и Солнце электрически нейтральны, поэтому взаимодействуют посредством гравитации. Период обращения планет Т зависит от расстояния r до Солнца и от масс планеты m и Солнца M. Гравитационное притяжение пла- нет можно связать с величиной гравитационной постоянной

(постарайтесь обосновать это предположение!).
Итак, допустим, что (n

4)
T

f(m, M, r,

).
2.Выбираем систему СИ, что автоматически определяет число k

3.
3.Независимые физические величины m, r,

4.Величина
1 1
1 1
a
b
c
M
m r
 

,
2 2
2 2
a
b
c
T
m a
 

5.Из условия того, что величина

1
является безразмерной, находим, что
1 1
1 1,
0
a
b
c

 
. Из того же требования безразмерности величины

2
получаем линейную систему уравнений для отыскания величин степеней
2 2
2
,
,
a b c
2 2
2 2
2 3
2 0 0 1
a
b
c
c
c
M L T
M L M
L T



Откуда
2 2
0
a
c
 
,
2 2
3 0
b
c


,
2 2
1
c


Из этой системы уравнений находим:
2 2
1 2
a
c

 
,
2 3 2
a


23 6.В соответствии с

-теоремой получаем
 
2 1
f
 

или
3 2
r
M
T
f
m
m





 

Анализ показывает, что при некоторых предположениях последняя фор- мула воспроизводит третий закон Кеплера:
2 3
T
r

const.
Пример 2. Объём воздуха, прокачиваемого вентилятором в еденицу вре- мени (расход) [Q]

L
3
/T, зависит от следующих физических величин: плотности воздуха [

]

M/L
3
, числа оборотов винта [n]

1/T, давления воздуха [H]

M/(LT
2
), мощности двигателя [N]

E/T и диаметра винта D.
Исходная зависимость имеет вид Q

f(

,n,H,N,D).
Пользуясь

-теоремой, получите зависимость величины Q в виде
3 2
2 5
3
,
H
N
Q
nD f
D n
D n









Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Произведено измерение скорости пузырьков газа, выходящих из различных жидкостей и с помощью фотоаппарата, находящегося на расстоянии
D от поверхности жидкости, регистрируются диаметры всплывающих пузырь- ков газа. Определите какие физические величины влияют на скорость всплы- вающего пузырька. С помощью

-теоремы получите число независимых без- размерных параметров и составьте необходимые безразмерные комбинации.
Задача 2. На опорный подшипник действует приложенная нагрузка F. На скорость вращения вала подшипника оказывают влияние: приложенная нагруз- ка, диаметр подшипника, диаметр шарика, угловая скорость вращения под- шипника, плотность, вязкость и давление смазки, радиальный зазор между ободом подшипника и шариком. С помощью

-теоремы определите число не- зависимых безразмерных параметров и составьте обоснованные безразмерные комбинации.
Задача 3. На величину скорости твёрдого шара, двигающегося в сжимае- мой жидкости оказывают влияние: площадь поперечного сечения шара, ско- рость, плотность, вязкость и модуль упругости жидкости и сила лобового со- противления. С помощью

-теоремы определите число независимых безраз- мерных параметров и составьте обоснованные безразмерные комбинации.
Задача 4. Скорость волны на поверхности жидкости определяется длиной волны, ускорением силы тяжести, толщиной слоя жидкости, её плотностью и поверхностным натяжением. С помощью

-теоремы определите число незави- симых безразмерных параметров и составьте логически обоснованные безраз- мерные комбинации.
ЛИТЕРАТУРА [1] Л.А.Сена. Единицы физических величин и их размерно-
сти. Москва. Наука. 1988г.

24
Раздел 3. Кинематика
Прежде чем приступить к решению задач, необходимо очень чётко пред- ставить связи между основными величинами, осознать физический смысл каж- дой из них, вникнуть в смысл каждой формулы, вспомнить её вывод и пределы применимости. Полезно также по определённым признакам провести класси- фикацию (если это возможно) и систематизацию используемых формул.
3.1 Основные понятия и формулы кинематики
Приведём основные понятия и формулы кинематики, основываясь на по- рядке производной (n
d

0,1,2), определяющей кинематическую величину.
n
d

0.
Траектория материальной точки – это геометрическое место точек кон- цов радиуса-вектора r(t), который в каждый момент времени направлен из на- чала системы координат (СК) на движущуюся материальную точку.
Траектория определяется в трехмерном случае тремя скалярными функциями
(координатами) x(t), y(t), z(t), которые задаются в выбранной декартовой СК.
r(t)

x(t)e
x

y(t)e
y

z(t)e
z
(3.1)
Примеры:

уравнение пространственной эллиптической спирали,
r(t)

Asin(

t)e
x

Bcos(

t)e
y

vte
z

плоское движение тела, брошенного с высоты H с начальной скоро-
стью v
0
и под начальным углом

к горизонту




2 0
0
( )
cos sin
2
x
y
gt
t
v
t
H
v
t






 




r
e
e
Траектория тела может быть задана и в полярной СК, через расстояние до материальной точки

и угол

между направлением радиуса вектора и некото- рой (полярной) оси. Связи этих переменных с декартовыми координатами мо- гут быть записаны в виде:
x


cos

, y


sin

,
2 2
x
y
 

, tg


x/y.
Пределы изменения переменных: –


x

, –


y


; 0




, 0



2


уравнение плоской спирали с равномерным шагом в полярной СК.
r(t)

v
0
te

, (где e


cos(

t)e
x

sin(

t)e
y
– переменный вектор)
Перемещениематериальной точки есть вектор между двумя точками тра- ектории т.е.:

r
12

r(t
2
)
–
r(t
1
).
(3.2а)
Выражение для вектора перемещения в декартовой СК найдите самостоя- тельно.

25
Вектор бесконечно малого поворота d

имеет
длину равную бесконечно малому углу поворота радиуса- вектора материальной точки, и направление, совпадающее с направлением перемещения правого винта, вращаемого вместе с радиусом-вектором. Например, на рис. 3.1 пово- рот r(t) происходит в плоскости рисунка против часовой стрелки, поэтому вектор d

направлен перпендикулярно плоскости, в которой происходит поворот, на нас. Связь между элементарным перемещением dr с d

определяется ниже выражением:
d
d
 
r
r .
(3.2б)
Путь, пройденный материальной точкой, к моменту времени t, определяется как длина участкатраектории и выражается через интеграл от модуля скорости:
0
( )
( )
t
S t
v t dt


(3.3)
Следует особо отметить, что в этой формуле и ниже величина пути S явля- ется функцией верхнего предела интегрирования t. Переменная внутри инте- грала может обозначаться и другой буквой.
n
d

1.
Мгновенная линейная скорость материальной точки в момент времени t:
( )
d
t
dt

r
v
(3.4) определяется выражениями

( )
( )
( )
( )
( )
x
y
z
d t
t
x t
y t
z t
dt




r
v
e
e
e
(3.4а)
( )
( )
d t
t
dt



   
r
v
e
e
,
(3.4б) соответственно в декартовой и полярной СК. Напомним, что точкой сверху, для краткости, обозначается полная производная по времени, т.е.:
d
dt
  
и т.д.
Средняя скорость за время

от начала движения определяется выражением
0 1
( )
(0)
( )
( )
t
t dt


 





r
r
v
v
,
(3.5) а средняя величина модуля скорости за время t от начала движения –
0 1
( )
( )
( )
S
v t
v t dt








(3.6)
При выводе последнего выражения использовалась формула для модуля скорости, которая получается из (3.3) дифференцированием по времени:
( )
dS
v t
dt

(3.7)
r(t

dt)
dr
r(t)
d

d
Рис. 3.1

26
Секторная скорость определяется соотношением
1 2


r v
s
(3.8) и используется, в основном, при описании движения материальной точки в центральном поле сил.
Вектор угловой скорости определяется как отношение вектора бесконеч- но малого поворота к промежутку времени, за который этот поворот произошёл:
( )
d
t
dt


w
(3.9)
Cвязь угловой скорости с линейной скоростью:
 
v
r
w
(3.10)
n
d

2.
Мгновеннoе линейное ускорение материальной точки
( )
d
t
dt

v
a
(3.11) можно записать в декартовой СК в виде:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
y
y
z
z
x
y
z
d
t
v t
v t
v t
x t
y t
z t
dt







v
e
e
e
e
e
e
a
(3.11а)
Вектор углового ускорения определяется как производная по времени от вектора угловой скорости:
( )
d
t
dt

b

(3.12) в декартовой СК имеет вид
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
y
y
z
z
d
t
t
t
t
t
dt

 
 
 
e
e
e
w
b
(3.12)
Связь между линейным ускорением и угловыми ускорением и скоро-
стью можно найти дифференцированием по времени выражения (3.10)
   
r
v
b
w
a

(3.13)
Среднее ускорение за время t от начала движения определяется выражением
0 1
( )
(0)
( )
( )
t
t
t
t dt
t
t




v
v
a
a
(3.14)
Движение материальной точки по криволинейной траектории иногда удобно описывать в сопровождающей системе координат, задаваемой нормальным n и
тангенциальным

ортами (см. рис. 3.2). Вектор

направлен вдоль вектора скоро- сти, а вектор n – перпендикулярно скорости к центру окружности, касательной к траектории в данной точке.

27
Полное ускорение расклады- вают на тангенциальное ускорение
a

, направление которого совпадает или противоположно направлению вектора линейной скорости и нор-
мальное ускорение a
n
, направлен- ное вдоль n. Длины векторов a

, a
n определяются выражениями:
dv
a
dt


,
(3.15)
2
n
v
a
R

,
(3.16)
Из сказанного ясно, что тангенциальное ускорение меняет только длину векто- ра скорости, в то время как нормальное ускорение определяет только поворот вектора скорости.
Если траектория задана в декартовой СК уравнением y

y(x), или парамет- рически, причём в качестве параметра используется временная переменная t:
y

y(t), x

x(t), радиус кривизны траектории R может быть вычислен по формулам:
2 2
2 2 3/ 2 2
1
/
(
)
1 (
/
)
d y dx
xy
yx
R
x
y
dy dx





(3.17)
Преобразование координат скоростей и ускорений при переходе к другой
системе отсчёта
Пусть имеются две системы отсчёта S и S
1
(см. рис. 3.3). При этом система S
1 относительно сис- темы S характеризуется радиусом вектором начала отсчёта R, его скоростью V и ускорением A, а также угловой скоростью

Положение одной и той же материальной точки определяется радиусами-векторами r и r
1
Соотношение между ними (см. рис.3.3) очевидно:
1
 
r
R
r
(3.18)
Дифференцируя его по времени, получим связи между скоростями и ускоре- ниями материальной точки, определяемыми в разных системах отсчёта:
1
   
v
V
r
v
W
(3.19)


1 1
2
    
    
A
r
r
v
W
W W
W
a
a .
(3.20)
3.2 Основные задачи кинематики
Отличительной особенностью кинематических задач является то, что при их постановке речь идёт только о переменных характеризующих движение
v
1
n
1

1
a
1
a
1

a
1n
v
2
n
2

2
a
2
a
2

a
2n
Рис. 3.2
r
1
r
R
S
1
S
V

Рис. 3.3

28
(радиусы-векторы, скорости и т.д.). При этом характеристики взаимодействий
(силы, работы сил и т.д.) не упоминаются.
Решение кинематической задачи начинается с определения её типа.
Практически все кинематические задачи можно свести к двум типам: прямые
задачи и обратные.
Прямая задача кинематики заключается в нахождении любого парамет- ра движения (обычно эта группа величин с n
d

1,2) по известному закону дви- жения (по группе величин с n
d

0). Обычно она решается дифференцированием известных величин с n
d

0 и последовательным нахождением величин с n
d

1,2.
О дифференцировании простейших функций см. разделы 1.1, 1.2.
Обратная задача кинематики состоит в определении закона движения
(траектории движущейся материальной точки или других физических величин из
n
d

0) по какому-либо известному параметру движения из группы величин с n
d

1 или n
d

2. Обычно эта задача сложнее прямой, так как требует решения диффе- ренциальных уравнений при заданных начальных условиях. Для студентов- первокурсников, впрочем, эти уравнения не сложнее описанных в разделе 1.4.
При этом необходимо иметь в виду, что в качестве уравнений используе-
мых при решении кинематических задач фигурируют математические выра-
жения определений величин кинематических величин. Например, соотношение
( )
( )
t
t

v
r
можно рассматривать и как определение скорости материальной точки, и как дифференциальное уравнение для функции радиуса-вектора. Эти уравнения являются векторными. Решение векторных уравнений сводится к решению системы скалярных уравнений для координат векторов. Поэтому в значительной мере простота математических выкладок зависит от удачного выбора системы отсчёта (СО). Можно посоветовать перед окончательным вы- бором направлений осей системы координат нарисовать на рисунке все векто- ры необходимые для решения задачи и одну из осей системы координат напра- вить вдоль прямой, которой параллельно большинство нарисованных векторов.
3.3 Примеры решения задач кинематики
Задача 1.25.
Точка движется в плоскости xy по закону x

t, y

t(1–

t), где a и b поло- жительные постоянные.
Найти: а) уравнение траектории точки y(x); изобразить её график; б) скорость v и ускорение а точки в зависимости от t; в) момент t
0
, когда угол между скоростью и ускорением равен

Предварительный анализ задачи. Задача относится к прямой задаче кине- матики. Известен закон движения материальной точки, заданный параметриче- ски, причём параметром является t. При таком способе описания нет необхо- димости заботиться о выборе системы отсчёта, т.к. она задана в условии.

29
Скорость и ускорение точки находятся дифференцированием закона дви- жения по времени t. В пункте б) v, a не выделены жирным шрифтом. Следова- тельно, подразумевается, что необходимо найти модули векторов скорости и ускорения. Ответ на вопрос пункта в) можно найти используя формулу (1.5).
Решение. а) Найдём t из соотношения x


t: t

x/

и подставим это выра- жение в равенство y


t(1
–

t). Тем самым, получим ответ на вопрос а):
y(x)

x(1
–

x/

)
. Функция y(x) представляет собой уравнение параболы, кото- рая направлена своими ветвями вниз и пересекает ось OX в точках x

0, x


/

б) Дифференцированием координат вектора r(t) (x

t, y

t(1–

t)) по вре- мени (см. выражения 3.4 и 3.11) в выбранной СК найдём координаты векторов линейной скорости и ускорения:
( )
(
2
)
x
y
x
y
t
x
y
t


     
v
e
e
e
e ,
( )
( )
( )
2
x
y
y
t
x t
y t


  
e
e
e
a
Модули этих векторов равны:
2 2
2 2
( )
(1 2 )
1 (1 2 )
v t
t
bt
   
 
   
и a(t)

2

в) Запишем формулу (1.5) (см. раздел 1.1) через переменные нашей задачи:
 







0 0
0 0
2 2
0 0
0 0
0 2
2
( ) ( )
2 1
cos
4
( ) ( )
1 (1 2
)
1 (1 2
)
2
t
t
t
t
v t a t
t
t
    
 
 




  
   

v
a
Отсюда находим t
0

1/

Задача полностью решена. Но для студента, желающего самостоятельно овладеть навыком решения задач, полезно в решенной задаче увидеть, по край- ней мере, еще несколько задач, которые могут встретиться в той или иной формулировке. Поэтому приведём список вопросов, на которые желательно от- ветить при анализе решения.
Анализ решения. 1.Как изменится результат задачи, если вместо приведён- ных законов движения по x(t) и y(t) взять другие, например, соседней задачи 1.26?
2.Какие другие кинематические величины можно определить из заданного закона движения? Как найти, например, путь, пройденный точкой или компо- ненты тангенциального и нормального ускорений?
3.Как рассчитать радиус кривизны R?
4.Можно ли решить уравнение на определение t
0
при произвольном угле между векторами v и а?
5. Как рассчитать средние величины скорости и ускорения для произволь- ного интервала времени?
6. Придумайте реальную систему, которая при некоторых приближениях
(каких?) описывалась бы предлагаемой в условии задачи моделью.
Задача 1.38.
Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в каждый момент времени её тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны

30 друг другу. В момент времени t

0 скорость точки равна v
0
. Найти зависимо- сти: а) скорости точки от времени и от пройденного пути s; б) полного ускорения точки от скорости и пройденного пути.
Предварительный анализ задачи. Задача относится к обратной задаче кине- матики и для своего решения требует решения дифференциальных уравнений (см. раздел 1.4). Для получения частного решения необходимо, кроме составления уравнения, знание начальных условий (величин скорости или пройденного пути к начальному моменту времени t

0). Слово “замедляясь” в условии задачи означа- ет, что с увеличением времени скорость уменьшается (dv

0), т.е. вектор танген- циального ускорения направлен в сторону противоположную вектору скорости.
Сопутствующая система отсчёта определена в условии.
Решение. По условию задачи a
n

a

. Используя соотношения (3.15) (3.16) с учётом знака dv (направления тангенциального ускорения), получим следую- щее дифференциальное уравнение
2
dv
v
dt
R
 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Ре- шаем его по методу, описанному в разделе 1.4.
0 2
0
v
t
v
dv
dt
v
R




или после интегрирования
0 1
1
t
v
v
R








Отсюда получим выражение для скорости как функции времени:
0 0
( )
1
/
v
v t
v t R


Чтобы найти зависимость скорости от пройденного пути s, можно в ис- ходном уравнении перейти от переменной t к переменной s.
2
dv ds
dv
v
v
ds dt
ds
R

 
или
dv
v
ds
R
 
Последнее соотношение вновь представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его и разрешая отно- сительно v, получаем окончательный результат v(s)

v
0
exp(–s/R) и полный от- вет на вопрос пункта а).
Чтобы ответить на вопросы пункта б), достаточно воспользоваться выра- жением для компоненты нормального ускорения a
n

v
2
/R и учесть равенство
a
n

a

, данное по условию. Окончательно получим


2
-2 0
0
( )
2 1
v
a t
v t R
R


,
2 0
( )
2
exp( 2
)
v
a s
s R
R


Анализ решения. В соответствии с принципом “понять – значит обоб- щить”, глядя на полученные решения, можно задать следующие вопросы:
1.Как изменятся решения задачи, если отказаться от требования, что тело движется по окружности? Очевидно, в этом случае радиус кривизны становит-

31 ся переменной величиной (см., например, рис. 3.2), поэтому для решения зада- чи следует предположить, что зависимость радиуса кривизны R(t) известна. То- гда при тех же остальных условиях получается дифференциальное уравнение:
2
( )
dv
v
dt
R t
 
, решение которого имеет вид:
0 0
0
( )
1
( )
t
v
v t
dt
v
R t



Если использовать теперь формулу (3.17), то можно написать систему уравнений для отыскания уравнения плоской кривой в декартовой СК:
2 2
2
( )
x
y
v t


,
3
( )
( )
v t
xy
yx
R t


Оказывается, можно получить решение этой системы уравнений для лю- бых функций v(t), R(t). Способы решения такой системы уравнений уже выхо- дят за рамки математической подготовки студентов первого курса. Но если вы пожелаете вернуться к этой задаче на втором курсе, то можно показать, что эта система сводится к уравнениям
0
( ) cos( ( )
),
x
v t
t

  
0
( )sin( ( )
)
y
v t
t

  
, где
0
( )
( )
( )
t
v t
t
dt
R t



,
0
(0)
tg
(0)
y
x
v
v
 
. Интегрируя их можно получить решение зада- чи.
2. Можно ли получить решение задачи, если отношение тангенциального ускорения к нормальному равно b (b – некоторое заданное положительное чис- ло)? Можно ли получить обобщение, если b

b(t)?
Задача 1.58.
Твёрдое тело вращается с постоянной угловой скоростью

0

0,50
рад/с вокруг горизонтальной оси AB. В момент t

0 ось AB начали поворачивать вокруг вертикали с постоянным угловым ускорением

0

0,10 рад/c
2
. Найти модули уг- ловой скорости и углового ускорения тела через t

3,5
с.
Предварительный анализ задачи. Задача относится к кинематике движе- ния твёрдого тела. Сначала, решая обратную задачу кинематики, интегрирова- нием можно найдём вектор угловой скорости вращения твёрдого тела. Затем не составит труда определить её модуль. Угловое ускорение найдём, решая пря- мую кинематическую задачу, пользуясь его определением (формула 3.12).

32
Решение. Реализуем программу, намеченную в предварительном анализе.
Кажется естественным выбор системы координат, взаимноперпендикулярные орты которой направлены вдоль оси АВ, в ту же сторону, что и

0
(е
а
), и вдоль вектора

0
(е
я
). В этой СК начальные условия для обратной задачи можно записать в виде:
0
(0)
0
a
z
 
 
e
e
w
, а временную эволюцию представить уравнением
0
z
d
dt

 
Интегрируя последнее, найдём вектор угловой скорости:
0 0
( )
a
z
t
t
 

e
e
w
,
(1) откуда находим модуль полного углового ускорения:


2 0
0 0
( )
( )
( ) ( )
1 (
/
)
t
t
t
t
t
 

 
  
w
w w
(2)
Подставив выражение (1) в формулу (3.12), находя производные коорди- нат, получим выражение для углового ускорения:
 
0 0
0
( )
( )
a
z
z
d
t
t
t
dt



 


 




e
e
e
b
w
(3)
Модуль этого вектора, равен

0
, что не совпадает с ответом. Почему?
Анализ решения. Если внимательно проанализировать причины несовпа- дения, то можно заметить, что задача решена правильно! Только… Во вра-
щающейся системе координат! В самом деле, при получении выражения (3) мы посчитали, что орт
a
e неподвижен. В то же время по условию ось AB вра-
щается вокруг вертикальной оси, меняя со временем свою ориентацию. Если это учесть, то выражение (3) примет вид:
 
0 0
0 0
0
( )
( )
a
a
z
a
z
d
t
t
t
dt



 
 


 
 




e
e
e
e
e
b
w
Задача в этом случае сведётся к расчёту производной
a
e в лабораторной системе отсчёта.
Ось OZ лабораторной СК выберем, как и преж- де, вдоль вектора

0
(см. рис.). Пусть ось OX сов- падает с направлением вектора угловой скорости

в момент времени t

0, а орт
y
e образует с дву- мя другими правую тройку, т.е.
y
z
x
 
e
e
e .
Из рисунка 3.4 очевидно, что
e
a
(t)

cos[

(t)]e
x

sin[

(t)]e
y
, где


угол поворота оси AB вокруг вертикальной оси.
e
y

e
x
e
a

0

e
z
A
B

33
Угол

можно найти, решая обратную кинематическую задачу, описывае- мую уравнениями:
z
z
d
d
dt
dt


 

;
0
z
z
d
dt

   
с начальными условиями:
(0)
0
z


;
(0)
0
z


Интегрируя записанные уравнения, находим
2 0
( )
2
t
t



Тогда вектор угловой скорости в лабораторной СК определится равенством:


0 0
0 0
( )
cos sin
a
z
x
y
z
t
t
t
 

 
 


e
e
e
e
e
w
.
Дифференцируя последнее уравнение по времени, получим выражение для вектора угловой скорости:




0 0
0 0
0 0
0
( )
( )
sin cos sin cos
a
z
x
y
z
x
y
z
t
t
t

 
 
   
 

 

   
 

 
e
e
e
e
e
e
e
e
b
w
Модуль этоговектора равен:
 
2 0
0
( )
( )
1 (
)
t
t
t
t



 
 
b
b
, что совпадает с выражением, приведённым в ответе.
Основной урок, который можно извлечь из решения этой задачи, состоит в том, что при использовании координатного способа описания векторов необ- ходимо всегда помнить в какой СК проводятся вычисления.
Чтобы лучше усвоить этот урок решите самостоятельно задачу для случая, когда


и



зависят от времени.
Дополнительное замечание. Иногда студенты, самостоятельно решая эту задачу, получают выражение для модуля углового ускорения в виде:
2 0
2 0
0 0
( )
1 (
/
)
t
t
t




  
К такому результату можно прийти, продифференцировав выражение для модуля угловой скорости (2). Это грубейшая ошибка, связанная с не чётким понимани- ем связи между скоростью и ускорением (определение 3.12). Нужно помнить, что модуль производной от произвольного вектора s(t) и производная от модуля этого вектора не всегда равны друг другу. В самом деле, выражения

s
ss
и cos
d
s
dt




ss
ss
s
ss
равны друг другу, лишь при условии, что угол

между векторами s

и s равен нулю, т.е. только, если векторы s

и s параллельны.

34