Методические указания к решению задач по курсу "механика" Казань 2 0 1 2 методические указания к решению задач по курсу "
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
Раздел 1. Минимальные сведения по математике, необходимые для решения задач по курсу механики В этом разделе приводятся минимальные сведения по математике, кото- рые необходимы для того, чтобы приступить к решению задач по механике. Информация даётся в предельно сжатой форме. Практической стороне отдаётся приоритет по отношению к математической строгости. Авторы предполагают, что студент, ознакомившись с этим разделом, обратится к соответствующим учебникам и задачникам по курсу школьной математики, чтобы восполнить возможные пробелы и восстановить полузабытые разделы. 1.1 Векторы и действия над ними Вектор – математический объект, характеризующийся величиной и на- правлением. Если в n-мерном пространстве задана система координат (СК) (т.е. система n штук взаимно-перпендикулярных единичных (ортов) e j 1 ), то задание вектора в этом пространстве эквивалентно выбору n чисел, отложенных по осям задан- ной СК. Математическая запись вектора в трёхмерном пространстве в базисе ор- тов e j (j x,y,z) выглядит так: А(A x ,A y ,A z ) A x e x A y e y A z e z , (1.1) где A x , A y , A z – координаты вектора A. Длина (модуль) вектора определяется выражением: 2 2 2 x y z A A A A A (1.2) Векторная сумма А В двух векторов А и В, соответствующая геометри- ческой сумме направленных отрезков определяет- ся правилом параллелограмма (см. рис. 1.1). Произведение вектора А на скаляр s есть вектор, в раз s больший, чем исходный вектор А. Если s>0, напавление нового вектора совпадает с направлением А, если s<0, новый вектор противо- положен по направлению вектору А. 1 Здесь и далее буквы, выделенные жирным шрифтом, обозначают векторы. Если в тексте встречается одна и та же буква, в одном случае выделенная жирным шрифтом, а в другом – курсивом, то в первом случае буква обозначает вектор, а во втором – его длину. Например, A читаем “вектор А”; A – “длина вектора А”. B С А Рис. 1.1 11 Вычитание векторов А–В сводится к сложению вектора А и –В: А – В А (–В) (1.3) Выражения в прямоугольных декартовых координатах для суммы и разно- сти двух векторов, а также для произведения вектора на число получите само- стоятельно на основе (1.1). Скалярное произведение А В (другие обозначения (A,B), или (АВ) двух векторов А и В с углом между ни- ми в результате даёт скаляр, определяемый следующим образом: А В = А В cos( ). (1.4) Два ненулевых вектора А и В взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда АВ 0. Свойства скалярного произведения. АВ ВА; АА А 2 0; АВ АВ; А(В С) АВ АС; (sА)В s(АВ); cos( ) АВ/(АВ); Если С А – В, то С 2 А 2 В 2 – 2АВ (теорема косинусов). Выражение скалярного произведения в прямоугольных декартовых координатах. e x 2 e y 2 e z 2 1; e x e y e x e z e y e z 0; АВ А x В x А y В y А z В z ; (1.4а) А x Аe x ; А y Аe y ; А z Аe z Проекция вектора A на направление s s A s As (1.4б) Угол между двумя векторами может быть выражен через их координаты: 2 2 2 2 2 2 cos x x y y z z x y z x y z A B A B A B AB A A A B B B AB (1.5) Векторное произведение А В (другое обозначение [A,B]) двух векторов есть вектор, модуль которого равен А В А В sin( ) (1.6) (совпадает с площадью параллелограмма, построенного на векторах А и В). Его направление перпендикулярно к обоим векторам А и В и совпадает с направле- нием правого винта при его повороте от А к В на угол меньший Два вектора параллельны или антипараллельны друг другу тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю. 12 Свойства векторного произведения. A В –В А; А А 0; (sА) В s(А В) А (В С) А В А С; А(А В) В(А В) 0. Выражение векторного произведения в прямоугольных декартовых координатах. e x e x e y e y e z e z 0; e x e y e z ; e y e z e x ; e z e x e y ; А В (А y В z –А z В y )e x (А z В x – А x В z )e y (А x В y – А y В x )e z x y z x y z x y z e e e A A A B B B (1.6а) Смешанное (векторно-скалярное) произведение. А(В С) В(С А) С(А В) (АВС). (1.7) Последнее равенство выражает собой сокращенное обозначение смешан- ного произведения и отражает свойство циклической перестановки векторов в смешанном произведении. Произведения, содержащие более двух векторов. А (В С) В(АС) – С(АВ) (Правило “бац”–”цаб”), (1.8) (А В)(С D) (AC)(BD) – (AD)(BC), (A B) 2 A 2 B 2 – (AB) 2 , (A B) (C D) (ACD)B – (BCD)A (ABD)C – (ABC)D. В последнем равенстве три вектора в одной скобке обозначают смешанное векторное произведение. Решение некоторых векторных уравнений (Предполагается, что (АВС) 0) Система Решение AX p A X B 2 2 1 p A A X A B A (1.9) AX p BX q CX r = p q r X B C C A A B ABC ABC ABC (1.10) 13 1.2 Дифференцирование скалярных и векторных функций Производной функции f(x) в точке называется предел отношения прира- щения функции к соответствующему приращению аргумента. 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim x x d df x f x f x f x f x dx dx x x Производные часто встречающихся функций Таблица 1.1. Функция f(x) Производная ( ) f x Функция f(x) Производная ( ) f x x a ax a –1 ctg(x) –1/sin 2 (x) e x e x sec(x) sin(x)/cos 2 (x) a x a x ln(a) сosec(x) –cos(x)/sin 2 (x) ln(x) 1/x sh(x) ch(x) log a x 1/xln(a) ch(x) sh(x) sin(x) cos(x) th(x) 1/ch 2 (x) cos(x) –sin(x) cth(x) –1/sh 2 (x) tg(x) 1/cos 2 (x) arsh(x) 1/(1 x 2 ) 1/2 arcsin(x) 1/(1–x 2 ) 1/2 arch(x) 1/(x 2 –1) 1/2 arccos(x) –1/(1–x 2 ) 1/2 arth(x) 1/(1–x 2 ) arctg(x) 1/(1 x 2 ) Arcth(x) –1/(x 2 –1) arcctg(x) –1/(1 x 2 ) x x x x (ln(x) 1) Примечания к таблице 1.1: Гиперболические функции определяются следующим образом: sh( ) 2 x x e e x ; ch( ) 2 x x e e x ; sh( ) th( ) ch( ) x x x ; 1 cth( ) th( ) x x (1.11) Обратные гиперболические функции выражаются через логарифмическую функцию следующим образом : 2 arsh( ) ln ( 1) x x x ; 2 arch( ) ln ( 1) x x x ; 1 1 arth( ) ln 2 1 x x x ; 1 1 arcth( ) ln 2 1 x x x (1.12) 14 Правила дифференцирования скалярных функций скалярного аргумента. ( ) ( ) ( ) ( ) d d d u x v x u x v x dx dx dx ; ( ) ( ) d d cu x c u x dx dx ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d u x v x u x v x u x v x dx dx dx ; 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d u x d d u x v x u x v x dx v x v x dx dx ; ( ) d df du f u x dx du dx (дифференцирование сложной функции). ( ) ln ( ) ( ) d y x y x dx y x (логарифмическая производная); Правила дифференцирования векторных функций скалярного аргумента. Обычно в механике приходится иметь дело с векторными функциями вре- мени. Поэтому здесь правила дифференцирования приведены на примере именно таких функций. Сравните эти правила с приведёнными выше. В соот- ветствии с общепринятыми правилами точка сверху означает полную произ- водную по времени ( S dS dt ). ( ) ( ) ( ) ( ) d t t t t dt v u v u ; ( ) ( ) d c t c t dt v v (с – const); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d f t t f t t f t t dt v v v ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d t t t t t t dt v u v u v u ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d t t t t t t dt v u v u v u ; ( ) ( ) d d d f t f f t dt df dt v v ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d t t t t t t t t t t t t dt v u w v u w v u w v u w Дифференцирование вектора в прямоугольных декартовых координатах. ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y z z d t v t v t v t dt v e e e 15 1.3 Интегрирование элементарных функций. Среднее значение физической величины Для расчёта определённого интеграла удобно пользоваться основной теоремой интегрального исчисления ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a (1.13) При этом f(x) называют подынтегральной функцией, x – переменной интегри- рования, a и b – нижним и верхним пределами интегрирования. F(x) – первооб- разной функции f(x). По определению ( ) ( ) F x f x Необходимо помнить, что дифференцирование и интегрирование являют- ся взаимно обратными операциями в смысле нижеприведённых формул: 0 ( ) ( ) x d f x dx f x dx ; 0 ( ) ( ) (0) x d f x dx f x f dx Неопределённый интеграл и первообразная функции отличаются на про- извольную постоянную ( ) ( ) f x dx F x C Неопределённые интегралы элементарных функций Таблица 1.2 1 1 m m x x dx m C (m –1) sin( ) dx x ln tg(x/2) C dx x ln x C cos( ) dx x ln tg(x )/2 C ln x x a a dx a C 2 cos ( ) dx x tg(x) C x x e dx e C 2 sin ( ) dx x –ctg(x) C sin ( ) x dx –cos(x) C 2 2 1 arctg dx x a x a a C cos( ) x dx sin(x) C 2 2 1 ln 2 dx x a x a a x a C tg( ) x dx –ln cos(x) C 2 2 arcsin dx x a a x C ctg( ) x dx ln sin(x) C 2 2 2 2 ln dx x x a x a C 16 Свойства интегралов ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx ; ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx ; ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a u x v x dx u x dx v x dx ; ( ) ( ) b b a a cu x dx c u x dx Интегрирование подстановкой (способ замены переменной). Если x (t), то ( ) ( ) ( ) d t f x dx f t dt dt Для интегралов c заданными нижними и верхними пределами необходимо при переходе к другой переменной поменять и пределы интегрирования. По- этому для определённого интеграла формула примет следующий вид ( ) ( ) ( ) b a t b a t f x dx f t t dt (1.14) В последнем равенстве пределы интегрирования t a , t b находятся из реше- ния алгебраического уравнения a (t a ), b (t b ). Пример.Вычислить интеграл ( ) m ax b dx Полагаем ax b t. Дифференцируя это соотношение, находим аdx dt. От- куда dx dt/a. Итак, имеем 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 m m m m t ax b ax b dx t dt a a m a m Аналогичным образом с помощью замены ax b t можно обобщить инте- гралы, приведённые в таблице 1.2. Интегрирование по частям. Общая формула интегрирования по частям имеет вид udv uv vdu (1.15) Пример. Вычислить интеграл sin( ) x ax b dx Полагаем x u; sin(ax b)dx dv и находим du и v. du dx; 1 sin( ) cos( ) v ax b dx ax b a При вычислении последнего интеграла мы использовались замену пере- менной – ax b t. Теперь, интегрируя по частям, получим 1 sin( ) cos( ) cos( ) x x ax b dx ax b ax b dx a a 2 1 cos( ) sin( ) x ax b ax b C a a 17 Среднее значение некоторой функции в интервале [a,b] определяется формулой: 1 ( ) ( ) b a f x f x dx b a (1.16) 1.4 Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого и второго порядка При решении задач по механике вам придется столкнуться с простейшими дифференциальными уравнениями. Общая теория и методы решения диффе- ренциальных уравнений излагаются на втором курсе, поэтому здесь мы изло- жим только метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и с постоянными коэффициентами. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Общая структура дифференциального уравнения первого порядка с разде- ляющимися переменными имеет вид ( ) ( ) dy F y f x dx Известны начальные условия, т.е. при x x 0 y y 0 . Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую этому уравнению. Разделим переменные x, y друг от друга. Для этого перенесём функцию F(y) в левую часть равенства под дифференциал dy, а дифференциал dx в пра- вую часть этого уравнения. Тогда получим ( ) ( ) dy f x dx F y После разделения (знаком равенства) переменных x, y можно проинтегриро- вать обе части равенства с учётом начальных условий 0 0 ( ) ( ) y x y x dy f x dx F y Последнее равенство представляет собой решение исходного дифферен- циального уравнения. Далее необходимо проинтегрировать обе части этого ра- венства и выразить (если это удается) неизвестную y как функцию x. Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения 2 2 ( ) ( ) m dy ax b c y dx Известно, что при x 0 у 0. m –1. 18 Согласно вышеизложенному методу, имеем 2 2 0 y dy c y 0 ( ) x m ax b dx Интегралы в правой и левой частях равенства являются табличными. По- этому имеем 1 1 1 1 ( ) ln 2 1 1 m m c y ax b b c c y a m m Выражая из последнего равенства y, получим окончательно 1 1 ( ) th 1 1 ( 1) m m cb ax y x c a m b Функция th(x) определена в примечаниях к таблице 1.1. Пример 2. Тело движется по прямой таким образом, что, начиная с неко- торого момента времени t t 0 , величина мгновенной скорости в n раз (n 0) превышает её среднюю скорость. Найти, по какому закону x(t) движется тело. Решение. Напишем условие, которому удовлетворяет движение матери- альной точки 0 ( ) ( ) ( ) t t n v t n v t v t dt t Обозначив через y(t) tv(t), преобразуем это условие к виду dy y n dt t Получилось дифференциальное уравнение с разделяющимися переменны- ми, решение которого определяется по методу, изложенному выше. 0 0 y t y t dy dt n y t Интегрируя эти выражения, получим 0 0 ( ) n t y t y t , откуда получаем функцию 1 0 0 ( ) n dx t v t v dt t Интегрируя последнее выражение, получим закон движения 0 0 0 ( ) n v t t x t n t 19 При изучении свободных и затухающих колебаний вам встретятся линей- ные дифференциальные уравнения второго (т.е. содержащее вторую производ- ную) порядка с постоянными коэффициентами. Изложим метод его решения. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Дифференциальное уравнение с постоянными действительными коэффи- циентами (a i const, i 0,1,2) имеет вид 2 0 1 2 2 0 d y dy a a a y dx dx Общее решение этого дифференциального уравнения записывается в виде 1 1 2 2 ( ) exp( ) exp( ) y x C k x C k x Значения k 1,2 являются корнями квадратного уравнения: 2 0 1 2 0 a k a k a Величины констант C 1,2 определяются из начальных условий. Приведём решение для случая комплексных корней. (Более детально опе- рации с комплексными числами разъясняются в разделе 8.) Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля. 0 ( ) exp( ) cos y x C x x Здесь 1 0 2 a a , 2 0 2 1 0 4 2 a a a a . Если заданы начальные условия y(0), y’(0), то постоянные С и 0 определяются из системы алгебраических уравнений: 0 0 (0) cos '(0) (0) sin y C y y C |