Раздел 8. Механические колебания
Изучение общих закономерностей и языка описания колебаний и волн чрезвычайно важно по следующим причинам:
В состоянии равновесия величины, характеризующие поведение любых фи- зических систем, совершают колебания около своих значений, соответст- вующих минимумам функций потенциальных энергий систем.
Волны являются преимущественным способом взаимодействия между объ- ектами физического мира.
Механические системы являются наиболее простыми из изучаемых физи- кой. На их примере часто возможно дать наиболее наглядное представление о принципиальных вопросах теории колебаний и волн.
Согласно теореме Фурье любое колебание может быть представлено как
сумма бесконечно большого числа простых, гармонических, (происходящих по закону синуса или косинуса) колебаний. Благодаря этой теореме, задача об изу- чении любых колебаний сводится к изучению свойств гармонических колеба- ний, и нахождению наиболее простых способов оперирования с суммами гар- монических колебаний.
8.1 Основные понятия и законы колебательного движения
Как правило, поведение отклоненийвеличин x, характеризующих физиче- скую систему, от их равновесных значений удовлетворяет уравнению гармо-
нического осциллятора:
0
px
qx
rx
(8.1)
Первое слагаемое представляет быстроту изменения x, р– является мерой инертности системы. Второе слагаемое, так называемый “диссипативный член”, учитывает связь системы с окружением, в случае q
0, как станет ясно ниже, происходит уменьшение энергии, а в случае q
0– её увеличение, случай
q
0 соответствует замкнутой системе. Наконец, последнее слагаемое описыва- ет “консервативную силу”, его наличие связано с тем, что система, выведенная из состояния равновесия, стремится вернуться в него. Величина r в первом приближении определяет крутизну потенциальной ямы, определяющей устой- чивое состояние системы: r
(d
2
U/dx
2
).
Уравнение (8.1) удобно представлять в виде:
2 0
2 0
x
x
x
(8.2)
Решением (8.2) являются гармонические функции вида
0
i
t
i
t
t
x t
A t e
x e
e
,
(8.3) где А(t) называют амплитудой, Ф(t) – фазой,
Ф(0) – начальной фазой,
–
коэффициентом затухания,
2 2
0
– частотой гармонического колебания.
Частота
o является частотой свободных колебаний в замкнутой (
0) системе.
61
Представления колебания комплексной функцией вида (8.3) имеет суще- ственные преимущества по сравнению с выражением колебания через функции синуса или косинуса: все операции сложения колебаний вместо сложных тригонометрических выкладок сводятся к относительно простым геометрическим приёмам сложе- ния векторов: ведь комплексное число (8.3) можно представить вектором на комплексной плоскости, который имеет длину
А(
t), вращается с частотой
(против часовой стрелки) или –
(по часовой стрелке) вокруг точки комплекс- ного нуля и при
t
0 образует угол
с реальной осью; энергия колебаний
2
Exxx
и вновь оказывается существенно проще перемножать комплексные экспоненты, чем тригонометрические функции.
Для исследования параметров гармонических колебаний, а следовательно, и параметров системы вблизи состояния равновесия
обычно используют резо- нансный метод, суть которого состоит в исследовании отклика системы на внешнее гармоническое воздействие. В самом деле, если подействовать на сис- тему, описываемую (8.2), внешним периодическим возмущением то уравнение
(8.2) трансформируется в
2 0
0 2
i txxxf e
(8.4)
На временах
t
1/
в системе, описываемой (8.4), устанавливаются колеба- ния с частотой вынуждающей силы
itx tae
и с амплитудой
0 2
2 2
2 0
2
fa
(8.5) с запаздыванием по фазе относительно вынуждающей силы
2 2
0 2
arctg
(8.6)
Максимум амплитуды вынужденного колебания достигается при частоте внешнего возмущения называемой резонансной:
2 2
рез
0 2
В часто реализуемом на практике случае малого затухания (
o)
рез
0
, что позволяет получить информацию о крутизне функции потенциаль- ной энергии (см. выше). В этом же случае малого затухания ширина резонанс- ной кривой
, т.е. расстояние между точками пересечения функций
a(
) и
рез
2
aa
, определяет коэффициент затухания, т.е. параметр связи системы с окружением:
0 0
0 2
TQ
, где
T
2
/
– период колебаний системы,
ln
TA tTA t
– лога- рифмический декремент затухания и
Q
/
– добротность системы.
62
8.2 Примеры решения задач теории механических колебанийЗначительное число задач данного раздела имеют целью сформировать навыки свободного оперирования с формулами, которые связывают различные величины, характеризующие колебания, и в комментариях не нуждаются. Здесь мы уделим внимание лишь двум классам задач: задачам на отыскание суммар- ного колебания по частным и задачам по определению параметров малых ко- лебаний по описанному устройству системы.
Задача 4.7 Найти амплитуду
А колебаний, которые возникают при сложении сле- дующих колебаний:
x1
3cos(
t
/3) ,
x2
8sin(
t
/6).
Предварительный анализ задачи.
Используем метод векторных диа- грамм. Для этого решим, что опреде- лённые в условии величины
x1
и
x2
суть реальные части комплексных чи- сел. С тем же успехом можно считать эти величины мнимыми частями ком- плексных чисел. По сравнению с пер- вым предположением у обоих чисел появится одинаковая начальная фаза
/2. С точки зрения физики это будет означать, что часы наблюдателя были включены позже на
t
/2
Решение. Для удобства, исполь- зуя тригонометрические формулы, выразим все колебания через косинусы.
2 8.0cos
6 2
xt
.
Взаимное расположение векторов, представляющих колебания, в момент времени
t
0 показано на рисунке. Оба вектора со време- нем будут вращаться против часовой стрелки с частотой
. Из теоремы косину- сов для амплитуды суммарного колебания найдём:
2 2
3 8
2 3 8cos
7
A
Задача 4.13 Частица массы
m находится в одномерном силовом поле , где её потенци- альная энергия, зависит от координаты
x как
U(
x)
U0
(1–cos
ax),
U0
и
а – посто- янные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
Предварительный анализ задачи. Для начала отметим, что именно такая зависимость потенциальной энергии от координаты появляется в одномерной модели одноатомного кристалла. С точки зрения механики поведение во вре- мени материальной точки подчиняется второму закону Ньютона. Запишем его.
Re
Im
x1
x2
63
Решение. Проекция на ось x единственной силы, действующей на частицу, силы упругости, в приближении малых x равна:
–U
0
asin(ax)
–U
0
a
2
x.
Второй закон Ньютона
2 0
mx
U a x
Сопоставляя с (8.2) получим
2 0
0 2
2
m
T
U a
Задача 4.67
Модель молекулы CO
2
– три шарика, соеди- нённые одинаковыми легкими пружинками и рас- положенные вдоль одной прямой. Такая система может совершать продольные колебания двух ти- пов, как показано стрелками на рисунке. Зная массы атомов, найти отношение частот этих колебаний.
Физический этап решения. Очевидно, в первом случае атом углерода неподвижен, отклонения атомов кислорода происходят симметрично. В этом случае удобно анализировать движение одного из атомов кислорода. Во втором случае, будем анализировать движение атома углерода.
При этом учтём, что центр масс системы неподвижен.
Решение. Будем обозначать смещения атомов кислорода и углерода от по- ложений равновесия соответственно x
O
и x
С
, массы – m
O
и m
C
, коэффициент жё- сткости пружин – k. В первом случае уравнение движения для каждого из ато- мов кислорода
O
O
O
m x
kx
Отсюда
1
O
k
m
Во втором случае для атома углерода получим
C
C
O
C
2
m x
kx
kx
При этом из требования неподвижности центра масс
O
O
C
C
2m x
m x
Из двух последних уравнений
O
C
2
O
C
2
k
m
m
m m
Окончательный ответ:
2
O
1
C
1 2 1,9
m
m
C
O
O
C
O
O
2)
1)
64
Раздел 9. Упругие деформации твёрдого тела9.1 Основные понятия и некоторые законы теории упругостиПод деформацией твёрдого тела понимается изменение его формы или размеров. Упругими называются деформации, которые полностью исчезают после прекращения действия внешней силы.
В качестве
меры воздействия на твёрдое тело принимают значение
на-пряжения
F/S ,
(9.1) где
F– сила,
S–площадь поперечного сечения.
Деформация будет упругой, если значение напряжения не превысит опре- делённого значения
у
, называемого
пределом упругости.
Если напряжение превысит значение
m, называемое
пределом прочности, произойдёт разрушение материала.
Для малых деформаций выполняется
закон суперпозиции – результирующее действие нескольких напряжений равно сумме деформаций от каждого из них.
Выделяют два основных вида деформации, комбинация которых даёт все остальные:
Сжатие (растяжение). Мерой деформации служит относительное удлинение
(
l–
l0
)/
l0
(9.2)
При малых деформациях выполняется закон Гука:
/
E , (9.3)
где
E – модуль Юнга
. При сжатии и растяжении происходит также изменение поперечных раз- меров тела. Связь между относительным поперечным сжатием
‘ и относитель- ным продольным растяжением даёт коэффициент Пуассона
:
‘
–
(9.4)
В изотропном материале модуль Юнга и коэффициент Пуассона полно- стью определяют упругие свойства тела.
Сдвиг. Мерой деформации служит угол
, связанный с тангенциальным напряже- нием
выражением (
закон Гука для сдвига):
/
G , (9.5) где
G –
модуль сдвига (в изотропном материале равный
E/(2(1
)).
65
Деформированное тело обладает потенциальной энергией, объёмную плотность которой можно найти в случае упругой деформации из выражений:
u
Е
2
/2, или u
G
2
/2.
(9.6)
При решении задач этого раздела, обычно выделяется бесконечно малый элемент объёма и для него записывается второй закон Ньютона. Затем нахо- дится напряжение и, из закона Гука, деформация этого элемента. Зная дефор- мацию, можно найти объёмную плотность энергии. Далее, интегрируя по объ-
ёму, находят деформацию и энергию всего образца.
8.2 Примеры решения задач теории упругих деформаций
Задача 1.313
Какое давление изнутри может выдержать стеклянная трубка радиуса R со стенками толщиной h.
Решение. Как и прежде при анализе сис- тем с распределёнными параметрами, проана- лизируем поведение части трубки. Сделаем ри- сунок для бесконечно малого элемента трубки
(
0). Сумма упругих сил F
1
и F
2
дает резуль- тирующую силу F, которая и уравновешивает силу внутреннего давления.
Тогда, т.к. F
1
F
2
(почему?) и угол
бес- конечно мал, мы можем записать
F
F
1
sin
/2
F
2
sin
/2
2
F
1
sin
/2
F
1
,
F
PdS
Pl
Из этих уравнений получаем
P
F
1
/l
В момент разрушения напряжение в стекле равно пределу прочности:
m
F
1
/S
F
1
/lh, F
1
m
lh.
Пренебрегая увеличением радиуса трубки (так как относительное удлине- ние стекла мало), мы можем записать
R
. Подставив эти выражения в фор- мулу для давления, получаем:
P
m
h/R.
Задача 1.317
Однородный упругий брусок движется по гладкой горизонтальной плос- кости под действием постоянной силы F
0
, равномерно распределённой по тор- цу. Площадь торца равна S, модуль Юнга материала – E. Найти относительное сжатие бруска в направлении действия силы.
66
Решение. Под действием силы брусок будет двигаться с ускорением, которое можно найти из второго закона Ньютона:
a
F
0
/m
F
0
/
SL, где
– плотность. Рассмотрим бесконечно тонкий элемент dx (см. рисунок). На него будут действовать силы упругости со стороны других частей бруска. Под действием этих сил выделенный элемент будет двигаться с ускорением, равным ускорению бруска. Тогда запишем вто- рой закон Ньютона для него:
dm·a
Sdx·a
F(x)–F(x
dx)
– dF.
Интегрируя это выражение от сечения с нулевой координатой до некото- рого сечения с координатой x, получим:
F(x)
F
0
–
Sax
F
0
(1–x/L).
Находим напряжение внутри бруска:
(x)
F(x)/S
F
0
(1–x/L)/S.
Проверим, что при x
L напряжение равно нулю, так как этот конец бруска свободен. По закону Гука для относительного сжатия элемента dx получаем:
d
l/dx
/E
F
0
(1–x/L)/SE. Из этого уравнения сжатие всего бруска равно:
2 0
0 0
0 0
1 2
2
L
L
F
x
F
x
F L
d
l
dx
x
SE
L
SE
L
SE
Мы видим, что удлинение будет в два раза меньше, чем в случае покояще- гося бруска. Это понятно, так как в случае покоя на брусок будет действовать две силы F
0
с противоположных концов.
Задача 1.327
Установить связь между крутящим моментом N и углом закручивания
для: а) трубы, у которой толщина стенок
r значительно меньше радиуса тру- бы; б) сплошного стержня круглого сечения.
Их длина l, радиус r и модуль сдвига G известны.
Решение. a) Выделим малый элемент объёма стержня. Из рисунка видно, что деформация, которую испытывает этот элемент, есть деформация сдвига. Запишем закон Гука для вы- деленного элемента:
/G
dF/dSG
dF/rd
rG
dFr/r
2
d
rG
dN/r
2
d
rG.
Из треугольника ABC имеем: tg
AC/AB. Если уг- лы
и
малы:
r
/l.
67
Подставив это выражение в первую формулу, получим:
dN
r
3
rG
d
/l.
Проинтегрируем это выражение по
от 0 до 2
:
N
2
G
r
3
r/l. б) Сплошной стержень можно разбить на множество труб с толщинами стенок dr. Для каждой из этих труб можно записать выражение, полученное в пункте а). Тогда общий крутящий момент найдётся суммированием крутящих моментов отдельных труб:
4 3
0 1
2 2
r
Gr
N
dN
Gr dr
l
l
Из этой задачи видно, что деформация кручения сводится к деформации сдвига.
Задача 1.333
Какую работу необходимо совершить, чтобы стальную полосу длины l, ширины h и толщины
согнуть в круглый обруч? Предполагается, что процесс происходит в пределах упругой деформации.
Решение. После сворачивания полосы в обруч центральный слой будет не деформирован, внутренние слои сожмутся, а внешние растянутся. Таким обра- зом, деформация изгиба сводится к деформациям сжатия и растяжения. Если деформация упругая, вся работа пойдёт на увеличение потенциальной энергии.
Найдём эту энергию. Слой, отстоящий от центрального на расстояние
, будет иметь радиус r
(r
l/2
). Тогда его относительное удлинение будет равно
(2
(r
)–l)/l
2
/l.
Объёмная плотность энергии этого слоя будет равна
u
E
2
/2
2E
2
2
/l
2
Энергию получим как интеграл от этого выражения по dV
ld
:
/ 2 2
2 2
2 3
/ 2 2
6
A U
E
ld
l
E
l
Скачать 1.36 Mb.