Методические указания к решению задач по курсу "механика" Казань 2 0 1 2 методические указания к решению задач по курсу "
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
Раздел 10. Гидродинамика 10.1 Некоторые понятия и законы гидродинамики Гидродинамика изучает движение жидкости или газа. Если жидкость раз- бить на элементарные объёмы, которые можно считать точечными, мы можем воспользоваться уравнениями динамики материальной точки. Второй закон Ньютона в этом случае запишется в форме (уравнение Эйлера): dv/dt f– p, 10.1) где – плотность жидкости, p – давление, f dF/dV – объёмная плотность сил. Это уравнение аналитически можно решить только в некоторых частных слу- чаях. Поэтому для описания движения жидкости применяют часто другой под- ход. В каждой точке пространства определяют скорость частицы проходящей её в данный момент времени. Соединяем точки линиями, касательная к кото- рым в каждой точке параллельна скорости. Эти линии будем называть линия- ми тока. Если линии тока не меняются со временем, то течение называется ламинарным. Для линии тока, при отсутствии трения (идеальная жидкость), можно записать закон сохранения энергии (уравнение Бернули): v 2 /2 gh p const. 10.2) Можно записать так же закон сохранения массы который в случае несжи- маемой жидкости запишется в виде: vS const, где S площадь сечения перпен- дикулярного линиям тока. В случае стационарного течения линии тока совпадают с траекторией движения частиц и эти два подхода эквивалентны. Сила трения в жидкости пропорциональна градиенту скорости и площа- ди соприкасающихся слоев. Коэффициент пропорциональности называется вязкостью жидкости. Ясно, что характер течения жидкости может зависеть от скорости v и плотности жидкости, её вязкости и размеров трубы r. Из этих параметров можно составить одну безразмерную величину (число Рейнольдса) Re vr/ (10.3) Согласно -теореме, любая физическая величина, определяемая движени- ем жидкости, будет находится с точностью до функции от числа Рейнольдса. Тогда число Рейнольдса полностью определяет характер течения жидкости. Сила сопротивления движению тела в жидкости, из теории размерности, должна определяться формулой F rvf(Re). При малых числах Рейнольдса функцию f(Re)можно считать постоянной зависящей только от формы тела. Для шара это число равно 6 69 10.2 Примеры решения задач гидродинамики Задача 1.343 На горизонтальном дне широкого сосуда с идеальной жидкостью имеется круглое отверстие радиуса R 1 , а над ним укреплен круглый закрытый цилиндр радиуса R 2 R 1 . Зазор между цилиндром и дном сосуда очень мал, плотность жидкости . Найти статическое давление жидкости в зазоре как функцию рас- стояния r от оси отверстия и цилиндра, если высота слоя жидкости равна h. Решение. Ясно, что в этом случае линии тока будут начинаться у поверх- ности жидкости и в зазоре будут направлены вдоль радиусов. Запишем уравне- ние Бернулли для линии тока и условие непрерывности для течения жидкости в зазоре: 2 0 1 1 , 2 ( )2 ( )2 , v r p gh p r v R R l v r rl здесь l – толщина слоя, p 0 – атмосферное давление. Заметим, что при r R 1 дав- ление равно p 0 . Это условие позволяет из уравнения Бернулли получить v(R 1 ) 2gh . Из уравнения непрерывности находим v(r) и подставив её в урав- нение Бернулли получаем искомое выражение: p p 0 gh(1–(R 1 /r) 2 ). 70 Раздел 11. Релятивистская механика 11.1 Некоторые понятия и законы релятивистской физики Релятивистская механика обобщает законы механики на случай движений со скоростями близкими к скорости света с. Основой релятивистской механики является принцип относительности, который утверждает, что все физиче- ские законы должны быть одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта (принцип относительности Галилея утверждал это применительно только к ме- ханическим законам). Для согласования данных наблюдений в разных ИСО служат преобразо- вания Лоренца, которые заменяют преобразования Галилея. Если система от- счёта K движется с постоянной скоростью V, направленной вдоль оси x, отно- сительно системы отсчёта K и направление осей координат параллельно то: 2 2 2 , , , 1 1 x Vt t xV c x y y z z t V c V c (11.1) Из этих уравнений вытекают наблюдаемые сокращение длины (вдоль на- правления движения) и замедление часов системы отсчёта K’, движущейся от- носительно нас со скоростью V. 2 0 0 2 1 , 1 t l l V c t V c (11.2) Здесь l 0 и t 0 длина и время в системе отсчёта K’. При решении задач часто бывает полезна следующая инвариантная (не меняющаяся в различных системах отсчёта) величина: 2 2 2 2 12 12 12 s c t l , (11.3) где t 12 время, а l 12 расстояние между двумя событиями. Продифференцировав уравнение (11.1) по t получаем формулы для пре- образования скорости: 2 , , 2 2 1 , 1 1 y z x x y z x x v V c v V v v v V c v V c (11.4) Уравнение динамики частицы записывается, как и раньше в виде: dp/dt F, где в качестве релятивистского импульса следует понимать выражение: 2 1 r m m v c v p v (11.5) m r называют релятивистской массой. Уравнение движения получается очень сложным и может быть проинтег- рировано только для небольшого класса задач. 71 Полная энергия частицы записывается в виде: E m r c 2 (11.6) Кинетическая энергия равна T E–mc 2 (11.7) Часто при решении задач бывает полезно следующее инвариантное соот- ношение, включающее импульс и энергию частицы: E 2 –p 2 c 2 m 2 c 4 inv (11.8) Решая задачи этого раздела необходимо прежде всего уяснить, какие ве- личины в какой системе отсчёта записаны (собственные значения длины, мас- сы, времени даны для системы отсчёта движущейся вместе с телом). Многие задачи решаются проще при применении инвариантных соотношений (11.3), (11.8). Надо помнить, что понятие одновременности событий относительно. 11.2 Примеры решения задач релятивистской механики Задача 1.370 В К–системе отсчёта мюон, движущийся со скоростью v, пролетел от мес- та своего рождения до точки распада расстояние l. Определить: а) собственное время жизни мюона; б) расстояние, которое пролетел мюон в К– системе от- счёта с “его точки зрения”. Решение.В К–системе отсчёта время жизни мюона будет равно l/v. Из-за релятивистского замедления времени, эта величина будет больше собственного времени жизни. Применяя формулу (11.2), находим собственное время жизни мюона: 2 1 l V c v Это же выражение можно было получить из формулы (11.3). В системе К время между событиями рождения и гибели мюона равно l/v, расстояние – l. В собственной системе отсчёта мюон покоится, поэтому время равно , расстоя- ние – 0. Подставим эти значения в формулу (11.3): c 2 (l/v) 2 –l 2 c 2 2 Откуда получим то же значение Система отсчёта К движется относительно мюона со скоростью –v. Из формулы (11.2) получаем, что расстояние в l системе отсчёта К, в системе от- счёта мюона сократится до 2 1 l l V c Задача 1.402 Частица массой m в момент времени t 0 начинает двигаться под действи- ем постоянной силы F. Найти скорость частицы и пройденный ею путь в зави- симости от времени t. 72 Решение. Выберем ось x системы отсчёта в направлении действия силы F. Тогда в направлениях y и z движения не будет и полная скорость будет равна скорости вдоль оси x. (Почему ?) Запишем уравнение движения вдоль оси x: x dp F dt Проинтегрируем это уравнение: p x Ft. Подставив вместо импульса его ре- лятивистское значение и выразив v x получим: 2 2 2 2 x v v Fct m c F t Проанализируем это выражение. При малых t получаем v Ft/m, что совпа- дает с решением уравнения Ньютона. При t , v c, так как скорость тела не может быть больше c. Для того, что бы найти x, надо это выражение проинтег- рировать по t. Получим 2 2 2 2 2 x mc F c t mc F При малых t, x Ft 2 /2m. Задача 1.410 Какова должна быть кинетическая энергия протона, налетающего на дру- гой, покоящийся протон, чтобы их суммарная кинетическая энергия в системе центра масс была такая же, как у двух протонов, движущихся навстречу друг другу с кинетическими энергиями T 25 Гэв? Решение. Для решения этой задачи воспользуемся формулой (11.8). Для системы двух протонов движущихся навстречу друг другу: W 2 (2·(T mc 2 )) 2 Для протона, налетающего на другой, покоящийся протон: W 2 (mc 2 (T 1 mc 2 )) 2 –p 2 c 2 Импульс протона найдём, используя формулу (11.8) для одного протона: (T 1 mc 2 ) 2 –p 2 c 2 m 2 c 4. Решая полученную систему найдём: T 1 4T 2T 2 /mc 2 1,410 3 Гэв. Видно, что энергия значительно возрастает (по квадратичному закону, ес- ли T mc 2 ). Т.к. мощности современных ускорителей подошли к техническому преде- лу, усилия ученых направлены на развитие ускорителей на встречных пучках. 73 Оглавление Какую цель преследует это пособие? ................................................................ 1 Структура и содержание пособия ...................................................................... 3 Несколько советов общего характера к решению задач по физике ........... 4 Раздел 1. Минимальные сведения по математике, необходимые для решения задач по курсу механики .......................................................................................... 10 1.1 Векторы и действия над ними ....................................................................... 10 Длина (модуль) вектора .................................................................................... 10 Векторная сумма А В....................................................................................... 10 Произведение вектора А на скаляр s .............................................................. 10 Вычитание векторов А–В ................................................................................. 11 Скалярное произведение А В .......................................................................... 11 Свойства скалярного произведения. ............................................................... 11 Выражение скалярного произведения в прямоугольных декартовых координатах. ....................................................................................................... 11 Проекция вектора A на направление s ............................................................ 11 Угол между двумя векторами .......................................................................... 11 Векторное произведение А В ......................................................................... 11 Свойства векторного произведения. ............................................................... 12 Выражение векторного произведения в прямоугольных декартовых координатах. ....................................................................................................... 12 Смешанное (векторно-скалярное) произведение. ......................................... 12 Произведения, содержащие более двух векторов. ........................................ 12 Решение некоторых векторных уравнений .................................................... 12 1.2 Дифференцирование скалярных и векторных функций ............................. 13 Производные часто встречающихся функций ............................................... 13 Гиперболические функции .............................................................................. 13 Обратные гиперболические функции ............................................................. 13 Правила дифференцирования векторных функций скалярного аргумента. ............................................................................................................................. 14 Дифференцирование вектора в прямоугольных декартовых координатах. ............................................................................................................................. 14 1.3 Интегрирование элементарных функций. Среднее значение физической величины ................................................................................................................ 15 Неопределённые интегралы элементарных функций ................................... 15 Свойства интегралов ......................................................................................... 16 Интегрирование подстановкой (способ замены переменной). .................... 16 Интегрирование по частям. .............................................................................. 16 Среднее значение .............................................................................................. 17 74 1.4 Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого и второго порядка ..................................................................................................... 17 Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. ............................................................................................................................. 17 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. .............................................................................................. 19 Раздел 2. Минимальные сведения по теории размерностей ................................ 20 2.1 Как устроена физическая формула? .............................................................. 20 2.2 Применение -теоремы. Переход к безразмерным переменным. ............. 20 2.3 Примеры задач на применение теории размерностей ................................ 22 Раздел 3. Кинематика ................................................................................................ 24 3.1 Основные понятия и формулы кинематики ................................................. 24 Преобразование координат скоростей и ускорений при переходе к другой системе отсчёта ................................................................................................. 27 3.2 Основные задачи кинематики ........................................................................ 27 3.3 Примеры решения задач кинематики ........................................................... 28 Задача 1.25. ........................................................................................................ 28 Задача 1.38. ........................................................................................................ 29 Задача 1.58. ........................................................................................................ 31 Раздел 4. Динамика материальной точки ............................................................... 34 4.1 Основные уравнения динамики материальной точки. Свойства сил ........ 34 4.2 Динамический метод решения задач механики ......................................... 35 4.3 Примеры решения задач динамики ............................................................... 36 Задача 1.67. ........................................................................................................ 36 Задача 1.77 ......................................................................................................... 38 Задача 1.96 ......................................................................................................... 40 |