Методические указания к решению задач по курсу "механика" Казань 2 0 1 2 методические указания к решению задач по курсу "
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
Раздел 5. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются наи- более общими физическими законами. Они имеют глубокое происхождение, связанное с фундаментальными свойствами пространства и времени – одно- родностью и изотропностью. А именно: закон сохранения энергии связан с од- нородностью времени, закон сохранения импульса – с однородностью про- странства, закон сохранения момента импульса с изотропностью простран- ства. Вследствие этого использование их не ограничивается рамками класси- ческой механики, они работают и при описании абсолютно всех известных яв- лений от космических до квантовых. Важность законов сохранения, как инструмента теоретического исследо- вания, обусловлена следующими обстоятельствами: 1. Законы сохранения не зависят ни от траекторий частиц, ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют получить ряд весьма общих и суще- ственных заключений о свойствах различных механических процессов, не вни- кая в их детальное рассмотрение с помощью уравнений движения. Если, на- пример, выясняется, что некий анализируемый процесс противоречит законам сохранения, то можно утверждать: этот процесс невозможен, и бессмысленно пытаться его осуществить. 2. Независимость законов сохранения от характера действующих сил по- зволяет использовать их даже в том случае, когда силы неизвестны. Так дело обстоит, например, в области микромира, где понятия материальной точки, а следовательно, и силы бессмысленны. Такая же ситуация имеет место при ана- лизе систем большого числа частиц, когда технически невозможно определить одновременно координаты частиц, и поэтому – рассчитать действующие между частицами силы. Законы сохранения являются в этих случаях единственным инструментом теоретического исследования. 3. Даже в случае, если все силы известны и использование законов сохра- нения не дает новой по сравнению с уравнением движения (вторым законом Ньютона) информации, их применение может существенно упростить тео- ретические выкладки. Исходя из сказанного, можно рекомендовать, при решении любых физиче- ских задач использовать, прежде всего, один за другим, все законы сохранения, и только после того, когда станет ясно, что этого недостаточно, перехо- дить к записи и анализу уравнений движения. Здесь рассмотрено применение законов сохранения в рамках классической механики. 45 5.1 Основные определения, формулы и формулировки законов сохранения. Элементарная работа силы F на перемещении материальной точки dr равна скалярному произведению: A Fdr. (5.1) Символ принято использовать для обозначения бесконечно малых изме- нений величин, зависящих не только от состояния системы, но и от способа, которым система была переведена в данное состояние. Работа некоторой силы как раз такая величина – она зависит не только от начального и конечного по- ложений материальной точки, но и от траектории движения последней. Счита- ется работа силы так. Траектория движения материальной точки разбивается на малые прямые участки dr i , каждый из которых мал настолько, что в пределах его силу можно считать постоянной по величине и направлению. Работа, по определению, равна сумме: A S A i SFdr i . В пределе бесконечно малых dr i сумма может быть заменена интегралом: 2 1 A d F r (5.2) Цифрами 1 и 2 обозначены первое (начальное) и второе (конечное) поло- жения материальной точки. В каждом конкретном случае в качестве пределов интегрирования должны стоять пределы изменения аргумента подынтеграль- ной функции. Например, если сила и элементарное перемещение будут выра- жены как функции времени, в качестве нижнего предела необходимо поставить момент времени начала, а в качестве верхнего – конца движения. Мощностью называют работу, совершаемую в единицу времени A d N dt dt r F Fv (5.3) Разделение сил по классам: Потенциальные или консервативные силы – те, работа которых не зависит от траектории движения материальной точки и, значит, может быть выра- жена через изменение некоторой функции, зависящей только от координат. Если материальная точка m в любой точке пространства испытывает на себе действие некоторой потенциальной силы, создаваемой телом B, говорят, что точка m находится в потенциальном поле сил, создаваемом телом B. Гово- рят, что в этом поле точка m обладает потенциальной энергией. По опреде- лению, приращение потенциальной энергии материальной точки, вызванное бесконечно малым перемещением в поле, равно работе сил поля взятой, с обратным знаком: dU – A –Fdr. (5.4) 46 Отсюда следует связь между потенциальной энергией частицы в потенциаль- ном силовом поле и силой, действующей на частицу: x y z U U U gradU U x y z F e e e (5.5) где е i – орты декартовой системы координат. Консервативными являются все центральные силы, сила упругости, сила тяжести. Диссипативные силы – те, полная работа которых всегда отрицательна. Пример диссипативных сил – силы трения. Под полной работой диссипа- тивных сил здесь понимается сумма работ диссипативных сил, совершае- мых над всеми телами системы. Такое понимание позволяет избежать недо- разумений, обсуждаемых при решении задачи 1. (см. ниже) Гироскопические силы – те, работа которых равна всегда нулю. Очевидно, эти силы перпендикулярны скорости. Таких сил всего две: сила Лоренца и Кориолисова сила инерции. Кинетическая энергия материальной точки – функция, изменение кото- рой равно полной работе всех сил, действующих на материальную точку:. 2 2 mv T (5.6) Моментом импульса материальной точки относительно точки О назы- вают величину L r p , (5.7) где r – радиус вектор материальной точки относительно О, p – импульс мате- риальной точки. Проекция L на некоторую ось z, проходящую через точку О и характеризующуюся ортом e z , называется моментом импульса относительно оси z: L z r pe z p e z r e z rp, (5.8) Моментом силы относительно точки О, называют величину M r F , (5.9) где r – радиус вектор точки приложения силы F относительно О. Проекция M на некоторую ось z, проходящую через точку О и характеризующуюся ортом e z , называется моментом силы относительно оси z: M z r Fe z F e z r e z rF, (5.10) Из законов Ньютона следует уравнение моментов L M (5.11) При использовании законов сохранения необходимо чётко различать по- нятия замкнутой системы и консервативной системы. 47 Замкнутойназывают механическую систему, ни на одно тело которой не действуют внешние силы. Консервативной называют механическую систему, в которой все внут- ренние силы консервативны, а внешние консервативны и стационарны. Естественно, эти понятия являются идеализациями, но искусство физика– исследователя как раз и состоит в умении увидеть причины, по которым ту или иную реальную систему можно считать замкнутой или консервативной . Закон сохранения импульса. В инерциальной системе отсчёта импульс замкнутой системы остаётся постоянным.Математически это утверждение можно выразить одним из следующих способов: i = const P p (для замкнутой системы), (5.12) или i i = out d d dt dt P p f F , (5.13) где P – полный импульс системы материальных точек, каждая из которых об- ладает некоторым импульсом p i , f i – равнодействующие всех сил действующих на i-ую точку, F out – равнодействующая всех внешних сил, действующих на ма- териальные точки системы. При этом полагают, что и P и F out есть векторы, приложенные к так называемому центру масс (центру инерции) системы, т.е. точке, характеризуемой вектором i i C i m m r r , (5.14) где m i – массы, а r i – радиус-векторы материальных точек системы. Поэтому уравнение (5.13) часто называют теоремой о движении центра масс. Нетрудно сообразить, что полный импульс системы в системе отсчёта, связанной с центром масс (Ц–система) равен нулю. Из (5.13) и условия непрерывности функций, обладающих физическим смыслом, следует, что если небольшая внешняя сила действует малое время, систему можно считать замкнутой в смысле закона сохранения импульса. Очевидно также, что закон сохранения импульса может выполняться для от- дельных (перпендикулярных F out ) компонент вектора импульса. Из сказанного выше ясно, что простота оперирования с законом сохране- ния импульса существенно зависит от выбора системы координат. Легко получить из (5.13) уравнение для движения тела переменной мас- сы М (уравнение Мещерского): = out M M v F u . (5.15) Здесь u – скорость отделяющихся (или присоединяющихся) частей относитель- но тела. 48 Закон сохранения энергии. В инерциальной системе отсчёта полная ме- ханическая энергия замкнутой консервативной системы материальных точек остаётся постоянной. E T U const (для замкнутой консервативной системы), (5.16) или dE d(T U) A out A in,dis , (5.17) где 2 2 i i i m v T – кинетическая , U – потенциальная энергии системы, A out – работа всех внешних сил, A in,dis – работа внутренних диссипативных сил. Закон сохранения момента импульса. В инерциальной системе отсчёта полный момент импульса замкнутой системы материальных точек остаётся постоянным. i i i const L r p (для замкнутой системы), (5.18) или i i i i out i i d d dt dt L r p r f M , (5.19) где M out – момент только внешних сил. Так же как и закон сохранения импульса, закон сохранения момента им- пульса может выполняться только для отдельных компонент, т.е. моментов им- пульса относительно осей системы координат. 5.2 Примеры решения задач с использованием законов сохранения Задача 1.113 Замкнутая цепочка массы m 0.36 кг соединена нитью с концом центробеж- ной машины (см.рис.) и вращается с постоянной угловой скоростью 35 рад/с. При этом нить составляет угол 45 o с вертикалью. Найти расстояние r от центра масс цепочки до оси вращения, а также силу натяжения нити. Физический этап решения. Физическая система – цепочка, не замкнута. Решить задачу динамическим ме- тодом нельзя, т.к. неизвестны силы между звеньями це- почки. Единственный путь – использование законов со- хранения. Законы сохранения энергии и момента им- пульса бесполезны, поскольку неизвестна форма цепоч- ки и, следовательно, – момент инерции. Попытаемся ис- пользовать формулу (5.13). Выберем ИСО, связанную с точкой подвеса нити. Внешних по отношению к цепочке сил две – сила тяжести и сила натяжения нити. Так как угол не изменяется, центр инерции не должен двигаться в вертикальном направлении. Значит, вер- тикальная составляющая силы натяжения Тcos компенсируется силой тяже- сти. Горизонтальная составляющая силы натяжения обеспечивает центростре- мительное ускорение центра масс. Т mg 49 Математический этап решения. По горизонтальной составляющей силы натяжения восстановим её значение 5Н cos mg T Центростремительное ускорение по определению равно 2 r, тогда 2 tg m r mg Отсюда 2 tg 0,8м g r Задача 1.118 Плот массы М с находящимся на нём человеком массы m неподвижно сто- ит на поверхности пруда. Относительно плота человек совершает перемещение l’ со скоростью v’(t) и останавливается. Пренебрегая сопротивлением воды, найти: а) вектор перемещение плота l относительно берега; б) горизонтальную составляющую F силы, с которой человек действо- вал на плот в процессе движения. Физический этап решения. Из условия очевидно, что относительное пере- мещение человека и плота происходит за счёт внутренних сил системы человек плот: внешние силы (силы тяжести и сила Архимеда) перпендикулярны пере- мещениям и, следовательно, не меняют компоненту импульса системы в гори- зонтальном направлении. Импульс системы до перемещения человека был ра- вен нулю. Отсюда можно определить скорость и перемещение плота. Зная ско- рость плота, найдём искомую силу взаимодействия. Математический этап решения. Итак, закон сохранения импульса mv МV 0, где v и V скорости человека и плота относительно берега. Очевидно кинемати- ческое соотношение: v v’ V. Из этих уравнений m m M v V Умножив обе части последнего уравнения на dt и проинтегрировав его по- лучим: m m M l l Продифференцировав выражение для V и умножив его на М, получим: Mm m M v F Анализ решения. Обратите внимание на то, что перемещение плота не за- висит от силы, с которой человек действовал на плот, и времени действия этой силы. Как вы думаете, почему не поставлена аналогичная задача для человека стоящего, например, на телеге? 50 Задача 1.122 Пушка массы М начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом р в го- ризонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаря- да по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела t. Физический этап решения. Эту задачу невозможно решить, используя ди- намический подход: неизвестно как взаимодействуют снаряд и пушка во время выстрела, чему равна в это время сила реакции опоры. При использовании за- кона сохранения импульса сила взаимодействия пушки и снаряда, как внутрен- няя сила системы пушка снаряд в расчёт не принимается. Для этой системы тел, выбрав одну из осей системы координат в направлении по наклонной плоскости вниз, удаётся исключить из рассмотрения и силу реакции опоры. Импульс пушки перед выстрелом найдём из закона сохранения энергии: кине- тическая энергия перед выстрелом будет равна работе внешних сил. Т.к. сила реакции опоры во время скольжения перпендикулярна скорости, работы она не совершает. Следовательно, кинетическая энергия системы пушка снаряд равна работе силы тяжести. Математический этап решения. Итак, кинетическая энергия пушки после соскальзывания на расстояние l 2 sin 2 MV Mgl Из (5.13) для проекции импульса на наклонную плоскость получим: cos cos p MV Mg Решая систему двух уравнений относительно t, получим cos 2 sin cos p M gl Mg Анализ решения. Попытайтесь обобщить задачу на случай, когда импульс снаряда направлен под известным произвольным углом к горизонтали. Задача 1.156 Тело массы m начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу F, которую изменяют с высотой подъёма y по закону F 2(ay–1)mg, где a – положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенци- альной энергии тела в поле силы тяжести Земли на первой половине пути подъёма. Физический этап решения. Для того, чтобы найти искомую величину необ- ходимо определить полувысоту подъёма. Здесь поможет условие, что в низшей и высшей точках подъёма кинетическая энергия равна нулю. Другими словами, ра- бота силы F и силы тяжести на всём пути подъёма должна быть равна нулю. Математический этап решения. Направим ось y вертикально вверх. Мысленно разобьём траекторию, по которой поднимается тело на элементы dr. 51 Каждый такой шаг меняет координату y тела на dy. Полная работа силы F и си- лы тяжести на всём пути подъёма: 0 0 1 2 1 0 h h A m d mg ay dy mgh ah F g r Отсюда h 1/a. Тогда, искомая работа 2 2 1 0 0 2 1 3 4 h h A d mg ay dy mgh a F r Анализ решения. Придумайте реальную ситуацию, которую моделирует эта задача. Задача 1.205 Небольшой шарик подвесили к точке О на лёгкой нити длиной l. Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол от вертикали, и со- общили ему скорость в горизонтальном направлении перпендикулярно к вер- тикальной плоскости, в которой расположена нить. Какую начальную скорость надо сообщить шарику, чтобы в процессе движения максимальный угол откло- нения от вертикали оказался равным /2? Физический этап решения. Физическая система – шарик не замкнута. Од- нако сил всего две: сила тяжести и сила натяжения нити. Их работы рассчиты- ваются легко. Сила натяжения перпендикулярна скорости движения и работы не совершает. Значит, изменение кинетической энергии шарика определяется только работой силы тяжести. Эта работа связана с изменением высоты подъё- ма. Моменты обеих сил относительно точки подвеса направлены горизонталь- но (покажите), значит, вертикальная компонента момента импульса (момент импульса относительно вертикальной оси) не изменяется. Можно попробовать использовать законы сохранения. Очевидно, что в высшей точке подъёма ша- рик должен вращаться вокруг вертикальной оси проходящей через точку под- веса. Т.к. он уже перестанет подниматься и ещё не начнёт падать (высшая точ- ка) его импульс будет направлен в горизонтальном направлении. Так же по ус- ловию задачи направлен импульс в начальный момент времени. Эти обстоя- тельства упрощают расчёт момента импульса шарика относительно вертикаль- ной оси в начальной точке и в высшей точке подъёма. Математический этап решения. Итак, имеем два уравнения: закон сохранения момента импульса относительно вертикальной оси 0 1 sin mv l mv l , и выражение для изменения кинетической энергии 2 2 0 1 cos 2 2 mv mv mgh , где v 0 и v 1 – скорости шарика в начале и в конце пути соответственно. Отсюда 0 2 cos gl v m |