Методические указания к решению задач по курсу "механика" Казань 2 0 1 2 методические указания к решению задач по курсу "
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
Раздел 6. Динамика твёрдого тела Абсолютно твёрдое тело (АТТ) представляет собой модель реальных тел, ко- торая предполагает неизменными расстояния между составными частями тела. Отсюда следует, что решение задач по динамике АТТ можно разбить на два этапа: 1. определение параметров движения центра масс. При этом все силы не- зависимо от точки их приложения переносятся в центр масс, а тело счи- тается материальной точкой с той же массой, что у тела и имеющей ко- ординаты центра масс; 2. определение параметров вращения вокруг центра масс (оси проходя- щей через центр масс) или некоторой другой точки (оси) вращения не- подвижной в системе отсчёта, связанной с центром масс. О динамике материальной точки много говорилось выше, поэтому здесь мы обсудим лишь вопросы, касающиеся динамики вращательного движения. Зачастую наиболее простое решение задач получается при использовании законов сохранения. Как и при решении задач по динамике материальной точки, удобство ра- боты зависит от удачного выбора системы отсчёта. 6.1 Основные определения и законы динамики вращательного движения абсолютно твёрдого тела Вращение АТТ относительно выбранной точки О характеризуется момен- том импульса: dm L r v , (6.1) где r и v – радиус-вектор относительно точки О и скорость бесконечно малой части тела массой dm, суммирование ведётся по всему телу. Когда речь идет о вращении вокруг некоторой неподвижной оси x и точка О лежит на этой оси удобно пользоваться проекцией момента импульса на ось вращения – момен- том импульса относительно оси x: 2 x x x L dm r dm I e r r w , (6.2) где – угловая скорость вращения, e x – орт в направлении оси x, r - вектор, проведённый по кратчайшему расстоянию от оси вращения к элементу dm, I x - по определению, момент инерции относительно оси вращения, является мерой инертности тела по отношению к вращению относительно оси x. Теорема Штейнера. Момент инерции твёрдого тела I x относительно про- извольной оси равен моменту инерции I o этого тела относительно оси парал- лельной данной и проходящей через центр инерции, плюс произведение массы тела m на квадрат расстояния между осями a: I x I o ma 2 (6.3) 53 Моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы от- носительно осей, проходящих через центры масс, приведены в таблице 6.1. Таблица 6.1. Тело Ось Момент инерции Шар радиуса r любая ось 2 5 2 mr Диск радиуса r ось перпендикулярная плоско- сти диска 1 2 2 mr Цилиндр радиуса r и высотой l ось перпендикулярная оси симметрии 1 4 1 12 2 2 mr ml Цилиндр радиуса r и высотой l ось симметрии 1 2 2 mr Тонкий стержень дли- ной l ось перпендикулярная стержню 1 12 2 ml Куб с длиной ребра l любая ось 1 6 2 ml В самом общем случае, связь между моментом импульса и угловой часто- той вращения описывается выражением: ˆ L Iw (6.4) где ˆI – тензор момента инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения АТТ (5.11) в случае неизменного тензора момента инерции: ˆ out L I M , (6.5) где – угловое ускорение, M out – момент внешних сил относительно оси вра- щения. Обычно, при решении задач на первом курсе требуется анализировать временное поведение момента импульса относительно некоторой неподвижной оси. Как следствие уравнения (6.5) получим: L x I x M x (6.6) где L x – как и прежде момент импульса относительно оси вращения. Полезно помнить (и самостоятельно получить) некоторые свойства мо- ментов сил в Ц–системе: В Ц–системе суммарный момент всех внешних сил, включая силы инерции, не зависит от выбора точки, относительно которой он определяется. В Ц–системе суммарный момент сил инерции относительно центра масс равен нулю. Кинетическая энергия вращающегося АТT относительно неподвижной оси: 54 2 2 2 2 x v dm I T (6.7) Работа внешних сил при повороте АТT относительно неподвижной оси на конечный угол : 0 out out A d M (6.8) Связь между угловой скоростью ’ прецессии гироскопа, его моментом импульса L и моментом внешних сил M out : ’ L M out (6.9) 6.2 Примеры решения задач динамики твёрдого тела Задача 1.256. Тонкая однородная пластинка массы m 0.6 кг имеет форму равнобедрен- ного треугольника. Найти её момент инерции относительно оси, совпадающей с одним из катетов, длина которого a 200 мм. Решение. Для решения воспользуемся определением момента инерции (6.2). Для расчёта величины 2 I r dm удобно разбивать тело на участки находящиеся на одинако- вом расстоянии от оси вращения. В нашем случае это прямые полоски (см.рис.), каждая из которых имеет толщину dr , длину l a–r, площадь ds (a–r)dr и массу dm mds/S 2mds/a 2 Тогда искомая величина 2 2 2 2 2 0 0 2 4.0кг×м 6 m a m ma I r dm r a r dr a Задача 1.260 Однородный диск радиуса R имеет круглый вырез (см. рис.) Масса оставшейся (заштрихованной) части диска равна m . Найти момент инерции такого диска относительно оси перпендикулярной к плоскости диска и проходящей : a) через точку О; б) через его центр масс. Физический этап решения. Если решать задачу в лоб она сведётся к вычислению громоздкого интеграла эллиптического типа. Упроще- ние возможно, так как момент инерции величина аддитивная: т.е. изменение момента инерции системы в случае добавления к ней новых частей равно мо- менту инерции этих частей. Тогда представим наше тело как бы состоящим из двух сплошных дисков: один большой радиуса R и массой m m 0 , другой ма- ленький с радиусом (см.рис.) R/2 и массой m 0 –m/3 (получите), расположенный r dr О 55 на месте выреза. Таким образом, мы получим систему тел, целиком эквива- лентную описанной в задаче. Решение. Для большого и малого дисков относительно перпендикулярных осей проходящих через их центры моменты инерции равны 2 2 1 0 2 0 1 1 , 2 8 I m m R I m R С учётом теоремы Штейнера для момента инерции относительно оси, про- ходящей через точку О 2 2 2 2 1 2 0 0 0 1 1 3 13 4 2 8 24 I I I m R m m R m R mR Задача 1.281 Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны I 1 и I 2 , а угловые скорости – 1 и 2 . После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое вре- мя вращаться как единое целое. Найти: а) установившуюся угловую скорость вращения дисков ; б) работу A, которую при этом совершили силы трения. Физический этап решения. Внешней по отношению к системе двух дисков является сила тяжести. Она не изменяет полный момент импульса и кинетиче- скую энергию, связанную с вращением, т.к. направлена вдоль оси вращения. Нас не интересует, как с течением времени система переходила к состоянию, когда оба диска стали вращаться с одинаковой скоростью, поэтому можно ис- пользовать законы сохранения энергии и момента импульса. Изменение кине- тической энергии в данном случае должно быть равно работе диссипативной силы – силы трения (см. формулу 5.17). Решение. Закон сохранения момента импульса дает уравнение 1 1 2 2 1 2 I I I I , закон сохранения энергии – 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 I I I I A Отсюда 1 1 2 2 1 2 I I I I и 2 1 2 1 2 1 2 2 I I A I I Анализ решения. Обратите внимание на полную формальную схожесть со случаем абсолютно неупругого удара двух материальных точек. 56 Задача 1.286 Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол . Найти ускорение центра шара и значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет. Физический этап решения. Реализуем схему решения задач динамики вращательного движения, описанную в начале раздела. Определим силы и точ- ки их приложения. Выберем направления осей системы координат и положи- тельное направление угла поворота (см. рис.). Напишем уравнение движения центра масс и уравнение динамики вра- щательного движения (6.6) относительно оси, проходящей через центр масс. Т.к. скольжения нет должна существовать кинематическая связь между угловым и линейным ускорениями. Математический этап решения. Уравнение движения центра масс в проекции на ось x (см. рис.) ma mgsin .–F тр Уравнение вращательной динамики относительно оси z, проходящей через центр масс шара и перпендикулярной плоскости рисунка I rF тр Если нет проскальзывания, a r Записанных уравнений достаточно чтобы ответить на вопросы, сформули- рованные в условии. Решите полученную систему уравнений самостоятельно. Анализ решения. Обратите внимание: как и в случае падения материальной точки по наклонной плоскости, ускорение не зависит от массы и размеров шара. Подумайте, почему в случае качения это ускорение меньше, чем в случае сколь- жения? Рассмотрите такую ситуацию. С наклонной шероховатой абсолютно твёр- дой плоскости одновременно начинают двигаться три тела одинаковой массы из одинакового материала: шар, брусок и тележка. Что будет двигаться быстрее? Задача 1.278 Вертикально расположенный однородный стержень массы M и длины l может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня по- пала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы m, в результате чего стер- жень отклонился на угол . Считая m M, найти: а) скорость летевшей пули; б) приращение импульса системы «пуля стержень» за время удара; какова при- чина изменения этого импульса; в) на каком расстояние x от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы не изменился. Предварительный анализ. Зададимся более общей задачей: пуля попадает в стержень на расстоянии x от его верхнего конца. Физический этап решения. Для решения используем законы сохранения. Всю эволюцию системы удобно разбить на два этапа: 1) пуля ударяет в стер- R F g a r x m тр 57 жень 2) стержень с пулей отклоняется на угол . Очевидно, на первом этапе нельзя использовать закон сохранения энергии (удар не упругий) и закон со- хранения импульса (возникает сила реакции оси вращения). Закон сохранения момента импульса относительно оси вращения даст уравнение mvx I , где I Ml 2 /3 – момент инерции стержня относительно его конца, – угловая частота вращения сразу после удара. Для второго этапа, из закона сохранения энергии стержня в поле силы тяжести получим I 2 /2 Mgy lsin 2 /2, где Mgy – работа силы тяжести при подъёме центра тяжести стержня на высоту y. Использование в уравнении для энергии той же величины , что и в уравне- нии для момента импульса возможно при условии, что за время удара стержень не отклонился. Из записанных выражений для скорости пули до удара получим 2 sin 2 3 Ml gl v mx Импульс системы пуля стержень за время удара меняется за счёт силы ре- акции оси вращения. 3 2 / 2 1 sin 2 2 3 x Ml gl p M l mv l x Анализ решения. Обратите внимание на то, что при x 2l/3 импульс систе- мы увеличивается. За счёт какой внешней силы? Каково значение этой силы при x 2/3 при x 2/3. Как можно использовать результат задачи на практике? Задача 1.305 Волчок массы m 0,50 кг, ось которого наклонена под углом 30 o к верти- кали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относи- тельно оси его симметрии I 2,0 гм 2 , угловая скорость вращения вокруг этой оси 350 рад/с, расстояние от точки опоры до центра масс волчка l 10 см. Найти: а) угловую скорость прецессии волчка ’; б) модуль и направление горизонтальной составляющей силы реакции F, действующей на волчок в точке опоры. Решение. Для нахождения ‘ можно используем уравнение (6.9). sin sin I mgl Отсюда 0,7рад/c mgl I Центростремительное ускорение центра масс волчка 2 ц sin a l Ему соответствует сила 2 ц sin 10мH F ma m l 58 Раздел 7. Закон всемирного тяготения Решение задач с использованием закона всемирного тяготения не требует освоения новых технических приёмов кроме тех, которые были описаны в пре- дыдущих разделах, зато является хорошим поводом закрепить полученные на- выки. Как и всегда, сначала пытайтесь использовать законы сохранения, урав- нения динамики, кинематические соотношения. Некоторые задачи решаются проще, если использовать эмпирические законы Кеплера. 7.1 Некоторые законы классической теории тяготения Законы Кеплера: 1. Все планеты солнечной системы движутся по эллипсам в одном из фокусов которых находится Солнце. 2. Радиус-вектор планеты, определяющий её положение относительно Солнца за равные промежутки времени описывает сектора равной площади. 3. Квадраты периодов обращения планет относятся между собой как кубы больших полуосей планетарных орбит: T 1 2 /T 2 2 a 1 3 /a 2 3 , или a 3 /T 2 K, где K - постоянная Кеплера. Эти законы являются следствиями законов сохранения и закона всемирно- го тяготения Ньютона: Материальные точки с массами m 1 и m 2 , разделённые расстоянием r, притягиваются друг к другу с силой 1 2 2 m m F r , где 4 2 K/M 6,672 10 –11 м 3 /(с 2 кг) – гравитационная постоянная (М–масса Солнца). Такой же формулой описывается взаимодействие двух шаров, если рас- стояние между их центрами не меньше суммы радиусов шаров. Напряжённость (сила, действующая на материальную точку единичной массы) и потенциал (потенциальная энергия материальной точки единичной массы) поля тяготения точечной массы m на расстоянии r: 3 m r G r r , m r r 7.2 Примеры решения задач с использованием закона всемирного тяготения Задача 1.225 Планета А движется по эллиптической орбите вокруг Солнца. В момент, когда она находилась на расстоянии r o от Солнца, её скорость равнялась v o и угол между радиус-вектором планеты и вектором скорости составлял . Найти наибольшее и наименьшее расстояния, на которые удаляется от Солнца эта планета при своём движении. 59 Физический этап решения. Заданные в условии величины скорости, ради- ус-вектора и угла между этими векторами определяют значения полной энер- гии планеты в поле тяготения Солнца и её момент импульса относительно Солнца. Массы Солнца и всех других тел солнечной системы несоизмеримы, поэтому можно полагать, что в солнечной системе находится только планета А. Учитывая, что все другие звёздные системы находятся на больших расстояниях можно считать, что момент импульса планеты А и её полная механическая энергия в поле тяготения Солнца неизменны. В точках максимального и мини- мального удаления от Солнца скорость планеты перпендикулярна её радиус- вектору. Из закона сохранения момента импульса и энергии имеем: 0 0 max min min max sin mr v mr v mr v , 2 2 2 0 min max 0 max min 2 2 2 mv mM mv mM mv mM r r r , где m и М – массы планеты и Солнца соответственно. В итоге получили систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными. Решая её (математический этап), находим: 2 max/ min 0 1 1 2 sin 2 r r , где 2 0 0 r v M Задача 1.232 Однородный шар имеет массу M и радиус R. Найти давление p внутри шара, обусловленное гравитационным сжатием, как функцию расстояния r от его цен- тра. Оценить p в центре Земли, считая, что Земля является однородным шаром. Предварительный анализ задачи. Искомое давление на расстоянии r от центра будет определяться модулем веса столба с единичной площадью осно- вания и высотой (R–r). При решении используем формулу (7.4). Решение. Напряжённость гравитационного поля на расстоянии r’ центра: 3 3 4 ' 4 3 ' ' ' ' 3 r r G r r r , где 3 4 3 M R – плотность материала шара. Искомое давление: 2 2 2 6 3 4 ' ' ' 3 8 R r R r M p dm r dr R r P r G r , где dm – масса бесконечно малой части столбика с единичной площадью осно- вания, находящейся на расстоянии r’ от центра, имеющей высоту dr’. p(0) 1,8·10 6 атм. |