Методические указания по их выполнению. Общие методические указания материал программы дисциплины Техническая механика

• Название: Методические указания по их выполнению. Общие методические указания материал программы дисциплины Техническая механика
• Дата: 05.01.2019
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: TehMeh (1).doc
• Тип: Методические указания; #62543
• страница: 3 из 7

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
К ЗАДАЧАМ 1-10

К решению этих задач следует приступить после изучения тем «Основные понятия и аксиомы статики», «Плоская система сходящихся сил», «Пара сил», «Плоская система произвольно расположенных сил». При этом необходимо усвоить понятия «проекция силы на ось», «момент силы относительно точки», научиться составлять уравнения равновесия для плоской системы сил.

Во всех задачах определению подлежат опорные реакции тела, находящегося в равновесии под действием плоской системы произвольно расположенных сил. Реакции в стержнях направлены вдоль стержней, реакция гибкой связи направлена вдоль связи, реакции плоскости направлены перпендикулярно плоскости. Реакция шарнирно-подвижной опоры направлена по нормали к опорной поверхности шарнира. Реакцию шарнирно-неподвижной опоры принято представлять в виде двух составляющих реакций по осям координат.

Вид применяемой системы уравнений равновесия может быть различным Σ М_А = 0, Σ М_В = 0, Σ X= 0, Σ Y = 0. Три из этих уравнений используются для решения, одно из них – для проверки решения. При составлении уравнений следует помнить, что проекция силы на ось численно равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси ( [1], §7). Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на плечо; плечом силы является перпендикуляр, опущенный из точки, относительно которой берется момент, на линию действия силы. Если при этом сила стремится повернуть тело по часовой стрелке, то ее момент считают положительным, если против часовой стрелки – отрицательным ( [1], §15).

ПРИМЕР 1. Однородная балка, сила тяжести которой равна 2 кН, закреплена в точке А с помощью шарнирно-неподвижной опоры и опирается в точке В на ребро стены (рис. 7а). Найти реакции опор, если АС = 4м, ВС = 1м.

Решение


Рис. 7

На балку действует одна активная сила – сила тяжести. В силу однородности балки сила тяжести приложена в ее середине, т. е. в точке D.

Освободим балку от связей, приложив к ней вместо связей силы реакций ( рис. 7б). В точке А к балке надо приложить неизвестные две взаимно перпендикулярные силы R_Ах и R_Ау. В точке В балка опирается на ребро, следовательно, реакция R_В перпендикулярна балке АС (рис. 7 б).

Сила тяжести вместе с реактивными силами представляет уравновешенную систему сил, произвольно расположенных в плоскости, для которой можно составить три независимых уравнения равновесия: два уравнения проекций и одно уравнение моментов.

Составим уравнения равновесия:

1) Σ F_iх= 0. R_Ах – R_Вcos60^º= 0.

2) Σ F_iy= 0. R_Ау – G + R_В cos 30 ^º=0.

Для составления уравнения моментов в качестве центра моментов может быть выбрана точка плоскости, но для получения более простого уравнения нужно в качестве центра моментов выбрать ту точку, через которую проходит большее число неизвестных сил. 3) где



Из (1)

Из (2)

Для проверки правильности решения воспользуемся уравнением моментов относительно точки D.







Следовательно, задача решена правильно.
К ЗАДАЧАМ 11-20

К решению задач следует приступить после изучения темы « Центр тяжести» ( [1], §§ 23, 24).

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела.

Если тело имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси.

Если тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести находится на их пересечении.

Центр тяжести может лежать и вне тела.

Задачи решаются в следующей последовательности:

1.Составная фигура делится на простейшие геометрические фигуры, положения центра, тяжести которых известны (круг, прямоугольник, треугольник).

2.Выбирают оси координат, относительно которых берутся координаты центров тяжести каждой простейшей фигуры.

3.Вычисляют координаты центра тяжести сложной фигуры по формулам:


где - координаты центров тяжести простейших фигур;

- площади простейших фигур.

Если сечение имеет отверстия, площади отверстий вычитаются.

ПРИМЕР 2. Для тонкой однородной пластины, форма которой и размеры в миллиметрах заданы на рис.8, определить положение центра тяжести.


Рис. 8
Решение
1.Выбираем оси координат так, чтобы фигура была расположена в первом квадранте.

2. Разбиваем фигуру на три части: два прямоугольника I и II и круглое отверстие III.

3. Определяем координаты центров тяжести простейших фигур:

х₁= 25 мм , y₁=15мм,

х₂= 40 мм , y₂=50мм, ( х₂ = 50 – 20/2 = 40 , y₂ = 30 + 40/2 = 50),

х₃= 20 мм , y₃=10мм.

4. Определяем площади составных частей:

А ₁ = 50 ∙ 30 = 1500 мм ² , А ₂ = 20 ∙ 40 = 800 мм ² , А ₃ = 3,14 ∙ 5² /4 = - 19,6 мм ².
Знак «минус» означает, что А ₃ - площадь отверстия.

5. Вычисляем координаты центра тяжести всей фигуры:






6. Покажем положение центра тяжести всей фигуры на чертеже:

х _С = 30,3 мм;y_С = 28,2мм.
К ЗАДАЧАМ 21-50
Приступить к решению этих задач следует после изучения основных положений раздела «Сопротивление материалов» ([1], §§28- 1). Для успешного решения задач необходимо получить четкое представление о методе сечения для определения внутренних силовых факторов, о видах нагружения бруса, напряжениях, условии прочности и видах расчетов на прочность.

В общем случае нагружения тела внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении нагруженного бруса, включают в себя продольную N_z и поперечные силы Q_x и Q_y, а также крутящий М_z и изгибающие моменты М_x , М_y.

Метод сечения складывается из нескольких последовательных действий:

- рассекают тело мысленно плоскостью на две части;

- отбрасывают одну часть;

- заменяют действие отброшенной части внутренними силовыми факторами;

- уравнения равновесия составляют для оставленной части и решают, определяя из них значения и направления внутренних силовых факторов.

Для наглядного изображения распределения внутренних силовых факторов вдоль оси бруса строят диаграммы, называемые эпюрами.

Численное значение внутренних сил, приходящихся на единицу площади поперечного сечения у какой-либо его точки, называется напряжением. Напряжение измеряют в паскалях (1Па=1Н/мм²), кратные единицы – мегапаскаль (1МПа = 10⁶ Па = 1Н/мм²).

С помощью метода сечений определяют значение и знак внутренних силовых факторов во всех случаях по длине бруса, строят их эпюры и отыскивают опасное сечение бруса. Внутренний силовой фактор в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме соответствующих нагрузок, действующих на оставленную для рассмотрения часть бруса.

Установленное в статике для сил и моментов правило знаков при определении внутренних силовых факторов неприменимо. Для каждого вида внутренних силовых факторов устанавливается собственное правило знаков.

При построении эпюры любого внутреннего силового фактора должно соблюдаться следующее общее правило, вытекающее из метода сечений: внутренний силовой фактор в сечении, в котором приложена соответствующая сосредоточенная нагрузка, изменяется «скачком» на значение этой нагрузки.

По виду внутреннего силового фактора устанавливают вид напряжения, возникающего в точках опасного поперечного сечения, закон его распределения по сечению и вид геометрической характеристики прочности сечения. Расчетное напряжение определяют как отношение внутреннего силового фактора к геометрической характеристике прочности.

По эпюре определяют опасное сечение бруса и производят расчет на прочность. Условием прочности при расчете по допускаемому напряжению называют неравенство:

σ ≤ [σ] или τ ≤ [τ],
где [σ] и [τ] - допускаемое напряжение, зависящее от механических характеристик материала бруса и принятого коэффициента запаса прочности;

σ и τ - расчетное напряжение.

Из условия прочности определяют требуемое значение искомой величины.

К решению ЗАДАЧ 21-30 следует приступить после изучения темы « Растяжение и сжатие» ( [1], гл. VII).

Растяжением (сжатием) называют такой вид нагружения бруса, при котором в поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - продольная сила N, численно равная в любом поперечном сечении алгебраической сумме внешних сил, действующих на оставленную часть бруса: N = ΣF_i.

Продольные силы N, соответствующие деформации растяжения (т.е. направленные от сечения или от объекта равновесия) считаются положительными, в противном случае они - отрицательные.

Для определения нормальных напряжений σ в поперечных сечениях значение продольных сил необходимо разделить на площади соответствующих сечений: σ = N / А .

Проверка прочности осуществляется по формуле: σ = N / А ≤ [σ],

где σ - наибольшее рабочее напряжение;

[σ] –допускаемое напряжение для материала стержня.

Превышение рабочего напряжения по сравнению с допускаемым не должно быть больше 5 %.

Удлинение (укорочение) бруса или отдельных его участков определяется по формуле Гука:

Δl = N· l / ( А· Е)= σ·ℓ / E;

где Е - модуль упругости материала бруса ( для стали принимают Е = 2 ∙ 10⁵ МПа).

Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся размерами поперечного сечения или величиной продольной силы, изменение длины всего бруса будет равно алгебраической сумме удлинений (укорочений) отдельных участков:

Δl = Σ Δl_i.
ПРИМЕР 3. Для двухступенчатого стального бруса (рис. 9) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Проверить брус на прочность. Определить перемещение свободного конца бруса, приняв модуль продольной упругости Е = 2 ∙ 10⁵ Н/мм²; F₁ = 30кН; F₂ = 38 кН; F₃ = 42кН; А₁ = 190 мм²; А₂ = 310 мм²; [σ] = 160 МПа.


Рис.9
Решение

1.Отмечаем участки, как показано на рис.9а.

2.Определяем значение продольной силы N на участках бруса:

N₁ =0; N_II = F₁ = 30 кН; N_III = F₁ = 30 кН;

N_IV = F₁ – F₂ = 30 – 38 = – 8 кН;

N_V = F₁ – F₂ – F₃ = 30 – 38 – 42 = – 50 кН;

Строим эпюру продольных сил (рис.9б).

3. Вычисляем значения нормальных напряжений:

σ_I = N₁ / А₁ = 0;

σ_II = N_1I / А₁ = 30·10³/ 190 = 158 Н/мм²;

σ_III = N_1II / А₂ = 30·10³/ 310 = 96,8 Н/мм²;

σ_IV = N_1V / А₂ = – 8·10³/ 310 = – 25,8 Н/мм²;

σ_V = N_V / А₂ = – 50·10³/ 310 = – 161 Н/мм²;

Строим эпюру нормальных напряжений (рис. 9в).

4. Проверяем прочность наиболее нагруженного участка.

Условие прочности при растяжении, сжатии - σ = N / А ≤ [σ].

Наибольшее абсолютное значение рабочего напряжения возникает в пределах пятого участка.

σ = σ_V = 161 Н/мм² = 161 МПа; 161 МПа > 160 МПа – имеет место перегрузка бруса, которая составляет:

, что вполне допустимо.

5.Определяем перемещение свободного конца бруса:

 Δℓ = Δℓ_I +Δℓ_II +Δℓ_III+ Δℓ_IV +Δℓ_V;

Δℓ = σ·ℓ / E;

Δℓ_I = σ_Iℓ·_I / E = 0;

Δℓ_II = σ_II·ℓ_II / E = 158 · 0,5 · 10³ / 2·10⁵ = 0,394 мм;

Δℓ_III = σ_III·ℓ_III / E = 96,8 · 0,1 · 10³ / 2·10⁵ = 0,0484мм;

Δℓ_IV = σ_IV·ℓ_IV / E = – 25,8 · 0,4 · 10³ / 2·10⁵ = – 0,0516мм;

Δℓ_V = σ_V·ℓ_V / E = – 161 · 0,2 · 10³ / 2·10⁵ = – 0,161мм.

Δℓ = 0,394 + 0,0484 – 0,0516 – 0,161 = 0,23 мм.

Брус удлиняется на 0,23 мм.

К решению ЗАДАЧ 31-40 следует приступить после изучения темы «Кручение» ([1], гл. IX).

Кручением называют такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент М_к.

Крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на оставленную часть,

М_к = Σ М_i

( имеется в виду, что плоскости действия всех внешних моментов перпендикулярны продольной оси бруса).

Крутящий момент считают положительным, если внешний момент направлен по ходу часовой стрелки при взгляде со стороны проведенного сечения.

Условие прочности при кручении:

τ_к = М_к / W_p ≤ [τ_к ],

где τ_к - рабочее напряжение, возникающее в брусе;

М_к - крутящий момент на брусе;

W_p- полярный момент сопротивления, зависящий от геометрических параметров бруса. Для круглого сечения можно принять W_p= 0,2d³мм ³;

[τ_к] - допускаемое напряжение при кручении, зависящее от материала элемента конструкции.