Главная страница
Навигация по странице:

  • Методы решения задач: техника вычисления производных.

  • Физический смысл производной.

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.1.

  • Дифференциальное исчисление функций одной действительной перемен. Методические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)


    Скачать 1.04 Mb.
    НазваниеМетодические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)
    Дата29.11.2020
    Размер1.04 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаДифференциальное исчисление функций одной действительной перемен.doc
    ТипМетодические указания
    #154951
    страница1 из 7
      1   2   3   4   5   6   7

    Федеральное агентство по образованию

    ___________________________________
    Санкт-Петербургский государственный

    электротехнический университет «ЛЭТИ»

    _______________________________________

    Методы решения задач: техника вычисления производных.


    Методические указания

    к решению задач


    Санкт-Петербург

    Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

    2009

    УДК 517.22 (077)

    Методы решения задач: техника вычисления производных: Методические указания к решению задач / Сост.: М. Н. Абрамова, К. Г. Межевич, Е. А. Толкачева. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008. 32 с.


    Содержат определения, формулировки основных теорем и примеры решения задач различными методами по теме «Производная функции».

    Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.

    Утверждено

    редакционно-издательским советом университета

    в качестве методических указаний

    © СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2009



    Настоящее издание призвано помочь студентам-заочникам младших курсов самостоятельно научиться решать задачи по теме «Производная функции». Освоение этого раздела математического анализа на первый взгляд не вызывает затруднения у студентов. Но без четкого овладения именно техникой дифференцирования и понятием производной практически невозможно дальнейшее продвижение в освоении курса математического анализа. Поэтому первая часть методических указаний посвящена подробному обсуждению понятия «производная функции» и основных правил дифференцирования. Во второй части указаний рассматривается применения производной к решению ряда наиболее часто встречающихся задач.

    Данные методические указания, хоть и содержат теоретический материал, не призваны служить полной заменой учебника по теме «Производная функции», поэтому составители рекомендуют параллельно работать с учебным пособием «Конспект лекций по высшей математике» Д. Т. Письменного [1].



    1.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

    1.4.Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.


    П усть функция определена в интервале (a;b) и непрерывна в точке , и пусть . В окрестности точки выбирается произвольная точка x. Тогда разность называется приращением аргумента в точке . А разность – приращением функции. На рисунке рассмотрим секущую, проведенную через точки M и N. Угол называется углом наклона секущей, а ее угловым коэффициентом.

    Из прямоугольного треугольника MPN . Если точка N будет стремиться к M вдоль данной линии, то есть , то секущая MN в пределе перейдет в касательную l, а угол наклона секущей – , в угол наклона касательной – .

    Определение:

    Производной функции в точке называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, т.е .

    Геометрический смысл производной.

    Из рассуждений, приведенных выше видно, что производная функции при равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке , т.е .

    Физический смысл производной.

    Если – закон прямолинейного движения точки, то – скорость этого движения в момент времени t.

    Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

    Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением:



    Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока:



    В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношением:



    Если отношение при имеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными. Односторонние производные в точке обозначаются соответственно :

    – производная слева;

    – производная справа.

    Очевидно функция, определенная в некоторой окрестности точки , имеет производную тогда и только тогда, когда односторонние производные существуют и равны между собой, причем .

    Если для некоторого значения x выполняется одно из условий

    , то говорят, что в точке x существует бесконечная производная, равная соответственно .

    Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

    Операция нахождения производной называется дифференцированием.

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.1. Пользуясь определением производной найти производную функции .

    Решение: Зададим аргументу данной функции приращение . Тогда приращение функции . Воспользуемся определением производной:



    .

    Ответ: .
      1   2   3   4   5   6   7


    написать администратору сайта