Дифференциальное исчисление функций одной действительной перемен. Методические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)

• Название: Методические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)
• Дата: 29.11.2020
• Размер: 1.04 Mb.
• Имя файла: Дифференциальное исчисление функций одной действительной перемен.doc
• Тип: Методические указания; #154951
• страница: 4 из 7

1.7.Дифференцирование показательно – степенной функции.

Для того, чтобы найти производную показательно – степенной функции , где f(x) и g(x) – дифференцируемые функции от х, ее удобно предварительно прологарифмировать.

, тогда . [воспользуемся свойствами логарифма и запишем] . [теперь найдем производные от обеих частей равенства.]

.[для нахождения производной правой части воспользуемся правилом (1.3), а для левой части – правилом дифференцирования сложной функции (1.5)].

. [выразим из данного равенства ]

.

Запоминать такую громоздкую формулу нет необходимости, так как правильнее, при необходимости найти производную показательно – степенной функции, каждый раз применять данный прием.

Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.12. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем обе части равенства:

. [воспользуемся свойствами логарифма]

. [найдем производные от обеих частей равенства]

. [выразим из данного равенства ]





Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.13. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем обе части равенства:

.

. [найдем производные от обеих частей равенства]

.

.

.

1.8.Дифференцирование неявно заданных функций и функций,
заданных параметрически.

Если зависимость между x и yзадана в форме уравнения F(x, y)=0, то говорят, что функция задана неявно. В этом случае для нахождения производных и следует продифференцировать уравнение F(x, y)=0 по x, считая yфункцией от x, или по y , считая x функцией от y и выразить из полученного уравнения производную или .

Пример 1.3. Найдите производную функции, заданной неявно .

Решение. Продифференцируем исходное уравнение, считая yфункцией от x. Дифференцируя левую часть уравнения, необходимо воспользоваться правилом (1.5), а правую – правилом (1.3).

. [выразим из данного равенства ]

.

.

.

Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.14. Найдите производную заданной неявно функции .

Решение. Продифференцируем исходное уравнение, считая yфункцией от x. Второе слагаемое в уравнения является сложной функцией, первое - произведением двух функций, одна из которых – экспонента сама является сложной. Поэтому продифференцируем каждое слагаемое отдельно, а потом запишем производную всей функции целиком.

.





В итоге получаем:

. [раскрываем скобки и группируем слагаемые, содержащие производную ]

. [выражаем из получившегося уравнения ]

.
.