Главная страница
Навигация по странице:

  • Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.18.

  • Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.19.

  • Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.20.

  • Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.21.

  • Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.22.

  • Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.23.

  • Дифференциальное исчисление функций одной действительной перемен. Методические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)


    Скачать 1.04 Mb.
    НазваниеМетодические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)
    Дата29.11.2020
    Размер1.04 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаДифференциальное исчисление функций одной действительной перемен.doc
    ТипМетодические указания
    #154951
    страница6 из 7
    1   2   3   4   5   6   7

    2.5.Применение дифференциала в приближенных вычислениях.


    Формулу можно записать так: и при достаточно малых значениях приращение функции может быть заменено ее дифференциалом с как угодно малой относительной ошибкой:

    или , откуда

    (2.2)

    Это приближенное равенство применяется для приближенных вычислений , так как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление ее приращения.

    Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.18. Вычислить приближенное значение .

    Решение: Пусть есть частное значение функции при . Пусть , тогда

    ,

    ,

    .

    Подставляя найденные значения в формулу (2.2) получаем:

    .

    Ответ: 0,77.

    2.6.Уравнения касательной и нормали к графику функции.


    Уравнение касательной к линии в точке имеет вид . (2.3)

    Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если , то уравнение нормали к линии в точке запишется так:

    . (2.4)

    Если в точке производная функции бесконечна, то есть , или не существует, то касательная в таком случае параллельна оси OY.



    Угол между двумя пересекающимися кривыми и определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения по формуле:

    . (2.5)

    Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.19. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой .

    Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную данной функции: .

    Найдем значение производной в точке :

    .

    Ответ: 2.

    Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.20. Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью OX.

    Решение. Тангенс угла между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью OX это значение производной этой функции в данной точке. Найдем производную функции .

    .

    . Значит . Следовательно угол между касательной к графику функции и осью OX равен или .

    Ответ: .

    Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.21. Записать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

    Решение. Найдем производную заданной функции и ее значение в данной точке:

    .

    .

    Найдем значение заданной функции в точке :

    .

    По формуле (2.3) запишем уравнение касательной:



    .

    Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.22. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке, где .

    Решение: Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу касания , найдем ее ординату: .

    Для определения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции и ее значение при .

    .Подставляя найденные значения в уравнения (2.3) и (2.4) запишем уравнения касательной и нормали:

    – уравнение касательной;

    – уравнение нормали.

    Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.23. Найти угол, под которым пересекаются прямая и парабола .

    Решение: Для того, что бы найти точку в которой пересекаются кривые надо совместно решить уравнения параболы и прямой:



    . Подставляем найденные значения в систему: . Следовательно, прямая и парабола пересекаются в двух точках: .

    Далее находим угловые коэффициенты касательных к прямой и параболе:

    ;

    .

    Подставляя в найденные производные координаты точек пересечения, получаем угловые коэффициенты касательных:

    .

    .

    Согласно формуле (2.5) получим:

    . .

    . .

    Ответ: , .
    1   2   3   4   5   6   7


    написать администратору сайта