Главная страница
Навигация по странице:

  • Правила дифференцирования

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.2.

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.3.

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.4.

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.5.

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.6.

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.7.

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.8.

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.9.

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.10.

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.11.

  • Дифференциальное исчисление функций одной действительной перемен. Методические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)


    Скачать 1.04 Mb.
    НазваниеМетодические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)
    Дата29.11.2020
    Размер1.04 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаДифференциальное исчисление функций одной действительной перемен.doc
    ТипМетодические указания
    #154951
    страница3 из 7
    1   2   3   4   5   6   7

    1.6.Основные правила дифференцирования.


    Для того чтобы дифференцировать функции, обычно встречающиеся на практике, пользуются рядом простых и важных формул, которые обязательно знать наизусть.

    Правила дифференцирования:

    Пусть и – дифференцируемые функции. Тогда верны следующие формулы:

    1. , если c – постоянная величина (константа).

    2. (ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.1)

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.2. Найти производную .

    Решение: Пользуясь таблицей производных и правилом (1.1) находим:



    1. (ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.2)

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.3. Найти производную функции .

    Решение. Так как по правилу (1.2) производная от суммы функций равна сумме производных от каждой функции, то можем записать: .

    Продифференцируем выражения, стоящие в скобках, пользуясь таблицей производных.

    ,

    ,

    , так как 6 – константа ,

    ,

    .

    В итоге получим:

    .
    .

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.4. Найти производную функции .

    Решение. Так как по правилу (1.2) производная от суммы функций равна сумме производных от каждой функции, то можем записать:

    .

    Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности, для удобства записав функции в виде степени с дробным показателем.

    .

    .

    .

    .

    В итоге получим:

    .


    1. (ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.3)

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.5. Найти производную функции .

    Решение. Воспользуемся правилом (1.3) для дифференцирования произведения двух функций.

    .

    .


    1. (ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.4)

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.6. Найти производную функции .

    Решение. Воспользуемся правилом (1.4) для дифференцирования частного двух функций.





    .

    В итоге:

    .


    1. Если , а то функция называется сложной функцией и, если обе функции дифференцируемы, то дифференцируема и сложная функция, а ее производную можно найти по формуле:
      (ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.5)

    Таким образом, производная сложной функции равна производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной. Коротко можно сказать так: производная сложной функции равна произведению производных всех ее составляющих.

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.7. Найти производную функции .

    Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию, составленную из кубической функции и квадратичной . Тогда по правилу (1.5) производная сложной функции находится следующим образом:

    .

    Вспомним, что функция – промежуточная и введена нами для удобства нахождения производной от сложной функции, теперь нам надо вернуться обратно, подставив вместо этой промежуточной функции ее выражение: .

    .

    В дальнейшем промежуточная функция явно вводиться в решение не будет, но надо иметь в виду, что мысленно мы ее обязательно обозначаем.

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.8. Найти производную функции .

    Решение: Для того, чтобы найти производную данной функции надо воспользоваться правилом (1.5), так как эта функция является сложной.

    Промежуточной функцией в данном примере будет функция

    .

    .

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.9. Найти производную функции .

    Решение: В данном случае промежуточная функция – степенная, применяя таблицу производных, получаем:

    .

    .

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.10. Найти производную функции .

    Решение: И в данной сложной функции промежуточная функция тоже степенная:

    .

    .

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.11. Найти производную функции .

    Решение: Данная сложная функция состоит из двух промежуточных функций. Дифференцируем, применяя правило (1.5).



    .

    .
    1   2   3   4   5   6   7


    написать администратору сайта