Главная страница
Навигация по странице:

  • Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.24.

  • Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.25.

  • Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.26.

  • Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.27.

  • Список литературы

  • Дифференциальное исчисление функций одной действительной перемен. Методические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)


    Скачать 1.04 Mb.
    НазваниеМетодические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)
    Дата29.11.2020
    Размер1.04 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаДифференциальное исчисление функций одной действительной перемен.doc
    ТипМетодические указания
    #154951
    страница7 из 7
    1   2   3   4   5   6   7

    2.7. Правило Лопиталя – Бернулли.


    При исследовании функций может появиться необходимость нахождения предела дроби , числитель и знаменатель которой при стремятся к нулю или бесконечности. Для нахождения таких пределов бывает удобно воспользоваться следующим правилом:

    Теорема. Если функции и дифференцируемы в окрестности точки , обе или обращаются в нуль в этой точке, или стремятся к бесконечности и существует предел отношения при , тогда существует предел отношения самих функций, равный предел отношения производных.

    .

    Замечание 1. Теорема верна и в том случае, когда функции и не определены в точке , но или .

    Замечание 2. Теорема верна и в случае , т.е. когда или

    Другими словами правило Лопиталя – Бернулли применяется для раскрытия неопределенностей типа и .

    С помощью тождественных преобразований к основному виду и можно свести неопределенности других видов, таких как .

    При выполнении соответствующих условий правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз.

    Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.24. Найти .
    Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при :

    .

    .

    Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли.

    [Подставим в получившиеся в числителе и знаменателе функции , ] = –1.

    Ответ: {–1}.

    Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.25. Найти .

    Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при :

    .

    .

    Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли.

    ; [ Подставим в получившиеся в числителе и знаменателе функции , ]. Так как неопределенность сохранилась, и функции получившиеся в числителе и знаменателе опять удовлетворяют условиям теоремы (2.1), то можно применить правило Лопиталя – Бернулли еще раз.

    .

    Ответ: {2}.
    Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.26. Вычислить .

    Решение. Проверкой убеждаемся, что функции, стоящие в числителе и в знаменателе обращаются в нуль при . Так ак они обе непрерывно дифференцируемы, то применяем правило Лопиталя – Бернулли:

    .

    Ответ: .

    2.8.Формула Тейлора.


    Одной из важнейших формул математического анализа несомненно является формула Тейлора, которая широко применяется и как инструмент теоретического исследования и как средство решения многих практических задач.

    Формула Тейлора позволяет приближенно представить произвольную функцию в виде многочлена и вместе с тем позволяет оценить возникающую при этом погрешность , которая может быть сделана сколь угодно малой.

    Вычисление значений функции при этом сводится к вычислению значений многочлена, что можно сделать, производя только простейшие арифметические действия.

    Теорема Тейлора. Функция , дифференцируемая раз в некотором интервале, содержащем точку , может быть представлена в виде суммы многочлена n-ой степени и остаточного члена , а именно:

    , где – остаточный член в форме Пеано, бесконечно малая величина по сравнению с .

    Напомним, что операция факториал определяется следующим образом:

    ;

    ;

    ;

    0!=1
    Если , то формула принимает вид:

    и называется формулой Маклорена, однако для многих функций она неприменима, так как сами функции или их производные не существуют при (например:Ф ).

    Напомним, что частный случай замены функции многочленом был уже рассмотрен в п (1.5), где рассматривалось применение дифференциала к приближенным вычислениям. Именно там функция заменялась многочленом первой степени, т.е линейной функцией. Однако эти результаты носят очень ограниченный характер, так как не дают возможность оценивать точность такой замены.

    Остаточный член в формуле Тейлора можно записывать и в других формах, например Коши или Лагранжа. И выбор формы его записи обычно диктуется условиями конкретной задачи.

    Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.27. Разложить в ряд Маклорена функцию .

    Решение. Вычислим значение данной функции и ее производных при :



    Формула Тейлора для некоторых элементарных функций.



    Список литературы

    1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч. М.: Айрис Пресс, 2006. Ч. 1.

    2. Методы вычисления пределов: Методические указания к решению задач / Сост.: Ю. В. Крашенинникова, М. Н. Абрамова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008.

    Содержание

    1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 4

    1.4. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. 4

    1.5. Техника дифференцирования основных элементарных функций. 6

    1.6. Основные правила дифференцирования. 7

    1.7. Дифференцирование показательно – степенной функции. 12

    1.8. Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных параметрически. 13

    1.9. Производные высших порядков. 15

    2. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ 16

    2.4. Дифференциал функции. 16

    2.5. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 18

    2.6. Уравнения касательной и нормали к графику функции. 18

    2.7. Правило Лопиталя – Бернулли. 22

    2.8. Формула Тейлора. 24

    Список литературы 3





    Редактор И. Г. Скачек

    __________________________________________________________________

    Подписано в печать Формат 6084 1/16. Бумага офсетная.

    Печать офсетная. Печ. л. 2.0.

    Гарнитура «Times». Тираж 250 экз. Заказ

    __________________________________________________________________
    Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

    197376, С.-Петербург, Проф. Попова, 5

    1   2   3   4   5   6   7


    написать администратору сайта