метода тау. Методические указания по выполнению домашнего задания 1 по дисциплине Теория автоматического управления

• Название: Методические указания по выполнению домашнего задания 1 по дисциплине Теория автоматического управления
• Анкор: метода тау
• Дата: 10.01.2021
• Размер: 1.09 Mb.
• Имя файла: DZ_1_TAU_16.doc
• Тип: Методические указания; #166996
• страница: 1 из 5

Методические указания по выполнению

домашнего задания № 1

по дисциплине «Теория автоматического управления»

«Временные характеристики непрерывных линейных

стационарных систем управления»

Цель работы: сформировать практические навыки по определению передаточной функции заданной системы при описании системы операторно-структурным методом и в пространстве состояний, вычислению временных характеристик линейных непрерывных стационарных систем управления с использованием аналитических зависимостей и стандартных функций в пакете MATLAB.

Содержание работы:

1. Определить передаточные функции прямой, разомкнутой цепи и замкнутой системы при описании системы операторно-структурным методом;

2. Записать передаточную функцию замкнутой системы в виде дифференциального уравнения;

3. Определить нули и полюса замкнутой системы;

4. Вычислить и построить временные характеристики замкнутой системы:

• 
  импульсную переходную функцию (ИПФ) замкнутой системы
  
• 
  переходную функцию замкнутой системы .
  

6. Проверить правильность расчётов, получив переходную и импульсную переходную характеристику системы, используя стандартные функции Matlab.

7. При выполнении домашнего задания использовать материалы лабораторных работ № 2, № 3 и № 4.

Краткие теоретические сведения

1. Определить передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы;

Типовые соединения звеньев

1.Последовательное соединение звеньев:

Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.



2. Параллельное соединение звеньев:

Передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме передаточных функций отдельных элементов.



3. Звено, охваченное обратной связью (рис.1):

Для такой системы справедливы соотношения:



Рис. 1 Соединение с обратной связью
.

Или ,

тогда .

Окончательно получим

Передаточная функция замкнутой системы с отрицательной обратной связью (ООС) равна передаточной функции прямой цепи, делённой на 1 плюс произведение передаточной функции прямой цепи на передаточную функцию обратной цепи.

Замкнутую систему называют одноконтурной, если при её размыкании в какой-либо точке получается цепочка из последовательно соединенных звеньев или цепь, не содержащая параллельных и обратных связей.

Участок цепи по ходу сигнала от точки приложения входного сигнала до точки съёма выходного сигнала называется прямой цепью и обозначается .

Участок цепи по ходу сигнала от точки приложения входного сигнала до точки размыкания называется разомкнутой цепью и обозначается

Обычно САУ размыкается в обратной цепи перед элементом сравнения по соответствующему воздействию.

В САУ общая (главная) обратная связь, создающая замкнутый контур, всегда отрицательная.

Для одноконтурной системы с отрицательной обратной связью (ООС) справедливо следующее правило:

Передаточная функция одноконтурной системы с ООС равна передаточной функции прямой цепи, делённой на единицу плюс передаточную функцию разомкнутой цепи.

.
Рассмотрим пример.

Пусть задана структурная схема системы (рис. 2).


Рис. 2. Структурная схема системы управления числом оборотов двигателя
с математическими моделями в форме передаточных функций

1. Определение передаточной функции замкнутой системы.

Определим сначала ПФ внутреннего контура, охваченного местной обратной связью. В прямой цепи этого контура располагается последовательно три звена.

Передаточная функция прямой цепи равна произведению ПФ звеньев

.

Передаточная функция внутренней обратной цепи .

Эквивалентная передаточная функция этого участка системы будет иметь вид:



Передаточная функция внешней обратной цепи .
Теперь найдём передаточную функцию замкнутой системы:



Обозначим

,

тогда

.

Подставляя численные значения параметров, получим ПФ в виде:



2. Записать передаточную функцию в виде дифференциального уравнения

По известной передаточной функции замкнутой системы получим дифференциальное уравнение этой системы.

.

Тогда .

Переходя в пространство оригиналов, получим



или с учётом числовых значений



3. Определение нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Значения , при которых ПФ обращается в нуль, называются нулями ПФ.

Нули являются корнями уравнения = .

Значения , при которых ПФ обращается в бесконечность, называются полюсами ПФ.

Полюсы являются корнями уравнения .

Передаточная функция имеет нулей и полюсов. Нули и полюса могут быть действительными или комплексно-сопряженными, поэтому их можно изобразить на комплексной плоскости (s-плоскости)

ПФ системы

Последнее выражение является дробно-рациональной функцией, причем коэффициенты передаточной функции — действительные числа.

Найдем нуль системы: .

Найдём корни уравнения .

Корни последнего уравнения: .

4. Определение временных характеристик замкнутой системы:

Импульсная переходная характеристика замкнутой системы :

Из определения передаточной функции следует, что .

Пусть входной сигнал представляет собой единичный мгновенный импульс , изображение которого имеет вид .

Изображение выходного сигнала имеет вид:

.

Найдём импульсную переходную функцию системы .

Если изображение является дробно-рациональной функцией

, то

нахождение оригинала можно осуществить по следующим формулам:

1. Корни простые, вещественные:

. (1)

2. Корни комплексно-сопряженные:

, если , где ; (2)



Импульсная переходная функция системы будет равна ,

где n - число корней характеристического уравнения.

Переходная функция замкнутой системы .

Пусть входной сигнал представляет собой единичную ступенчатую функцию , тогда изображение единичного сигнала имеет вид .

Изображение выходного сигнала имеет вид .

Найдём переходную функцию системы .

1. Корни простые, вещественные и один корень нулевой, т.е. .

. (3)

2. Корни комплексно-сопряженные и один нулевой:

, если , где ; (4)


Рассмотрим пример.

Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет вид

.

1. Вычисление корней характеристического уравнения

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Решаем исходное уравнение и находим корни уравнения:

; ; .

Импульcная переходная функция (ИПФ) системы:

Для вещественного корня характеристического уравнения системы используем формулу (1).

.

1.Определим .

2. Рассчитаем составляющую импульсной переходной функции: для вещественного корня.

Обозначим , тогда



Для пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения системы используем формулу (2).



Общий вид импульсной переходной функции

.



Рис. 3. График импульсной переходной характеристики системы

Проверим правильность полученных результатов, используя передаточную функцию системы. Определим начальное и конечное значение функции , используя теоремы о начальном и конечном значении.

- теорема о начальном значении

- теорема о конечном значении.



.

Переходная характеристика замкнутой системы:

Пусть входной сигнал представляет собой единичную функцию и его изображение имеет вид .

Тогда изображение выходного сигнала примет вид



Корни характеристического уравнения единичной кратности:

; ; , .

Для расчёта переходной функции используем формулу (3) и (4):

.

Для вычислений можно использовать часть результатов, полученных при расчёте импульсной переходной функции.



Общий вид переходной функции



График переходной характеристики замкнутой системы показан на рис. 4



Рис. 4. График переходной характеристики системы
Определим начальное и конечное значение функции.

;

.
6. Описание системы с использованием стандартных функций пакета Matlab

Описание системы в пространстве можно провести с использованием стандартных функций пакета Matlab.
Построение модели операторно-структурным методом

>>b=[6.25]; p=[0.0025 0.0625 1 6.25] % задание числителя и знаменателя ПФ

>>sys1=tf(b,p) - % задание системы в операторно-структурном виде

Transfer function:

6.25

---------------------------------------------

0.0025s^3 +0.0625 s^2 + s + 6.25
>>w1=impulse(sys1,1) % – построение импульсной переходной функции

>>h1=step(sys1,1) - % – построение переходной функции
При правильном проведении вычислений и построений, все соответствующие графики должны совпадать.
Домашнее задание должно содержать:

1. Схему заданной системы и числовые параметры системы.

2. Передаточные функции прямой, разомкнутой и замкнутой системы, полученные самостоятельно и при помощи стандартных функций MATLAB.

3. Дифференциальное уравнение полученной замкнутой системы.

4. Нули и полюса замкнутой системы.

5. Аналитический расчёт импульсной переходной и переходной функций.

6. Начальные и конечные значения временных функций и .

7. Графики и , полученные расчётным путём и при помощи стандартных функций пакета MATLAB. Сравнить полученные результаты.

9. В Приложении привести программу расчёта и построения графиков.