метод наименьших квадратов. Методические указания по выполнению лабораторной работы Хабаровск Издательство двгупс 2002 удк 517. 518. 87 (075. 8) Ббк в 191. 1я73
![]()
|
5. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ В СЛУЧАЕ ЗАДАНИЯ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ В ВИДЕ МНОГОЧЛЕНА ИЛИ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ.Пусть в качестве аппроксимирующей функции выбран многочлен степени ![]() ![]() Тогда сумма квадратов отклонений примет вид: ![]() а неизвестные параметры будут определяться системой уравнений: ![]() ![]() Если приближающая функция ![]() ![]() ![]() ![]() После введения обозначений: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сумма отклонений определяется формулой: ![]() а коэффициенты ![]() ![]() ![]() ![]() после чего осуществляется обратный переход к параметрам ![]() ![]() Аналогично можно поступать и в тех случаях, когда в качестве аппроксимирующей функции выбраны, например, гипербола ![]() ![]() 6. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ.Пусть функция задана таблицей 3.1. Требуется построить методом наименьших квадратов функцию, приближающую табличную наилучшим образом. Для удобства обозначений изменим нумерацию исходных данных и будем считать, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По характеру расположения точек на графике можно выдвинуть предположение о линейной квадратичной или показательной зависимости величин. Рассмотрим все три предположения. Случай 1. Будем искать приближающую функцию ![]() ![]() Сумма мер отклонений ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() После преобразования система принимает вид: ![]() ![]() Составим вспомогательную таблицу Таблица 6.1.
Подставив данные из таблицы 6.1 в систему (1), получим: ![]() ![]() откуда ![]() ![]() Случай 2. Аппроксимирующая функция – квадратичная. ![]() Сумма мер отклонений ![]() ![]() преобразовав которую, получим: ![]() ![]() Составим вспомогательную таблицу. Таблица 6.2
П ![]() ![]() и, решив её, получим значения параметров: ![]() ![]() Уравнение квадратичной зависимости: ![]() Случай 3. Найдем приближающую функцию в виде показательного выражения ![]() ![]() и введения обозначений ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Построим таблицу соответствия известных значений: Таблица 6.3
Запишем систему: ![]() ![]() ![]() Подставим данные из таблицы 6.3 в систему (3): ![]() ![]() и получим в результате: ![]() ![]() Возвращаясь к показательной функции, запишем: ![]() ![]() ![]() Значения линейной функции: ![]() Квадратичной функции: ![]() Показательной функции: ![]() и их отклонения от табличных значений функции в заданных точках сведём в таблицу 6.4 Таблица 6.4
На основании таблицы 6.4 вычисляется сумма квадратов отклонений аппроксимации для каждого из трёх рассмотренных видов приближения: ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, для заданной табличной функции наиболее целесообразна квадратичная аппроксимация. По полученным результатам строятся графики. ![]() |