Главная страница

метод наименьших квадратов. Методические указания по выполнению лабораторной работы Хабаровск Издательство двгупс 2002 удк 517. 518. 87 (075. 8) Ббк в 191. 1я73


Скачать 0.58 Mb.
НазваниеМетодические указания по выполнению лабораторной работы Хабаровск Издательство двгупс 2002 удк 517. 518. 87 (075. 8) Ббк в 191. 1я73
Дата22.04.2023
Размер0.58 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файламетод наименьших квадратов.doc
ТипМетодические указания
#1081288
страница5 из 6
1   2   3   4   5   6

5. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ В СЛУЧАЕ ЗАДАНИЯ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ В ВИДЕ МНОГОЧЛЕНА ИЛИ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ.



Пусть в качестве аппроксимирующей функции выбран многочлен степени :



Тогда сумма квадратов отклонений примет вид:

,

а неизвестные параметры будут определяться системой уравнений:



Если приближающая функция выбрана в виде показательной функции , то выражение можно светсти к линейному, логарифмируя левую и правую части равенства:

или .

После введения обозначений: , ; , функция записывается как линейная по аргументу :



Сумма отклонений определяется формулой:

,

а коэффициенты и находятся из решения системы:



после чего осуществляется обратный переход к параметрам и .

Аналогично можно поступать и в тех случаях, когда в качестве аппроксимирующей функции выбраны, например, гипербола или логарифмическая функция .

6. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ.



Пусть функция задана таблицей 3.1. Требуется построить методом наименьших квадратов функцию, приближающую табличную наилучшим образом. Для удобства обозначений изменим нумерацию исходных данных и будем считать, что ; ; ; ; ; ; ; ; . Сделаем предположение относительно характера аппроксимирующуей функции, рассмотрев расположение точек, заданных таблицей, на графике (рис. 1.).


По характеру расположения точек на графике можно выдвинуть предположение о линейной квадратичной или показательной зависимости величин. Рассмотрим все три предположения.

Случай 1. Будем искать приближающую функцию в виде линейной функции .

Сумма мер отклонений , где ; - число измерений. Найдём неизвестные коэффициенты из системы:



После преобразования система принимает вид:

… (1)

Составим вспомогательную таблицу
Таблица 6.1.















0

10

0

0




25

9,1

625

227,5




50

8,7

2500

435




75

5,6

5625

420




100

2,5

10000

250



250

35,9

18750

1332,5


Подставив данные из таблицы 6.1 в систему (1), получим:



откуда , а уравнение линейной функции

.
Случай 2. Аппроксимирующая функция – квадратичная.



Сумма мер отклонений . Неизвестные коэффициенты будут найдены из системы:

,

преобразовав которую, получим:

… (2)

Составим вспомогательную таблицу.

Таблица 6.2





















0

0

0

0

10

0

0




25

625

15625

390625

9,1

227,5

5687,5




50

2500

125000

6250000

8,7

435

21750




75

5625

421875

31640625

5,6

420

31500




100

10000

1000000

100000000

2,5

250

25000



250

18750

1562500

138281250

35,9

1332,5

83937,5


П одставим данные из таблицы 6.2 в систему (2):



и, решив её, получим значения параметров:



Уравнение квадратичной зависимости:



Случай 3. Найдем приближающую функцию в виде показательного выражения . После логарифмирования показательной функции



и введения обозначений ; ; , функция записывается как линейная .

Построим таблицу соответствия известных значений:

Таблица 6.3

















0

10

2,30

0

0




25

9,1

2,20

625

55




50

8,7

2,16

2500

108




75

5,6

1,72

5625

129




100

2,5

0,92

10000

92



250

35,9

9,3

18750

384

Запишем систему:



Подставим данные из таблицы 6.3 в систему (3):



и получим в результате:



Возвращаясь к показательной функции, запишем:

; ; .

Значения линейной функции: ;

Квадратичной функции:



Показательной функции:



и их отклонения от табличных значений функции в заданных точках сведём в таблицу 6.4

Таблица 6.4



0

25

50

75

100



10

9,1

8,7

5,6

2,5



0,88

-0,07

-1,52

-0,27

0,98



-0,13

0,44

-0,51

0,24

-0,03



2,28

-0,22

-2,28

-0,95

0,86

На основании таблицы 6.4 вычисляется сумма квадратов отклонений аппроксимации для каждого из трёх рассмотренных видов приближения:







Следовательно, для заданной табличной функции наиболее целесообразна квадратичная аппроксимация.

По полученным результатам строятся графики.


1   2   3   4   5   6


написать администратору сайта