метод наименьших квадратов. Методические указания по выполнению лабораторной работы Хабаровск Издательство двгупс 2002 удк 517. 518. 87 (075. 8) Ббк в 191. 1я73
![]()
|
4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.Пусть функция задана таблицей 2.1 и, по-прежнему, требуется построить функцию, приближающую табличную на заданном промежутке наилучшим образом. Кроме построения интерполяционного многочлена существуют и другие способы, один из которых без подробного пояснения, может быть указан. Это метод интерполяционных или сглаживающих сплайнов. Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на отрезке задания функции, а на каждом частном отрезке ![]() ![]() ![]() Сплайны являются более удобным средством аппроксимации функций на больших промежутках (при больших n), чем интерполяционный многочлен. Аппроксимация функции на большом промежутке одним многочленом может значительно увеличить степень многочлена, что на практике неприемлемо. Ранее указанные методы применяют не всегда, так как при построении интерполяционного полинома возможна численная неустойчивость (то есть промежуточные значения могут существенно отличаться от точек кривой). К тому же значения ![]() Для построения сплайна требуется большой объём вычислительной работы, результатом которой является функция, имеющая разный вид на разных участках, что не всегда удобно на практике. Принципиально иной подход метода наименьших квадратов состоит в том, чтобы подобрать функцию ![]() Мерой отклонения аппроксимирующей функции ![]() ![]() ![]() ![]() Квадраты отклонений рассматривают для того, чтобы избежать взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины и разных знаков. Метод определения констант, входящих в формулу ![]() ![]() Вид функции ![]() ![]() ![]() Наилучшими значениями параметров будут те, для которых сумма мер отклонений принимает наименьшее значение. ![]() Если рассматриваются S как функция от ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если система имеет единственное решение, то оно будет искомым. В качестве приближающей функции в инженерных и экономических расчётах часто используется многочлен: ![]() Если ![]() ![]() Если зависимость близка к периодической, то аппроксимация может быть задана тригонометрическим многочленом. Если эмпирическая формула выбрана в виде показательной функции ![]() ![]() ![]() Формула, полученная методом наименьших квадратов, называется уравнением регрессии, а соответствующая кривая – линией регрессии. Если в результате вычислений получено уравнение прямой линии, то регрессия называется линейной, в противном случае – нелинейной. Исходные данные могут носить самый разнообразный характер и относиться к различным отраслям науки или техники, например: 1) зависимость продолжительности службы электрических ламп ![]() ![]() 2) зависимость пробивного напряжения конденсаторов ![]() ![]() 3) зависимость предела прочности стали ![]() ![]() 4) зависимость показателей безработицы ![]() ![]() 5) зависимость цен товара ![]() ![]() 6) зависимость частного потребления ![]() ![]() и другие зависимости. |