МДК 02.03. ПР. 2021. Методические указания по выполнению практических работ для студентов iv курса очной формы обучения специальности

• Название: Методические указания по выполнению практических работ для студентов iv курса очной формы обучения специальности
• Дата: 07.10.2022
• Размер: 1.49 Mb.
• Имя файла: МДК 02.03. ПР. 2021.pdf
• Тип: Методические указания; #720087
• страница: 2 из 4

1. Решить графически систему неравенства б) x
1
- x
2
≤
3 2x
1
+ x
2
≥ 3 x
1
- 3x
2
≤ 1 x
1
≥0, x
2
≥0
2. Составить математическую модель задачи и найти решение системы ограничений Обработка деталей Аи В может производиться на трех станках. Причем каждая деталь при ее изготовлении должна последовательно обрабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации детали Аден. ед, детали В – 160 ден. ед. Исходные данные приведены в таблице. Определить производственную программу, максимизирующую прибыль при условии спрос на деталь Ане менее 300 шт, на деталь Вне более 200 шт. Станок Норма времени на обработку одной детали, ч Время работы станка, ч А В
1 0,2 0,1 100 2
0,2 0,5 180 3
0,1 0,2 100

Практическая работа №3 Составление систем уравнений Колмогорова. Нахождение финальных вероятностей. Нахождение характеристик простейших систем массового обслуживания Цель занятия
1. Отработать и закрепить умения составлять системы уравнений Колмогорова.
2. Отработать и закрепить умения находить финальные вероятности.
3. Отработать и закрепить умения определите основные показатели СМО. Методические указания к выполнению заданий практического занятия Марковский случайный процесс Построение математических моделей в условиях неопределенности - очень сложная или невыполнимая задача. Лишь для некоторых упрощенных случаев можно построить математическую модель. Следует различать два вида неопределенности вероятностные характеристики либо известны, либо могут быть получены в результате эксперимента. Такая неопределенность называется стохастической, и для большинства объектов, содержащих такую неопределенность, можно построить математическую модель, например выход из строя оборудования, приход нового клиента и т. д. вероятностные характеристики определить невозможно. В этом случае задачу можно попытаться решить с помощью экспертных оценок, но результат будет весьма приблизительным, например, каковы будут модели женской одежды через пять лет Строгую математическую модель с аналитическим вычислением всех интересующих величин можно построить только в том случае, если случайный процесс носит марковский характер.

Случайный процесс будет марковским, если вероятностные характеристики процесса в момент времени t зависят только от текущего (настоящего) состояния процесса в этот момент времени t и не зависят оттого, как (каким способом и когда) рассматриваемый процесс перешел в текущее состояние. Из всего многообразия марковских процессов хорошо изучены и представляют большой практический интерес марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Под дискретным состоянием будем понимать, что процесс переходит из одного состояния в другое скачкообразно за очень короткое время (практически мгновенно, и количество этих состояний известно (фиксировано. Под непрерывным временем будем понимать такое, при котором переход из одного допустимого состояния в другое допустимое состояние происходит в произвольные моменты времени, те. заранее неопределенные. Потоки событий. Однородные события, следующие друг за другом в произвольные моменты времени (случайно, называются потоком событий (или входным потоком заявок. Примерами потоков событий могут быть поток пассажиров в авиакассе, поток посетителей парикмахерской, поток отказов технического устройства и т.д. Здесь под событием понимается факт поступления заявок на обработку (приход покупателя, наличие отказа технического средства, поступление телефонного вызова и т.д.), а не результат его обработки (как это рассматривается в теории вероятностей. Поэтому в системах массового обслуживания вероятностными характеристиками будет обладать не отдельное событие, а интервал времени. Интенсивностью

потока событий называется среднее число событий за единицу времени. Интенсивность

может быть как числом постоянным (константой, таки величиной, зависящей от времени t. Например, количество пассажиров в городском транспорте в часы пик резко увеличивается по сравнению с другим временем суток. Финальные вероятности состояний Будем рассматривать марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Пример 1 : Техническое устройство состоит из трёх узлов ив любой момент времени может находиться водном из восьми состояний (рис. 1). Возможные состояния устройства таковы
S
0
— все три узла исправны
S
1
— первый узел неисправен, второй и третий исправны
S
2
— второй узел неисправен, первый и третий исправны
S
3
— третий узел неисправен, первый и второй исправны
S
4
— первый и третий узлы неисправны, второй исправен
S
5
— второй и третий узлы неисправны, первый исправен
S
6
— первый и второй узлы неисправны, третий исправен
S
7
— все три узла неисправны. Размеченным графом будем считать такой графу которого стрелками указаны переходы из одного состояния в другое, а рядом со стрелкой указана интенсивность перехода. Будем различать две интенсивности — прямую

, и обратную


Тогда
2 1
,


и
3

— интенсивности потоков отказов соответственно первого, второго и третьего узлов, аи соответственно интенсивности потоков возвратов (ремонтов) узлов. Если для ремонта каждого узла имеется отдельный специалист, то среднее время ремонта каждого узла есть величина постоянная и не имеет значения, один или несколько узлов вышли из строя. На основе построенного размеченного графа (см. рис. 1) создадим математическую модель. Наше техническое устройство в соответствии с построенным графом в любой момент времени будет находиться водном из восьми возможных состояний. Обозначим вероятность каждого го состояния как p
i
(t), тогда



n
i
i
t
p
1 Для определения вероятности каждого состояния технического устройства составим соответствующие дифференциальные уравнения








































































)
(
)
(
;
)
(
)
(
;
)
(
)
(
;
)
(
)
(
;
)
(
)
(
;
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0 3
2 1
3 3
2 2
1 1
7 3
2 1
6 3
4 2
5 1
6 3
2 1
7 3
1 2
2 1
5 3
2 1
2 3
3 2
7 1
4 2
3 1
7 2
1 3
3 1
3 2
1 3
4 1
5 2
0 3
2 3
1 2
6 1
5 3
0 2
1 3
2 1
6 2
4 3
0 1
0 7
6 5
4 3
2 1
p
p
dt
t
d
p
p
dt
t
d
p
p
dt
t
d
p
p
dt
t
d
p
p
dt
t
d
p
p
dt
t
d
p
p
dt
t
d
p
p
dt
t
d
p
p
p
p
p
p
p
p

































































Эта система дифференциальных уравнений называется системой уравнений Колмогорова Имеем систему из восьми линейных дифференциальных уравнений с восемью неизвестными. Известно, что сумма всех вероятностей равна единице, те Таким образом, любое из уравнений, входящее в систему уравнений, можно записать, используя последнее уравнение, и найти значения вероятностей для каждого события. Для облегчения процесса составления дифференциальных уравнений можно применить следующее правило В левой части каждого уравнения следует записать производную вероятности г-го состояния устройства. В правой части сумма произведений потока событий, входящих в текущее состояние, умноженная на вероятность состояния, из которого исходит поток, минус суммарная интенсивность исходящих потоков событий из текущего состояния, умноженная на вероятность текущего состояния. Если финальные вероятности существуют
i
i
t
p
t
p



)
(
lim при i = 1, 2, 3, ..., n, то их сумма будет равна единице



n
i
i
p
1 Финальные вероятности показывают, какое среднее время устройство будет находиться в каждом состоянии. Финальные вероятности находятся из системы дифференциальных уравнений, если их правые части приравнять нулю. Решение системы уравнений Колмогорова Зададим численные значения интенсивности потоков событий для примера 1:

1
=1;

2
=2;

3
=1;

1
=2;

2
=4;

3
=2. Приравняем левые части уравнений системы нулю .

24































































1
;
)
(
0
;
)
(
0
;
)
(
0
;
)
(
0
;
)
(
0
;
)
(
0
;
)
(
0 0
7 6
5 4
3 2
1 0
3 2
1 3
3 2
2 1
1 6
3 2
1 7
3 1
2 2
1 5
3 2
1 2
3 3
2 7
1 4
2 3
1 7
2 1
3 3
1 3
2 1
3 4
1 5
2 0
3 2
3 1
2 6
1 5
3 0
2 1
3 2
1 6
2 4
3 Второй (отрицательный) член каждого выражения перенесем в левую часть
























































1
;
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
6 5
4 3
2 1
0 7
3 3
2 2
1 1
3 2
1 0
7 3
1 2
2 1
3 2
1 6
2 3
3 2
7 1
3 2
1 5
7 2
1 3
3 1
2 3
1 4
4 1
5 2
0 3
2 1
3 3
6 1
5 3
0 2
3 1
2 2
6 2
4 3
0 1
3 2
1 Подставим конкретные значения (указанные выше) прямых и обратных интенсивностей

25
























































1
;
2 4
2
)
1 2
1
(
;
2 2
1
)
1 4
2
(
;
1 2
2
)
4 2
1
(
;
4 1
1
)
2 2
2
(
;
2 4
1
)
2 1
2
(
;
2 2
2
)
1 1
4
(
;
4 2
1
)
1 2
2
(
6 5
4 3
2 1
0 7
3 2
1 0
7 1
2 6
2 3
7 5
6 4
3 4
4 5
0 3
6 5
0 2
6 4
0 После выполнения арифметических действий получим










































1
;
2 4
2 4
;
2 2
7
;
2 2
7
;
4 6
;
2 4
5
;
2 2
2 6
;
4 2
5 6
5 4
3 2
1 0
7 3
2 1
0 7
1 2
6 2
3 7
5 7
1 3
4 4
5 0
3 6
5 0
2 6
4 Из первого уравнения выразим
6 4
0 1
5 4
5 2
5 1
p
p
p




и подставим его в остальные уравнения

26















































5 9
5 7
5 6
1
;
2 4
5 8
5 4
5 48
;
2 5
4 5
2 2
27
;
2 2
7
;
5 4
5 1
4 5
28
;
2 4
5
;
2 2
2 6
6 5
4 3
2 0
7 3
2 6
4 0
7 2
4 0
6 7
3 2
5 6
0 7
3 4
4 5
0 3
6 5
0 Аналогично выражаем
6 5
0 2
3 1
3 1
3 1
p
p
p




и подставляем в оставшиеся уравнения и получаем










































15 32 3
4 5
7 15 23 1
;
15 44 3
4 5
4 2
15 124
;
2 3
1 5
4 15 11 6
79
;
2 2
3 1
3 1
3 20
;
5 4
5 1
4 5
28
;
2 4
5 6
5 4
3 2
0 7
6 5
4 3
0 7
5 4
0 6
7 3
6 0
5 6
0 7
3 4
4 5
0 Выражаем
4 5
0 3
5 2
5 4
5 1
p
p
p




и подставляем в оставшиеся уравнения и получаем

27


































6 15 32 5
15 32 4
5 9
0 15 26 1
7
;
6 15 44 5
15 44 4
5 8
0 30 20
;
7 2
5 3
1 4
5 4
0 15 11 6
6 79
;
4 5
4 7
2 6
3 1
0 15 11 5
15 76
;
5 5
4 7
4 6
5 4
0 5
2 4
5 Из первого выражения выразим
7 6
5 0
4 13 10 13 2
13 2
13 и подставим в оставшиеся уравнения. После выполнения преобразований получим
























6 93 94 5
93 94 0
93 73 11 13 7
;
7 319 60 6
319 155 5
319 155 0
;
7 5087 828 5
5087 178 0
5087 310 6
;
7 13 18 6
153
*
1 891 0
13
*
3 31 5
15
*
13 Из первого уравнения выразим 6
0 5
482 135 964 89 964 155
p
p
p




и подставим в оставшиеся уравнения
















57516 49491 57516 42471 19172 6266
;
94497 33230 94497 54405
;
814671 1414042 814671 54405 6
0 7
7 6
0 7
0 Из первого уравнения в оставшиеся уравнения

28







6927
,
0 2845
,
0
;
1 3701203073 0
1737245367 0
7 Из первого уравнения p
0
подставим в оставшиеся уравнения
7 7
4697
,
0
*
6927
,
0 2845
,
0
p
p


2146
,
0 3254
,
1 2845
,
0 Определим остальные вероятности, подставляя полученные результаты в обратном порядке
P
0
= 0,46940 *0,21146=0,1007;
P
6
=0,06678 *0,107 +0,1731 *0,2146=0,04387;
P
5
= 0,1608*0,1007+0,09232*0,04387+0,2801*0,2146=0,08035;
P
4
=0,07692*0,1007+0,1538*0,08035+0,1538*0,04387+0,7692*0,2146=0
,08035;
P
3
=0,2*0,1007+0,8*0,080035+0,4*0,1853=0,1585;
P
2
=0,3333*0,1007+0,3333*0,08035+0,3333*0,04387=0,07498; Выполним проверку. Сумма вероятностей всех событий должна быть равна единице.
p
0
+p
1
+p
2
+p
3
+p
4
+p
5
+p
6
+p
7
=1 0,1294+0,07498+0,1585+0,1853+0,08035+0,043870+0,04387+0,1007+0,
2146=0,9877 Полученный результат меньше единицы, так как значение каждой вероятности было округленно.
СМО. Основные понятия. С системами массового обслуживания (CMO) приходится сталкиваться очень часто. Это и работа телефонной станции, и различные очереди (на автозаправке, в поликлинике, в билетной кассе и т.д.), работа некоторых организаций (магазины, мастерские, парикмахерские и т. д. Каждая СМО имеет как минимум три элемента обслуживающий инструмент (станок, касса, канал связи и т. д, который в дальнейшем будем называть каналом обслуживания или просто каналом входной поток, те. поток заявок, поступающих на обслуживание выходной поток, те. заявки, выполненные СМО обеспеченные услугой.

Каждая поступившая заявка и принятая на обслуживание внутри
СМО обрабатывается некоторое время, называемое временем обслуживания — об. Все заявки поступают случайным образом и независимо друг от друга. Будем рассматривать простейший случай в каждый момент времени может поступить только одна заявка. Случаи поступления двух и более заявок в один и тот же момент времени не рассматриваются. Таким образом, в некоторые моменты времени поступившие заявки будут скапливаться на входе СМО и ожидать своей обработки либо покидать СМО необслуженными. В другие моменты времени СМО может простаивать, те. не иметь заявок на обслуживание. График работы СМО представляет собой ступенчатую функцию, те. состояние СМО изменяется скачкообразно. При моделировании работы СМО ставится задача связать технические характеристики СМО, По способу функционирования СМО могут быть
• открытыми, те. поток заявок не зависит от внутреннего состояния СМО;
• закрытыми, те. входной поток зависит от состояния СМО один ремонтный рабочий обслуживает все каналы по мере их выхода из строя.
Одноканальные СМО с отказами При изучении СМО используем следующие предположения
1. Входной поток является пуассоновским с параметром λ.
2. Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ:
3. Время обслуживания требования не зависит от количества требований, поступивших в систему. Такая система в любой момент времени t может находиться водном из двух состояний Ев системе 0 требований (система свободна Ев системе 1 требование (система занята. Далее мы будем находить вероятности

Р – система находится в состоянии ЕР система находится в состоянии Е
1
Начиная с некоторого момента времени, вероятность Р) перестает зависеть от времени и становится постоянной постоянной будет и Р. Эти величины равны соответственно
P
0
= μ/λ+μ, P
1
= 1-P
0
= λ/λ+μ. В таких случаях говорят, что в системе установился стационарный режим работы. Будем находить коэффициент загрузки системы по формуле
φ = P
1
/P
0
= λ/μ. Напомним, что λ – среднее число требований, прибывающих в систему за единицу времени, μ – среднее число обслуженных требований. Вероятности застать систему свободной и застать её занятой, соответственно равны теперь
P
0
= μ/(λ+μ) = 1/(λ/μ-1) = 1/(φ+1), P
1
= φ/(φ+1). Ясно, что чем больше коэффициент загрузки, тем больше вероятность отказа системы. Это невыгодно потребителю (но выгодно организатору системы, ибо мала вероятность простоя Р. Если уменьшить коэффициент загрузки, то уменьшится вероятность отказа СМО (это выгодно потребителю, но увеличится вероятность простоя (что невыгодно организаторам системы. Мы имеем дело с противоположными тенденциями и, следовательно, необходимо решать задачи оптимизации режима работы СМО.