МДК 02.03. ПР. 2021. Методические указания по выполнению практических работ для студентов iv курса очной формы обучения специальности
 Скачать 1.49 Mb.
|
|
Одноканальные СМО с ожиданием Такие системы при условии, что нет ограничений на длину очереди, имеют бесчисленное множество состояний ЕЕ, ЕЕ. Ев системе 0 требований (система свободна Ев системе 1 требование (система занята Ев системе 1 требование, и одно требование ожидает в очереди Ев системе 1 требование, и два требования ожидают в очереди и т. д. Для нахождения вероятностей используется следующая формула P 0 = 1-φ, φ = λ/μ. Следовательно, P k = (1-φ)φ k , k = 1, 2, …. Условие φ > 0 является необходимыми достаточным для наличия стационарного режима работы системы. Интересно знать, почему стационарный режим существует только при этом условии Это условие означает, что среднее число требований, поступивших в СМО, меньше, чем интенсивность самого обслуживания поэтому система успевает ритмично работать. Теперь ясно, почему система не может работать при условии, когда коэффициент загрузки больше 1. Но почему нет установившегося режима, когда коэффициент загрузки равен 1? Ведь в этом случае, сколько в среднем требований поступает в СМО, столько в среднем и обслуживается. Однако требования поступают в систему неравномерно, и время их обслуживания тоже колеблется, так что могут быть и простои, и перегрузки. Вот поэтому при таком условии не поддерживается стационарный режим. Подсчет средних характеристик При изучении СМО важнейшими являются средние значения математические ожидания) таких случайных величин n – количество требований, находящихся в системе v – длина очереди w – время ожидания в очереди. Ниже их формулы n = φ/(1-φ); v = φ 2 /(1-φ); w = [φ/(1-φ)]*[1/μ]. Пример Интенсивность потока автомобилей, поступающих на моечную станцию (одноканальная СМО) – 4 автомобиля в часа интенсивность обслуживания – 5 автомобилей в час. Предполагая, что станция работает в стационарном режиме, найти среднее число автомобилей, находящихся на станции, среднюю длину очереди и среднее время ожидания обслуживания. Решение Определяем коэффициент загрузки системы φ = λ/μ = 0,8. Далее, используя изученные выше формулы, вычисляем все требуемые характеристики n = 0,8/(1-0,8) = 4; 32 v = 4*0,8 = 3,2; w = 4/5 = 0,8. Многоканальные СМО с отказами Сделаем следующие предположения относительно таких систем входной поток пуассоновский время обслуживания распределено по экспоненциальному закону время обслуживания не зависит от входного потока все линии обслуживания работают независимо. Будем считать, что система содержит некоторое количество линий обслуживания s. Она может находиться в состояниях ЕЕ, ЕЕ. Е. Расчёт переходных вероятностей показывает, что из каждого из свободных состояний система может переходить в соседнее состояние, либо в такое же, в каком была. Для нахождения вероятностей используется следующая формула P k = φ k /k!*P 0 , φ = λ/μ, где k = 1, 2, ... Так как сумма всех вероятностей составляет 1, то Отсюда следуют формулы Увеличение коэффициента загрузки системы ведет к увеличению вероятности отказа системы. Это не устраивает потребителей. Уменьшение вероятности отказа системы может быть достигнуто за счёт увеличения количества линий обслуживания. Однако резкое увеличение количества линий не устраивает организатора, потому что ведёт к дополнительным затратам на приобретение новых линий обслуживания, и увеличивает вероятность простоя линий. Расчет показывает, что среднее число свободных линий обслуживания ρ = s-φ(1-P s ). Теперь ясно, что при сильном увеличении количества линий обслуживания, увеличится среднее число простаивающих линий. Таким образом, мы имеем дело с двумя противоположными тенденциями. Задача сводится к выбору оптимального варианта. С этой целью будем минимизировать функцию стоимости СМО – С. Если через с мы обозначим стоимость одного отказа (организатор системы платит штраф за каждый отказа через с – стоимость простоя одной линии за единицу времени, то функция стоимости будет иметь следующий вид C(s) = c 1 λP s +c 2 ρ. Или в развернутом виде Сначала с увеличением s она убывает, а затем растёт. Наша задача состоит в том, чтобы найти её минимум. Пример Какое оптимальное число линий обслуживания должна иметь СМО, если известно, что λ = 2, μ = 1, c 1 = 5, c 2 = 1. Решение φ = λ/μ = 2, C(s) = 5*2*2 s /s!(1+2+4/2!+…+2 s /s!)+1*(s-2(1-P s )), P 1 = φ/(1+φ) =2/3, C(1) = 5*2*2/1(1+2)+1(1-2(1-2/3)) = 7. Аналогично имеем C(2) = 4,8; C(3) = 3,5; C(4) = 3,1; C(5) = 3,44. Таким образом, минимум функции стоимости достигается прите. оптимальное число линий обслуживания – 4. Многоканальные СМО с ожиданием Предположения относительно систем, введенные ранее, остаются в силе. Изучение системы ведется по обычной схеме 1. Выясняются возможные состояния системы (здесь их бесконечное множество. 2. Находятся переменные вероятности. 34 3. Составляется система уравнений для нахождения Р – вероятностей пребывания системы в каждом из своих состояний. 4. Изучаем стационарный режим работы СМО. 5. Находятся все вероятности, через Р. Результат таков 6. Ведётся подсчет средних характеристик j – среднее количество занятых линий q – среднее число свободных линий Р > 0) – вероятность ожидания v – средняя длина очереди. j = φ; q = s-φ; P(w > 0) = φ s *P 0 /s!(1-φ/s); v = Пример Определить число взлетно-посадочных полос для самолётов с учетом требования, что вероятность ожидания Р > 0) должна быть меньше, чем 0,05. Интенсивность потока равна 27 требований в сутки и интенсивность линий обслуживания – 30 самолётов в сутки. Решение φ = λ/μ = 0,9. Используя приведенные выше формулы, имеем s = 1: P 0 = (1+0,9+0,81/(1(1-0,9))) -1 = 0,1, P(w > 0) = 0,9*0,1/(1- 0,9) = 0,9; s = 2: P 0 = 0,380, P(w > 0) = 0,276; s = 3: P 0 = 0,403, P(w > 0) = 0,07; s = 4: P 0 = 0,456, P(w > 0) = 0,015. Таким образом, надо устраивать 4 взлетно-посадочные полосы. Вариант 1 1. Техническое устройство состоит из трёх узлов ив любой момент времени может находиться водном из восьми состояний (рис. Численные значения интенсивности потоков событий 1 =2; 2 =2; 3 =1; 1 =4; 2 =4; 3 =2. Найдите финальные вероятности сосотояний устройства. 2. Интенсивность потока автомобилей, поступающих на моечную станцию (одноканальная СМО) – 5 автомобиля в часа интенсивность обслуживания – 6 автомобилей в час. Предполагая, что станция работает в стационарном режиме, найти среднее число автомобилей, находящихся на станции, среднюю длину очереди и среднее время ожидания обслуживания. 3. Какое оптимальное число линий обслуживания должна иметь СМО, если λ = 3, μ = 2, c 1 = 4, c 2 = 2. 4. Определить число взлетно-посадочных полос для самолётов с учетом требования, что вероятность ожидания Р > 0) должна быть меньше, чем 0,06. Интенсивность потока равна 28 требований в сутки и интенсивность линий обслуживания – 32 самолётов в сутки. Вариант 2 1. Техническое устройство состоит из трёх узлов ив любой момент времени может находиться водном из восьми состояний (рис. Численные значения интенсивности потоков событий 1 =2; 2 =1; 3 =1; 1 =4; 2 =2; 3 =2. Найдите финальные вероятности сосотояний устройства. 2. Интенсивность потока автомобилей, поступающих на моечную станцию (одноканальная СМО) – 6 автомобиля в часа интенсивность обслуживания – 7 автомобилей в час. Предполагая, что станция работает в стационарном режиме, найти среднее число автомобилей, находящихся на станции, среднюю длину очереди и среднее время ожидания обслуживания. 3. Какое оптимальное число линий обслуживания должна иметь СМО, если λ = 4, μ = 2, c 1 = 5, c 2 = 2. 4. Определить число взлетно-посадочных полос для самолётов с учетом требования, что вероятность ожидания Р > 0) должна быть меньше, чем 0,06. Интенсивность потока равна 30 требований в сутки и интенсивность линий обслуживания – 34 самолётов в сутки. Вариант 3 1. Техническое устройство состоит из трёх узлов ив любой момент времени может находиться водном из восьми состояний (рис. Численные значения интенсивности потоков событий 1 =1; 2 =2; 3 =2; 1 =4; 2 =4; 3 =4. Найдите финальные вероятности сосотояний устройства. 36 2. Интенсивность потока автомобилей, поступающих на моечную станцию (одноканальная СМО) – 4 автомобиля в часа интенсивность обслуживания – 5 автомобилей в час. Предполагая, что станция работает в стационарном режиме, найти среднее число автомобилей, находящихся на станции, среднюю длину очереди и среднее время ожидания обслуживания. 3. Какое оптимальное число линий обслуживания должна иметь СМО, если λ = 2, μ = 1, c 1 = 3, c 2 = 2. 4. Определить число взлетно-посадочных полос для самолётов с учетом требования, что вероятность ожидания Р > 0) должна быть меньше, чем 0,08. Интенсивность потока равна 28 требований в сутки и интенсивность линий обслуживания – 32 самолётов в сутки. Вариант 4 1. Техническое устройство состоит из трёх узлов ив любой момент времени может находиться водном из восьми состояний (рис. Численные значения интенсивности потоков событий 1 =2; 2 =2; 3 =2; 1 =2; 2 =2; 3 =4. Найдите финальные вероятности сосотояний устройства. 2. Интенсивность потока автомобилей, поступающих на моечную станцию (одноканальная СМО) – 8 автомобиля в часа интенсивность обслуживания – 9 автомобилей в час. Предполагая, что станция работает в стационарном режиме, найти среднее число автомобилей, находящихся на станции, среднюю длину очереди и среднее время ожидания обслуживания. 3. Какое оптимальное число линий обслуживания должна иметь СМО, если λ = 7, μ = 8, c 1 = 4, c 2 = 2. 4. Определить число взлетно-посадочных полос для самолётов с учетом требования, что вероятность ожидания Р > 0) должна быть меньше, чем 0,06. Интенсивность потока равна 18 требований в сутки и интенсивность линий обслуживания – 22 самолётов в сутки. Контрольные вопросы 1. Дайте определение марковскому процессу. 37 2. Какие типы неопределенностей встречаются. 3. Дайте определение потоку событий. 4. Как составить уравнения Колмогорова. 5. Какие виды СМО Вызнаете. При каких предположениях изучаются одноканальные СМО с отказами 7. Почему стационарный режим в одноканальных СМО с ожиданием существует только при условии φ > 0? Какие средние характеристики можно рассчитать в одноканальных СМО с ожиданием Практическая работа № 4 Решение задач массового обслуживания методами имитационного моделирования Цель занятия Научиться оценивать надежность простейших систем методом Монте-Карло; Научиться рассчитывать СМО с отказами методом Монте-Карло. Методические указания к выполнению заданий практического занятия Суть имитационного моделирования Имитационное моделирование – получение экспериментальной информации о сложном объекте, которая не может быть получена иным путем, как экспериментируя сего моделью на ПЭВМ. Как остроумно подметил Ю. Адлер, сочетание слов имитация и моделирование недопустимо и является тавтологией. Но, рассматривая исторический процесс формирования этого термина, пришли к выводу, что это словосочетание определяет в моделировании такую область, которая относится к получению экспериментальной информации о сложном объекте, которая не может быть получена иным путем, как экспериментируя сего моделью на ПЭВМ. Имитационный объект имеет вероятностный характер функционирования. Для исследователя представляют интерес выводы, носящие характер статистических показателей, оформленных, может быть, даже в виде графиков или таблиц, в которых каждому варианту исследуемых параметров поставлены в соответствие определенные средние значения с набором характеристик их распределения, без получения зависимости в аналитическом виде. Эта особенность является и достоинством, и одновременно, недостатком имитационным моделей. Достоинство в том, что резко расширяется класс изучаемых объектов, а недостаток – в отсутствии простого управляющего выражения, позволяющего прогнозировать результат повторного эксперимента. Нов реальной жизни также невозможно для сколько-нибудь сложного объекта получить точное значение экономического показателя, а только лишь его ожидаемое значение с возможными отклонениями. Главной функцией имитационной модели является воспроизведение с заданной степенью точности прогнозируемых параметров её функционирования, представляющих исследовательский интерес. Как объект, таки его модель, должны обладать системными признаками. Функционирование объекта характеризуется значительным числом параметров. Особое место среди них занимает временной фактор. В большинстве моделей имеется возможность масштабирования или введения машинного времени, те. интервала, в котором остальные параметры системы сохраняют свои значения или заменяются некоторыми обобщенными величинами. Таким образом, за счет этих двух процессов – укрупнения единицы временного интервала и расчета событий этого интервала за зависящий от мощности ПЭВМ временной промежуток – и создается возможность прогноза и расчета вариантов управленческих действий. Метод Монте-Карло Неопределённость в предыдущих темах была стохастической. Поэтому строили аналитическую математическую модель и требовали, чтобы в данных задачах, рассматриваемые процессы были марковскими. На практике это не всегда выполняется и тогда требуется использовать методы имитационного моделирования. Что это такое рассказывалось в предыдущем параграфе, а теперь поговорим о самих методах имитационного моделирования. Метод Монте-Карло является методом статистического моделирования или имитационного моделирования. Метод Монте-Карло – это численный метод решения задач при помощи моделирования случайных величин. Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1948 г. Создателями метода считают математиков Дж. Неймана и С. Улама. Теоретическая основа метода была известна давно. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти широкого применения. Самоназвание метода происходит от названия города Монте- Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка. Возникает вопрос помогает ли метод Монте-Карло выигрывать в рулетку Нет, не помогает. И даже не занимается этим. Идея метода чрезвычайно проста и состоит в следующем. Вместо того чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата, проводится розыгрыш случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. Реализация случайного процесса каждый раз складывается по-разному, темы получаем различные исходы рассматриваемого процесса. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики. После такой обработки можно получить вероятность события, математическое ожидание и т. д. При помощи метода Монте-Карло может быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он является тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета. Оценка надежности простейших систем методом Монте- Карло Пример Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Система оказывает при отказе хотя бы одного блока. Первый блок содержит два элемента А, Вони соединены параллельно) и оказывает при одновременном отказе обоих элементов. Второй содержит один элемент Си отказывает при отказе этого элемента. а) Найти методом Монте-Карло оценку Р надежности вероятности безотказной работы) системы, зная вероятности безотказной работы элементов Р (АР (В, Р (С б) найти абсолютную погрешность Р-Р * , где Р- надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 50 испытаний. Решение а) Выбираем из таблицы приложения (равномерно распределенные числа три случайных числа 0,10, 0,09 и 0,73; по правилу *) (если случайное число меньше вероятности события, то событие наступило если случайное число больше или равно вероятности события, то событие не наступило) разыграем события А, В, С, состоящие в безотказной работе соответственно элементов А, В, С. Результаты испытания будем записывать в расчетную таблицу . Поскольку Р Аи, то событие наступило, те. элемент А в этом испытании работает безотказно. Так как Р (В и 0,09< 0,85, то событие В наступило, те. элемент В работает безотказно. Таким образом, оба элемента первого блока работают следовательно, работает и сам первый блок. В соответствующих клетках табл. ставим знак плюс. Таблица № испытания Блок Случайные числа, моделирующие элементы Заключение о работе элементов блоков системы А В С А В С 1 Первый Второй 0,1 0 0,0 9 0,7 3 + + - + - - 2 Первый Второй 0,2 5 0,3 3 0,7 6 + + - + - - 3 Первый Второй 0,5 2 0,0 1 0,3 5 + + + + + + 4 Первый Второй 0,8 6 0,3 4 0,6 7 - + - + - - Так как Р Сито событие Сне наступило, те. элемент с получает отказ Другими словами, второй блока значит и вся система, получают отказ. В соответствующих клетках табл. 57 ставим минус. Аналогично разыгрываются и остальные испытания. В табл. приведены результаты четырех испытаний. Произведя 50 испытаний, получим, что виз них система работала безотказно. В качестве оценки искомой надежности Р примем относительную частоту Р * =28/50=0,56. б) Найдем надежность системы Р аналитически. Вероятности безотказной работы первого и второго блоков соответственно равны 6 0 ) ( , 97 0 15 0 * 2 0 1 ) ( * ) ( 1 Вероятность безотказной работы системы P=P 1 *P 2 =0,97*0,6=0,582 Искомая абсолютная погрешность Р-Р * =0,582-0,56=0,022. Расчет СМО с отказами методом Монте-Карло Пример В трехканальную систему массового обслуживания с отказом поступает пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону f( )=5e -5 . Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,5 мин. Найти методом Монте-Карло математическое ожидание а числа обслуженных заявок за время Тмин. Решение Пусть Т- момент поступления первой заявки. Заявка поступит в первый канал и будет им обслужена. Момент окончания обслуживания первой заявки Т. В счетчик обслуженных заявок записываем единицу. Моменты поступления последующих заявок найдем по формуле Т Т, где - длительность времени между двумя последовательными заявками с номерами -1 и Возможные = - (1/ ) ln r i = = (1/ )(- ln r i ). Учитывая, что, по условию, =5, получим =0,2 (- ln r i ). Случайные числа r i берем из таблицы приложения, начиная с первой строки сверху. Для нахождения времени между поступлениями первой и второй заявок возьмем случайное число r=0,10. Тогда 2 =0,2*(-ln 0,10)=0,2*2,30=0,460. Первая заявка поступила в момент T 1 =0. Следовательно, вторая заявка поступила в момент T 2 = T 1 +0,4600+0,460=0,460. В этот момент первый канал еще занят обслуживанием первой заявки, поэтому вторая заявка поступит во второй и будет им обслужена. Момент окончания обслуживания второй заявки T 2 +05=0,460+0.5=0.960 . В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу. Поочередному случайному числу r=0.09 разыграем время между поступлениями второй и третьей заявок 3 =0,2(-ln 0,09)=0,2*2,41=0,482. Вторая заявка поступила в момент T 2 = 0,460 . Поэтому третья заявка поступила в момент T 3 = T 2 +0,482=0,460+0,482=0,942. В этот момент первый канал уже свободен и третья заявка поступит в первый канал. Момент окончания обслуживания третьей заявки В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу. Дальнейший расчет производят аналогично (табл. 59), причем если момент поступления заявки все каналы заняты (момент поступления заявки меньше каждого из моментов окончания обслуживания, тов счетчик отказов добавляют единицу. Заметим, что обслуживание й заявки закончится в момент 4 148,>4, поэтому эта заявка получает отказ. Испытание прекращают (в таблице записывают стоп, если момент поступления заявки T>4. Таблица номер заявки Случайное число Время между двумя последовательными заявками i =0,2(-ln r i ) Момент поступления заявки T i = T i- 1 + i Момент T i +0,5 окончания обслуживания заявки каналом Счетчик 1 2 3 Обслуженных заявок отказов 0,482 0,942 1, 44 2 1 4 0,73 0, 32 0,064 1,006 1, 50 6 1 5 0,25 1, 39 0,278 1,284 1,7 84 1 6 0,33 1, 11 0,222 1,506 2, 00 6 1 7 0,76 0, 27 0,054 1,560 2, 06 0 1 8 0,52 0, 65 0,130 1,690 1 9 0,01 4, 60 0,920 2,610 3, 11 0 1 10 0,35 1, 05 0,210 2,820 3, 32 0 1 11 0,86 0, 15 0,030 2,850 3,3 50 1 12 0,34 1, 08 0,216 3,066 1 13 0,67 0, 40 0,080 3,146 3, 64 6 1 14 0,35 1, 05 0,210 3,356 3, 85 6 1 15 0,48 0, 0,146 3,502 4,0 1 44 73 02 16 0,76 0, 27 0,054 3,556 1 17 0,80 0, 22 0,044 3,600 1 18 0,95 0, 05 0,010 3,610 1 19 0,90 00 ,1 0 0,020 3,630 1 20 0,91 0, 09 0,018 3,64 8 4, 14 8 1 21 0,17 1, 77 0,354 4,00 2 стоп) итого Х 8 Из таблицы находим, что за 4 мин всего поступило 20 заявок обслужено x 1 =12. Выполним аналогично еще пять испытаний, получим x 2 =15, x 3 =14, x 4 =12, x 5 =13, x 6 =15. В качестве оценки искомого математического ожидания а числа обслуженных заявок примем выборочную среднюю a х. Задания Вариант 1 1. Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Первый блок содержит три элемента А, В, С, а второй- два элемента D, E. Элементы каждого блока соединены параллельно. а) Найти методом Монте-Карло оценку Р надежности системы, зная вероятности безотказной работы элементов Р(А)=0,8; Р(В)=0,9; Р(С)=0,85; Р P(E)=0,6; б) найти абсолютную погрешность Р-Р * , где Р- надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 15 испытаний. 2. В двухканальную систему массового обслуживания с отказом поступает пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону f( )=4e -4 . Длительность обслуживания каждой заявки равна 1 мин. Найти методом Монте-Карло математическое ожидание а числа обслуженных заявок за время Тмин. Вариант 2 1. Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Первый блок содержит два элемента А, В, второй- три элемента С, D, E. Элементы первого и второго блоков соединены параллельно. а) Найти методом Монте-Карло оценку Р надежности системы, зная вероятности безотказной работы элементов Р(А)=0,8; Р(В)=0,9; Р(С)=0,7; Р P(E)=0,8; б) найти абсолютную погрешность Р-Р * , где Р - надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 15 испытаний. 2. В трехканальную СМО с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону f( )=0,8e - 0,8 ; время обслуживания заявок 1,5 мин. Найти методом Монте-Карло математическое ожидание а числа обслуженных заявок за время Тмин. Вариант 3 1. Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Первый блок содержит три элемента А, В, С, а второй- два элемента D, E. Элементы каждого блока соединены параллельно. а) Найти методом Монте-Карло оценку Р надежности системы, зная вероятности безотказной работы элементов Р(А)=0,9; Р(В)=0,5; Р(С)=0,95; Р P(E)=0,7; б) найти абсолютную погрешность Р-Р * , где Р- надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 15 испытаний. 2. В двухканальную систему массового обслуживания с отказом поступает пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону f( )=5e -5 . Длительность обслуживания каждой заявки равна 1,5 мин. Найти методом Монте-Карло математическое ожидание а числа обслуженных заявок за время Тмин. Вариант 4 1. Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Первый блок содержит два элемента А, В, второй- три элемента С, D, E. Элементы первого и второго блоков соединены параллельно. а) Найти методом Монте-Карло оценку Р надежности системы, зная вероятности безотказной работы элементов Р(А)=0,8; Р(В)=0,7; Р(С)=0,8; Р P(E)=0,6; б) найти абсолютную погрешность Р-Р * , где Р - надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 15 испытаний. 2. В трехканальную СМО с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону f( )=8 e -8 ; время обслуживания заявок мин. Найти методом Монте- Карло математическое ожидание а числа обслуженных заявок за время Тмин. Контрольные вопросы 1. В чем заключается суть имитационного моделирования 2. В чем заключаются достоинства и недостатки такого типа моделирования 3. Как применяется метод Монте-Карло? Какие способы получения случайных величин Вызнаете Практическая работа №5 Построение прогнозов Цель занятия 1. Научиться применять МНК для линейного сглаживания данные. 2. Научиться сглаживать данные с помощью квадратичной функции. Методические указания к выполнению заданий практического занятия Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений. Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение параметров функциональной зависимости из условия минимума суммы квадратов отклонений. 1. Если ) (x f - линейная функция, те. b ax y , то n i i i y b ax S 1 2 , неизвестные параметры определяются из системы , 1 1 1 1 1 2 n i i n i i n i i i n i i n i i y nb x a y x x b x a (1) Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул. Система (1) называется системой нормальных уравнений. 48 2. Если ) (x f - квадратичная функция, те. c bx ax y 2 , то n i i i i y c bx ax S 1 2 2 , неизвестные параметры определяются из системы нормальных уравнений , , 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 4 n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i y nc x b x a y x x c x b x a y x x c x b x a (2) Пример 1. С помощью МНК подобрать параметры a и b линейной функции b ax y , приближенно описывающей следующие опытные данные. Построить полученную прямую и исходные точки водной системе координат. x 0 1 1,5 2,1 3 y 2,9 6,3 7,9 10 13,2 Решение Параметры a и b искомой функции найдем из системы нормальных уравнений. Для этого перепишем ее в следующем виде , 1 1 1 1 1 Для решения задачи составим таблицу. i x i y 2 i x i i y x 1 0 2,9 0 0 49 2 1,0 6,3 1 6,3 3 1,5 7,9 2,25 11,85 4 2,1 10,0 4,41 21 5 3,0 13,2 9,0 39,6 ∑ 7,6 40,3 16,66 78,75 Тогда система нормальных уравнений примет вид 3 , 40 5 6 , 7 75 , 78 6 , 7 Решим систему. Для этого выразим b из второго уравнения 6 , 7 3 , 40 5 b 5 / 6 , 7 Подставим в первое уравнение 75 , 78 6 , 7 3 , 40 5 6 , 7 66 , 16 a a 75 , 78 552 , 11 25 , 61 66 , 16 a b a 494 , 17 Отсюда 86 , 2 5 42 , 3 6 , 7 Итаки, следовательно, искомая функция имеет вид 86 , 2 Построим полученную прямую и исходные точки водной системе координат. Вывод Так как исходные данные и полученная прямая расположены близко друг к другу, то аппроксимирующая функция найдена правильно. Задание Задание 1. С помощью МНК подобрать параметры a и b линейной функции b ax y , приближенно описывающей следующие опытные данные. Построить полученную прямую и исходные точки водной системе координат. вариант |