МДК 02.03. ПР. 2021. Методические указания по выполнению практических работ для студентов iv курса очной формы обучения специальности
 Скачать 1.49 Mb.
|
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Братский педагогический колледж федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования Братский государственный университет МДК 02.03. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ методические указания по выполнению практических работ для студентов IV курса очной формы обучения специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование Автор А.В. Конаков Братск, 2021 Математическое моделирование. Методические рекомендации по выполнению практических работ Сост. А.В. Конаков - Братск, 2021. - 57 с. Содержат указания к выполнению практических работ по дисциплине Математическое моделирование. В практических работах содержатся основные теоретические сведения, касающиеся выполнению заданий по математическому и визуальному моделированию. Предназначены для студентов специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование Печатается по решению научно-методического совета Братского педагогического колледжа ФГБОУ ВО «БрГУ» 665709, г. Братск, ул. Макаренко 40 СОДЕРЖАНИЕ Пояснительная записка 2 Практическая работа № 1 Сведение произвольной задачи линейного программирования к основной задаче линейного программирования 6 Практическая работа № 2 Решение задачи о максимальном потоке 13 Практическая работа № 3 Составление систем уравнений Колмогорова. Нахождение финальных вероятностей. Нахождение характеристик простейших систем массового обслуживания 19 Практическая работа № 4 Решение задач массового обслуживания методами имитационного моделирования 37 Практическая работа № 5 Построение прогнозов 47 Практическая работа № 6 Решение матричной игры методом итераций 52 Рекомендуемая литература 57 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Методические указания к выполнению практических занятий по дисциплине Математическое моделирование предназначены для закрепления теоретических знаний, полученных на лекциях, а также для овладения студентами умений и навыков применять эти знания при самостоятельной работе. Перечень практических занятий соответствует рабочей программе по дисциплине Математическое моделирование Выполнение студентами практических занятий по дисциплине проводится с целью закрепления полученных теоретических знаний по дисциплине углубления теоретических знаний в соответствии с заданной темой формирования умений решать практические задачи развития самостоятельности, ответственности и организованности формирования активных умственных действий студентов, связанных с поисками рациональных способов выполнения заданий подготовки к экзамену. Методические указания выполняют функцию управления самостоятельной работой студента, поэтому каждое занятие имеет унифицированную структуру, включающую определение целей занятия, оснащения занятия, порядок выполнения работы, а также задания и контрольные вопросы для закрепления темы. Содержание заданий практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессионального модуля разработанного на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности среднего профессионального образования (далее СПО) 09.02.07 Информационные системы и программирование, входящей в укрупненную группу специальностей 09.00.00 Информатика и вычислительная техника и овладению профессиональными компетенциями: ПК 2.1. Разрабатывать требования к программным модулям на основе анализа проектной и технической документации на предмет взаимодействия компонент. 5 ПК 2.2. Выполнять интеграцию модулей в программную систему. ПК 2.3. Выполнять отладку программного продукта с использованием специализированных программных средств. ПК 2.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев. ПК 2.5. Производить инспектирование компонент программного продукта на предмет соответствия стандартам кодирования. В методических указаниях приведены теоретический справочный) материал в соответствии с темой занятия, обращение к которому поможет выполнить задания. Практическая работа №1 Сведение произвольной задачи линейного программирования к основной задаче линейного программирования Цели занятия 1. Отработать и закрепить умения записывать условие задачи в виде математических формул. 2. Отработать и закрепить умения записывать взаимосвязь показателей задачи в виде математической модели. Методические указания к выполнению заданий практического занятия Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств требование неотрицательности переменных. Таким образом, экономико-математическая формулировка и модель общей задачи линейного программирования имеют следующий вид найти максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции при условиях-ограничениях: ) 4 ( , ; , 1 , 0 ) 3 ( ; , , 1 , ) 2 ( , 1 , 1 где a ij , b i , c j – заданные постоянные величины. Пример Фирма выпускает 2 вида мороженного сливочное и шоколадное. Для изготовления используются 2 исходных продукта молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженного и суточные запасы исходных продуктов даны в таблице. Исходный продукт Расход исходных продуктов на 1 кг мороженного Запас, кг Сливочное Шоколадное Молоко 0.8 0.5 400 Наполнители 0.4 0.8 365 Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженное превышает спрос на шоколадное мороженное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженное не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженного 16 ден.ед., шоколадного - 14 ден.ед. Определить количество мороженого каждого вида, которое должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным. Решение Составляем математическую модель задачи. Вводим обозначения (переменные величины х 1 – суточный объем выпуска сливочного мороженного, кг х 2 - суточный объем выпуска шоколадного мороженного, кг Целевая функциях х 2 →max при ограничениях 0.8 х 1 + 0.5 х 2 ≤ 400 (ограничение по молоку 0.4 х 1 + 0.8 х 2 ≤ 365 (ограничение по наполнителям х 1 + х 2 ≤ 100 (рыночное ограничение по спросу х 2 ≤ 350 (рыночное ограничение по спросу х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0 Вариант 1 Задание построить математическую модель к задаче, пояснить условные обозначения. 1. Рацион кормления коров на ферме состоит из х продуктов, содержащих белки, кальций и витамины. Потребность одной коровы в сутки – не менее 2000 г белков и 210 г кальция. Потребность в витаминах строго дозирована и составляет 0,087 г в сутки. Содержание питательных веществ Белки г/кг Кальций г/кг Витамины г/кг Сено 50 10 2 Силос 70 6 3 Концентраты 180 3 1 Составить самый дешевый рацион, если цена 1 кг сена, силоса и концентратов составляет соответственно 1,5 2,0 6,0 у.е. 2. Завод производит продукцию х типов П, П, П. Для производства каждого изделия необходимо 3 технологические операции ООО. Вдень можно производить не более 170 единиц продукции. Найти наиболее прибыльный план производства. Операции Объем работ на 1 изделие (чел.-час) Дневной фонд времени, час П П ПО О 1 2 3 240 О 1 1 2 180 Прибыль от го изделия, $ 15 22 19 В какой операции наиболее целесообразны сверхурочные работы, максимально увеличивающие фонд рабочего времени, если их стоимость $4 (чел.-час)? 3. Фирма производит для автомобилей запасные части типа Аи В. Фонд рабочего времени составляет 5000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа А требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа В - 2 чел.-ч. Производственная мощность позволяет выпускать максимум 2500 деталей типа Аи деталей типа В в неделю. Для производства детали типа А уходит 2 кг полимерного материала и 5 кг листового материала, а для производства одной детали типа В — 4 кг полимерного материала и 3 кг листового металла. Еженедельные запасы каждого материала - по 10 000 кг. Общее число производимых деталей в течение одной недели должно составлять не менее 1500 штук. Определите, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы обеспечить максимальный доход от продажи за неделю, если доход от продаж одной детали типа Аи В составляет соответственно 1,1 руби руб. Вариант 2 Задание построить математическую модель к задаче, пояснить условные обозначения. 1. Туристская фирма в летний сезон обслуживает в среднем 7500 туристов и располагает флотилией из двух типов судов, характеристики которых представлены в таблице. В месяц выделяется 60 000 т горючего. Потребность в рабочей силе не превышает 700 человек. Определите количество судов I и II типа, чтобы обеспечить максимальный доход, который составляет от эксплуатации судов I типа 20 млн руб, а II типа - 10 млн руб. в месяц. 2. Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен употреблять в сутки некоторое количество белков, жиров, углеводов и витаминов. Имеются два вида пищи I и II. Содержание питательных веществ в I кг пищи, суточная норма и стоимость одного кг пищи каждого вида даны в таблице. Питательные вещества Вид пищи Суточная норма I II Жиры Белки Углеводы Витамины 1 4 2 0 10/3 2 2/8 1 10 12 14 1 Стоимость 1 кг 20 коп. 24 коп. —— Как нужно организовать питание, чтобы пища содержала необходимое количество питательных вещества стоимость была бы минимальной 3. Обработка деталей Аи В может производиться на трех станках. Причем каждая деталь при ее изготовлении должна последовательно обрабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации детали Аден. ед, детали В – 160 ден. ед. Исходные данные приведены в таблице. Определить производственную программу, максимизирующую прибыль при условии спрос на деталь Ане менее 300 шт, на деталь Вне более 200 шт. Станок Норма времени на обработку одной детали, ч Время работы станка, ч А В 1 0,2 0,1 100 2 0,2 0,5 180 3 0,1 0,2 100 Вариант 3 Задание построить математическую модель к задаче, пояснить условные обозначения. 1. В процессе производства два изделия Аи В должны пройти обработку на станках I, II и III. Время обработки каждого изделия на каждом из этих станков задано таблицей Станки Изделия I II III А В 1 1/4 4 2 1 4 Станки можно использовать соответственно в течение 45, 100 и 60 часов. Продажная цена изделия А рублей, а изделия В рубля. В каком соотношении следует производить изделия Аи В, чтобы получить максимальную прибыль 2. Малое предприятие арендовало минипекарню для производства чебуреков и беляшей. Мощность пекарни позволяет выпускать вдень не более 50 кг продукции. Ежедневный спрос на чебуреки не превышает 260 штука на беляши — 240 штук. Суточные запасы теста и мяса и расходы на производство каждой единицы продукции приведены в таблице. Определить оптимальный план ежедневного производства чебуреков и беляшей, обеспечивающих максимальную выручку от продажи. Расход на производство, кг/шт. Суточные запасы сырья, кг чебурека беляша Мясо 0,35 0,6 21 Тесто 0,65 0,3 22 Цена, руб-/кг 50,0 80,0 3. АО Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Необходимые исходные данные приведены в таблице. Составить оптимальный план загрузки оборудования, обеспечивающий заводу максимальную прибыль. Оборудование Деталь Полезный фонд времени, станко-ч 1 2 Технологический способ 12 1 2 1 2 Фрезерное 2 2 3 0 20 Токарное 3 1 1 2 37 Сварочное 0 1 1 4 30 Прибыль, ден.ед 11 6 9 6 Вариант 4 Задание построить математическую модель к задаче, пояснить условные обозначения. 1. Фирма производит и продает столы и шкафы из древесины хвойных и лиственных пород. Расход каждого видав кубометрах на каждое изделие задан в таблице. Расход древесины,м 3 Цена изделия, тыс. руб. хвойные лиственные Стол 0,15 0,2 0,8 Шкаф 0,3 0,1 1.6 Запасы древесины, м 80 40 Определите оптимальное количество столов и шкафов, которое следует поставлять на продажу для получения максимального дохода фирмы. 2. Фирма решила открыть на основе технологии производства чешского стекла, фарфора и хрусталя линию по изготовлению ваз и графинов и их декорирование. Затраты сырья на производство этой продукции представлены в таблице. Сырье Расход сырья на производство Поставки сырья в неделю, кг ваза графин Кобальт 20 18 30 Сусальное 24- каратное золото 13 10 12 Оптовая цена, руб./шт. 700 560 Определите оптимальный объем выпуска продукции, обеспечивающий максимальный доход от продаж, если спрос на вазы не превышает 200 шт. в неделю. 3. Фирма производит два безалкогольных широко популярных напитка Колокольчики «Буратино». Для производства 1 л. Колокольчика требуется 0,02 ч работы оборудования, а для «Буратино» - 0,04 ч, а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 л Колокольчика составляет 0,25 руб, а «Буратино» - 0,35 руб. Определите ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи. Контрольные вопросы 1. Что такое математическое моделирование 2. Что такое модель 3. Классификация моделей. 4. Алгоритм моделирования в задачах коммерческой деятельности. Классификация математических моделей. Практическая работа № 2 Решение задачи о максимальном потоке Цели занятия 1. Отработать и закрепить умения графически решать системы неравенств с двумя переменными. 2. Отработать и закрепить умения записывать взаимосвязь показателей задачи в виде математической модели. Методические указания к выполнению заданий практического занятия Решение системы неравенств с двумя переменными графическим методом включает следующие этапы. 1. На плоскости Х 1 ОХ 2 строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств. 2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из неравенств. 3. Строят многоугольник решений. Пример Решить систему неравенств графическим способом. 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 6 ( ) 2 8 ( ) 0.8 5 ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 0, 0 X X а X X б X X в P X X г д X е X X Решение Шаг 1. Строим область допустимых решений - область Рте. геометрическое место точек, в котором одновременно удовлетворяются все ограничения ЗЛП. Каждое из неравенств (ад) системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 6 ( ) 2 8 ( ) 0.8 5 ( ) ( ) 1 ( ) 2 X X а X X б X X в г X X д X Условия неотрицательности переменных (е) ограничивают область допустимых решений первым квадратом. Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных Решение системы – многоугольник ABCDEF. Вариант 1 1. Решить графически систему неравенства б) x 1 + x 2 ≤ 4 6x 1 + 2x 2 ≥ 6 x 1 + 5x 2 ≥ 5 x 1 ≥0, x 2 ≥0 2. Составить математическую модель задачи и найти решение системы ограничений Чулочно-носочная фирма производит и продает два вида товаров мужские носки и женские чулки. Фирма получает прибыль в размере 10 руб. от производства и продажи одной пары чулок ив размере 4 руб. от производства и продажи одной пары носков. Производство каждого изделия осуществляется на трех участках. Затраты труда (в часах) на производство одной пары указаны в следующей таблице для каждого участка Участок производства Чулки Носки 1 0,02 0,01 2 0,03 0,01 3 0,03 0,02 Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма ежедневно будет располагать следующими ресурсами рабочего времени на каждом из участков 60 ч на участке 1; 70 ч на участке 2 и 100 ч на участке 3. Сколько пар носков и чулок следует производить ежедневно, если фирма хочет максимизировать прибыль Вариант 2 1. Решить графически систему неравенства б) x 1 - x 2 ≤ 3 x 1 + x 2 ≤ 9 -x 1 + x 2 ≥ 3 x 1 + x 2 ≥ 3/2 x 1 ≥0, x 2 ≥0 2. Составить математическую модель задачи и найти решение системы ограничений После предпринятой рекламной компании фирма Отдых испытывает рост спроса на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе – газовые и угольные. Фирма заключила контракт на ежемесячную поставку в магазины 300 угольных и 300 газовых мангалов. Производство мангалов ограничивается мощностью следующих трех участков производства деталей, сборки и упаковки. В таблице показано, сколько человекочасов затрачивается на каждом участке на каждую единицу продукции, а также приведен допустимый ежемесячный объем трудозатрат: Участок Трудозатраты на производство одного мангала, ч Фонд времени, человекочасы угольного газового Производство 5 8 2600 Сборка 0,8 1,2 400 Упаковка 0,5 0,5 200 Вариант 3 1. Решить графически систему неравенства б) -x 1 + 3x 2 ≤ 9 2x 1 + 3x 2 ≤ 18 2x 1 - x 2 ≤ 10 x 1 ≥0, x 2 ≥0 2. Составить математическую модель задачи и найти решение системы ограничений Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудованием, необходимыми для производства любого из четырех видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы каждого вида товара и прибыль, получаемая предприятием, а также объем ресурсов указаны в таблице. Составить план выпуска товаров, дающий максимальную прибыль. Ресурсы Затраты ресурсов на 1 ед. товара Объем ресурсов 1 2 3 4 Сырье, кг 3 5 2 4 60 Рабочая сила, чел. 22 14 18 30 400 Оборудование, ст-ч 10 14 8 16 130 Прибыльна ед.товара, руб. 30 25 56 48 Вариант 4 |