Методичка 2 (1). Методическое пособие для выполнения расчётнографической работы Расчёт статически определимой консольной балки на прочность и жёсткость
 Скачать 0.51 Mb.
|
|
3. Пример выполнения РГР Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное образовательное учреждение Ставропольский государственный аграрный университет Факультет механизации сельского хозяйства Кафедра технологий и сопротивления материалов Расчётно – графическая работа №2 Расчёт статически определимой консольной балки на прочность и жёсткость (шифр 49089 ) Выполнил: студент 2-го курса ….-й групп пы факульте та………………………. …………………………………… Проверил: ……………………….. Ставрополь, 20.. г. Задание Для заданной статически определимой, однопролётной консольной стальной балки требуется: 1. Определить опорные реакции; 2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; 3. Из условия прочности при изгибе и одинаковом допускаемом напряжении на растяжение и сжатие подобрать следующие поперечные сечения балки: круг, квадрат, прямоугольник с размерами h · 3h, два швеллера, двутавр; сравнить найденные сечения по массе и выбрать оптимальную форму сечения балки; 4. Произвести полную проверку прочности двутавровой балки: 4.1. По нормальным напряжениям; 4.2. По касательным напряжениям; 4.3. По 3-й и 4-й гипотезам прочности. 5. Построить упругую линию балки, вычислив прогибы балки для начала, конца и середины каждого грузового участка и проверить жёсткость балки в пролёте балки и на её консоли, по величинам относительных прогибов fmax/l. Указание к п.6. Максимальные прогибы f max в пролёте и на консоли определить измерениями по графическому изображению линии прогибов. Допускаемое напряжение на растяжение и сжатие составляет значение [σ] = 160 МПа; - допускаемое касательное напряжение составляет значение [τ] = 80 МПа; - модуль упругости стали равен Е=2, 06·105 МПа; - допускаемая величина относительного прогиба равна [fmax/l]=1/400. Исходные данные
Примечание: в последней строке исходных данных в соответствующих столбцах размещается цифры шифра студента. (В представленном примере исполнения РГР цифры шифра и исходные данные могут не соответствовать друг другу).  1. Определение опорных реакций  Рис. 1 В исходной балке (рис.1) направим опорные реакцииRAиRB вверх и из уравнений равновесия балки, в виде равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на балку (  и  ), относительно опорных шарниров RAиRB .Примечание. Здесь и везде далее для удобства проверки сохраняется следующий порядок записи слева - направо: сосредоточенные моменты – сосредоточенные силы - распределённая нагрузка :5кН·м - 5кН·м – 10кН·м + 13кН·м +20кН·1,2 м - RB· 5 м – 13кН· 6,5 м + + 6кН/м·1,2м·0,6м -2 кН/м·3,8м·3,1м + 5 кН/м·1,5м·5,75м = 0. Отсюда после выполнения необходимых операций следует: RB= - 6,72 кН. Знак минус здесь говорит о том, что первоначально принятое направление опорной реакции RB следует изменить на противоположное. Поэтому на рис.1 внесены изменения, именно, крестообразно зачёркнута направление (стрелка) вверх и введено направление (стрелка) вниз. :5кН·м - 5кН·м – 10кН·м + 13кН·м+RA· 5 м - 20кН·3,0 м -– 13кН· 1,5 м - - 6кН/м·1,2м·4,4м +2 кН/м·3,8м·1,9м + 5 кН/м·1,5м·0,75м = 0. Отсюда после выполнения необходимых операций следует: RA = 20,82 кН. После определения обеих реакций производим арифметическую проверку правильности найденных значений путём проектирования всех действующих сил, включая опорные реакции, на ось У. Отсутствие ошибок в вычислении должно привести к равенству:  , в чём нетрудно убедиться:20,82 кН -20кН - 6,72 кН.+ 13кН - - 6кН/м·1,2м + 2 кН/м·3,8м - 5 кН/м·1,5м= 0. 2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов; Для построения эпюр внутренних сил определим грузовые участки и воспользуемся методом сечений. На рис. 1 показаны сечения 1-1, 2-2 и 3-3, проведённые на соответствующих грузовых участках. 2.1. Сечение 1-1. Проведём это сечение, отбросим правую часть балки и заменим её действие внутренними силами (рис.2).  Рис. 2 Поперечную силуQ1 направим в положительную сторону, а изгибающий момент М1 направим таким образом, чтобы сжатыми в месте сечения оказались верхние волокна балки. Из рис. 1 следует, что координата х лежит в интервале:  .Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы проекций сил, - имеет вид:20,82 кН – 6 кН/м·x- Q1 = 0. Отсюда следует: Q1 = 20,82 кН – 6 кН/м·x, (1) то есть в отмеченном интервале эпюра Q1– линейная функция со значениями: при х=0, Q1 = 20,82 кН; при х=1,2 м, Q1 = 20,82 кН– 6 кН/м·1,2м = 13,62 кН. Эта часть эпюры поперечных сил изображена на Рис. 5. Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы моментов всех сил относительно сечения 1-1, -  имеет вид:5кН·м – М1 + 20,82 кН·x- 6 кН/м·x·0,5·х =0. Отсюда следует: М1 = 5кН·м + 20,82 кН·x- 6 кН/м·x ·x·(х/2). (2) то есть в отмеченном интервале это уравнение квадратной параболы со значениями: при х=0, М1 = 5кН·м; при х=1,2 м, М1 = 5кН·м + 20,82 кН·1,2м– 6 кН/м·1,22м/2 = 25,66 кН·м.. Эта часть эпюры изгибающих моментов изображена на Рис. 6. Здесь не вычислялась промежуточная ордината эпюры, так как, судя по эпюре поперечных сил, внутри интервала нет экстремума, а направление выпуклости определяем по правилу «антипаруса». В заключении пункта 2.1. убедимся в выполнении дифференциальных зависимостей при изгибе на первом участке. Для этого продифференцируем выражения (1) и (2): dQ1/dx =d(20,82 кН – 6 кН/м·x)./dx = – 6 кН/м; dМ1/dx =d(5кН·м + 20,82 кН·x- 6 кН/м·x ·x·(х/2))./dx = 20,82 кН – 6 кН/м·x. 2.2. Сечение 2-2. Здесь тоже отброшена правая часть балки. Левая часть вместе с внутренними силами Q2 и М2 представлена на рис. 3.  Рис. 3 Из рис. 1 следует, что координата х лежит в интервале:  .Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы проекций сил, - имеет вид:20,82 кН – 20 кН - 6 кН/м·1,2м + 2 кН/м·(х-1,2м )– Q2 = 0. Отсюда следует: Q2 = 20,82 кН – 20 кН – 6 кН/м·1,2м + 2 кН/м·(х-1,2м ), (3) то есть в отмеченном интервале эпюра Q2– линейная функция со значениями: при х=1,2м, Q2 = 20,82 кН – 20 кН – 6 кН/м·1,2м = - 6,38 кН; при х=5 м, Q2 = 20,82 кН – 20 кН – 6 кН/м·1,2м + 2 кН/м·3,8м = 1,22 кН. Эта часть эпюры поперечных сил изображена на Рис. 5. Заметим, что эпюра пересекла ось, в точке пересечения Q2 = 0, то есть в этой точке на эпюре моментов следует ожидать экстремального значения. Поэтому имеет смысл для дальнейшего определить абсциссу точки пересечения. Обозначим расстояние от начала участка 2 (х=1,2м) до точки пересечения эпюры Q2 с осью символом d, тогда расстояние от точки пересечения эпюры Q2 с осью до конца участка 2 (х=5м) будет (3.8м – d). Ось и сама эпюра Q2 образуют на участке 2 образуют два подобных прямоугольных треугольника с катетами d и 6,38 кН для левого треугольника и (3.8м – d) и 1,22 кН для правого треугольника. Из условия подобия этих треугольников:  получим уравнение 24,24 м – 7,6d = 0 и искомое значение d = 3,19 м. Это расстояние показано на рис. 5. Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы моментов всех сил относительно сечения 2-2, -  имеет вид:5кН·м - 5кН·м – М2 + 20,82 кН·x - 20 кН·(x -1,2 м)- 6 кН/м·1,2 м · (x-0,6 м)+ + 2кН/м·(x – 1,2м)2/2 = 0. Отсюда следует: М2 = 20,82 кН·x - 20 кН·(x -1,2 м)- 6 кН/м·1,2 м · (x-0,6 м)+2кН/м·(x -1,2м)2/2. (4) В отмеченном выше интервале это квадратная парабола. Вычислим её значение в трёх точках интервала: в начале, при х= 1,2 м; в конце,при х= 5 м и в точке экстремума при х= 4,39 м. При х= 1,2 м: М2 = 20,82 кН·1,2 м - 6 кН/м·1,2 м · 0,6 м = 20,66 кН·м; при х= 5 м: М2=20,82 кН·5м -20 кН·3,8 м–6 кН/м·1,2 м · 4,4 м+2кН/м·(3,8м)2/2.=10,88кН·м.; при х= 4,39 м: М2 = 20,82 кН·4,39м - 20 кН· 3,19 м - 6 кН/м·1,2 м · 3,79 м+2кН/м·(3,19м)2/2= =.10,44кН·м.; Построение квадратной параболы осуществлено по трём найденным ординатам. Эта часть эпюры изгибающих моментов на втором грузовом участке представлена на Рис. 6. В заключении пункта 2.2. убедимся в выполнении дифференциальных зависимостей при изгибе на втором участке. Для этого продифференцируем выражения (3) и (4): dQ2/dx =d(20,82 кН – 20 кН – 6 кН/м·1,2м + 2 кН/м·(х-1,2м ))/dx = 2 кН/м; dМ2/dx =d(20,82 кН·x - 20 кН·(x -1,2 м)- 6 кН/м·1,2 м · (x-0,6 м)+2кН/м·(x -1,2м)2/2)./dx = 20,82 кН – 20 кН – 6 кН/м·1,2м + 2 кН/м·(х-1,2м ) 2,3. Сечение 3-3. Здесь отброшена левая часть балки. Правая часть балки вместе с внутренними силами Q3 и М3 представлена на рис. 4. Заметим, что положительное направление поперечной силы Q3 есть направление вверх, а направление изгибающего момента М3 отвечает сжатию верхних волокон балки.  Рис. 4 Из рис. 1 следует, что координата х для третьего грузового участка лежит в интервале:  .Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы проекций сил, - имеет вид:Q3 + 13 кН – 5 кН/м·(6,5м-x) = 0. Отсюда следует: Q3 = -13 кН + 5 кН/м·(6,5м-x), (5) то есть в отмеченном интервале эпюра Q3– линейная функция со значениями: при х= 5м, Q3 = -13 кН + 5 кН/м·1,5м = - 5,5 кН ; при х=6,5 м, Q3 = - 13 кН. Эта, последняя часть эпюры поперечных сил изображена на Рис. 5, таким образом, эпюра поперечных сил полностью построена. Уравнение равновесия отсечённой части балки в виде суммы моментов всех сил относительно сечения 3-3, -  имеет вид:М3 + 13кН·м – 13 кН· (6,5м-x) + 5 кН/м·(6,5м-x)2./2 =0. Отсюда следует: М3 = -13кН·м + 13 кН· (6,5м-x) - 5 кН/м·(6,5м-x)2./2, (6) то есть в отмеченном интервале это квадратная парабола со значениями: при х=5 м, М3 = -13кН·м + 13 кН· 1,5м - 5 кН/м·(1,5м)2./2 = 0,88 кН·м; при х=6,5 м, М3 = -13кН·м . Эта последняя часть эпюры изгибающих моментов изображена на Рис. 6. Здесь, как и в первом сечении, не вычислялась промежуточная ордината эпюры, так как, судя по эпюре поперечных сил, внутри интервала нет экстремума, а направление выпуклости определяется по правилу «антипаруса». В заключении пункта убедимся в выполнении дифференциальных зависимостей при изгибе на третьем участке. Продифференцируем выражения (5) и (6): dQ2/dx =d(-13 кН + 5 кН/м·(6,5м-x))/dx = -5 кН/м; dМ2/dx =d(-13кН·м + 13 кН· (6,5м-x) - 5 кН/м·(6,5м-x)2./2)./dx = -13 кН + 5кН/м·(6,5м-x) Примечание. При отсутствии надлежащего обоснования, для построения квадратной параболы на грузовом участке необходимо определять три значения ординат – по концам и в середине участка.  Рис. 5  Рис.6 Проверим правильность построения эпюр (рис 5 и 6): - все скачки на эпюрах соответствуют величинам и направлениям действия сосредоточенных нагрузок – сосредоточенным силам на эпюре поперечных сил и сосредоточенным моментам на эпюре изгибающих моментов; - по характеру изменения эпюр видно, что дифференциальные зависимости между изгибающими моментами и поперечными силами выполняются на каждом из участков. Таким образом, представленные расчёты и выполненные проверки дают основания считать, что эпюра поперечных сил (рис.5) и эпюра изгибающих моментов (рис.6) построены без ошибок. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||