Математический анализ для экономистов. Методическое пособие для заочной формы обучения. Выбор темы контрольной работы выбирается по первой букве фамилии студента и последней цифре номера зачетной книжки
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
Дифференциальное исчисление функции двух переменных Задание 1. Для функции двух переменных  , пользуясь правилами дифференцирования, найти производные:  .
Задание 2.Найти точки экстремума функции . Характеризовать их тип.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. Неопределенный интеграл Определение и основные свойства неопределенного интеграла Функция  называется первообразной функцией для  или интегралом для ,если производная от этой функции равна т.е.  .Выражение  , где  — произвольная постоянная, представляет собой общий вид функции, которая имеет производную или дифференциал  . Это выражение называется неопределенным интегралом и обозначается символом в котором неявным образом уже заключена произвольная постоянная. Произведение называется подынтегральным выражением, а функция — подынтегральной функцией.Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие свойства: 1.  2.  3. Свойство линейности   Таблица простейших интегралов
Приемы интегрирования Замена переменных в неопределенном интеграле Если  ,то тогда  . (4.1)Пусть требуется вычислить интеграл Выбирая в качестве новой переменной функцию  , такую что подынтегральное выражение представляется в виде Цель данного приема состоит к переходу более удобной для интегрирования функции  .Пример.  . Вводя  , получаем Интегрирование по частям Этот прием представляет сведение данного интеграла  к интегралу  с помощью формулы (4.2)Этот прием ведет к цели, если находится легче, чем .Это правило хотя и имеет более ограниченную область применения по сравнению с заменой переменной, существует целый класс функций, который интегрируется именно с помощью этого метода. Сюда можно отнести:    где  есть любое целое положительное число.Применение формулы (4.2) предусматривает последовательное понижение степени  до нулевой.Интегрирование простых дробей К простым дробям относятся 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  где  - действительные числа,  . Кроме того, трехчлен  не имеет действительных корней, т.е. Интегрирование (1) и (2) не представляет трудностей:  (4.3) (4.4)Для интегрирования дроби (3) применим метод замены переменной. Выделяя сначала из знаменателя полный квадрат  и прибегнув к подстановке  и обозначив  получаем    а сам интеграл  Возвращаясь обратно к переменной окончательно получаем: (4.5)Для случая (4) подстановка приводит Первый интеграл вычисляется подстановкой  ,  : (4.6)Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы  (4.7)где  Формула (4.7) позволяет вычислить искомый интеграл для любого натурального индекса  .Так как при   то по формуле (4.7) найдем  и т.д.Интегрирование дробно-рациональных функций Дробно-рациональной функцией (дробью) называется выражение вида  где  и  — многочлены степени  и , не имеющие общих корней, т.е. (4.8)Дробь (4.8) называется правильной если  ; неправильной в противном случае. Каждую неправильную дробь можно привести к правильной путем исключения целой части, интегрирование которой не представляет сложностей. В курсе высшей алгебры доказывается важная теорема, о том, что любая правильная дробь (4.8) может быть представлена в виде конечного числа правильных дробей. Если  — корни уравнения  , а  — их соответствующие кратности, так что   то дробь (4.8) представляется в виде  (4.9)где числители отдельных дробей определяются из системы линейных уравнений после приведения к общему знаменателю и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях с (метод неопределенных коэффициентов).Если — простые корни уравнения , т.е.  , то Если некоторые корни уравнения мнимы, то, соединяя вместе элементарные дроби, соответствующие сопряженным корням, можно после некоторых преобразований соответствующие пары дробей представить в виде действительных дробей вида .и методом неопределенных коэффициентов найти неизвестные  и  Таким образом, интегрирование правильной рациональной дроби приводится к интегралам вида рассмотренных в предыдущем п.3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы Интегралы вида  (4.10)где  — рациональные числа, приводятся к интегралам от рациональных функций подстановкой (4.11)где общий знаменатель дробей  .Интегралы вида  (4.12)(интегралы от биномиальных дифференциалов), где  — действительные числа, а  — рациональные, выражаются в элементарных функциях только в следующих случаях:а) когда  — целое число; тогда этот интеграл имеет вид суммы интегралов (4.10);б) когда  — целое число; подстановкой; подстановкой  этот интеграл преобразуется к виду (4.10) (4.13)в) когда  — целое число; при помощи той же подстановки данный интеграл приводится к виду (4.10) (4.14)Рационализация подынтегрального выражения в интегралах вида  достигается с помощью, по крайней мере, одной из следующих трех подстановок, называемых подстановками Эйлера а)  при  ;б)  при  ;в)  при условии, что корни  и  уравнения  действительны.Интегрирование тригонометрических выражений Интегралы вида  (4.14)могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помощи подстановки  (4.15)При этом функции подынтегрального выражения выражаются через новые переменные  ;  ;  (4.16)Если при этом подынтегральная функция  удовлетворяет соотношению (4.17)то выгодно применить подстановку  . Например, с помощью этой подстановки интеграл (4.18)где  — нечетное число, а  — четное, с соответствующей заменой (4.19)приводится к интегралу от рациональной функции. Если эта функция удовлетворяет соотношению  (4.20)то выгодно применить подстановку  . Например, с помощью этой подстановки интеграл (4.21)где — четное число, а — нечетное, с соответствующей заменой (4.22)приводится к интегралу от рациональной функции. Если эта функция удовлетворяет соотношению  (4.23)то выгодно применить подстановку  . Например, с помощью этой подстановки интеграл (4.24)где  — четные числа, с соответствующей заменой ;  ;  (4.25)приводится к интегралу от рациональной функции. Интегрирование выражений, содержащих гиперболические функции Интегралы вида  (4.26)могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помощи подстановки  (4.27)При этом функции подынтегрального выражения выражаются через новые переменные  ;  ;  (4.22) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
