Математический анализ для экономистов. Методическое пособие для заочной формы обучения. Выбор темы контрольной работы выбирается по первой букве фамилии студента и последней цифре номера зачетной книжки
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
Экстремумы ФМП. Пусть функция  определена в некоторой области  и  - точка в  . Значение функции в данной точке называется минимумом (локальным минимумом) функции в , если существует окрестность точки  точки , такая что для всех точек  \ выполняется неравенство  . Аналогично максимумом (локальным максимумом) функции в , если  . Если неравенства строгие, то локальным максимумом (минимум) называют строгим, в противном случае – нестрогим. Максимум или минимум также называют экстремумом ( локальным экстремумом) функции в . Необходимые условия существования экстремума. Если  - экстремум функции , дифференцируемой по каждой из координатв некоторой окрестности  точки , то выполняются равенства  .Достаточные условия существования экстремума. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в  и в точке  выполняются равенства . Если, кроме того, положительно (или отрицательно) определена квадратичная форма  (5.11)то функция имеет минимум (или максимум) в точке , а если форма  неопределенная, то функция не имеет экстремума в точке и точка в этом случае называется седловой точкой функции .Нахождение условных экстремумов (метод неопределенных множителей Лагранжа). Общая постановка задачи: Найти все экстремумы и наибольшее, а также наименьшее значения функции  , определенной в области , для точек  , удовлетворяющих дополнительным условиям:  (5.12)где  - действительные функции, определенные в .Необходимые условия существования условного экстремума. Пусть функции  непрерывно дифференцируемы в и ранг функциональной матрицы  равен  . Положим, что (5.13)(функция  является функцией Лагранжа с множителями  - произвольные действительные числа). Если в точке  при дополнительных условиях (5.14) имеет экстремум, то справедливы соотношения:а)  (5.14)б)  Таким образом, необходимым условием существования условного экстремума функции в точке  при дополнительных условиях  являются следующие  уравнений с количеством переменных  и  : (5.15) Примеры Задача №1: Найти частные производные для функции  .Решение:  , ,  .Задача №2: Найти  , если  .Решение:   .Задача №4: Исследовать на экстремумы функцию  .Решение: Координаты  критической точки вследствие гладкости функции должны удовлетворять системе или  Из системы уравнений получим пять критических точек:  Так как  для любой области  , то возможно дальнейшее исследование поведения функции  в стационарных точках с помощью достаточного условия экстремума:  Отсюда получим, что в точке  :  . Так как этот является ни чем иным как отрицательно определенной квадратичной формой (5.11), то можно сделать вывод что в точке функция имеет строгий локальный максимум.Рассмотрим точку  :  .Для анализа запишем матрицу этой квадратичной формы и применим критерий Сильвестра.  Выпишем главные миноры:  Распределение знаков миноров показывает, что данная квадратичная форма знакопеременная, таким образом в точке функция не имеет экстремума, то есть - седловая точка функции .Аналогичным образом определяется, что и точки  также являются Седловыми точками функции .Задача №5: Исследовать на экстремумы функцию  .Решение: Имеем, что  следовательно ни одна точка вне оси  не будет критической. Пусть  , тогда  Таким образом, все точки оси являются критическими точками функции  , в которых  не существует. Из определения  получаем, что если  , если же  для любого  . Итак, получается, что каждая точка на оси является критической точкой функции , и в каждой из них нарушены условия гладкости и эти точки, следовательно, являются седловыми точками функции .Замечание: Из примера видно, что если в критической точке функция может не иметь даже хотя бы одной частной производной, и, следовательно, эта точка может быть равновероятно точкой локального минимума, локального максимума или седловой точкой. Задача №6: Исследовать на экстремумы функцию  .Решение:  Отсюда делаем вывод, что критическими точками функции будут  и все другие  . Из неравенства  получаем, что  . В каждой точке линии  имеем, что  , а также, если  , то  . Таким образом можно утверждать, что в каждой точке функция имеет нестрогий максимум, а в - нестрогий минимум. Найдем вторые частные производные функции . Если , то квадратичная форма  полуопределена, как и должно быть в точках нестрогого экстремума: .А для точки квадратичная форма  - знакопеременная, следовательно, - седловая точка функции .Задача №7: Найти точки условного экстремума функции  , если  .Решение: В этом задании  , матрица  есть  . Из условия следует, что все точки, удовлетворяющие данному условию, имеют ненулевые координаты, а значит и минор  матрицы также отличен от нуля. Поэтому условие определяет на этом множестве функцию  .А теперь мы рассматриваем функцию , как функцию одного аргумента  :  . Из условия получаем, что  откуда  , подставляя, получим  . В итоге для координат критической точки функции  имеем систему уравнений: Решая систему, получим, что возможными точками локального экстремума могут быть точки  и  .Теперь рассмотрим  в этих точках, из условия имеем  . Тогда для имеем ,откуда получим, что  и точка является точкой локального условного минимума функции при условии , причем  .Точно также получим, что в точке  , то есть эта точка является локальным условным максимумом функции при условии , причем  .Задача №8: Найдем экстремальные значения функции  на прямой  .Решение: Запишем функцию Лагранжа  Координаты критических точек функции  находятся из системы  отсюда получаем  В точке (2,1,-2) выражение  ,равное  , есть знакопеременная квадратичная форма, следовательно, точка (2,1,-2) не экстремальная точка функции ,но эта точка может быть экстремальной точкой функции при условии связи. В самом деле, из условия связи имеем  . Учитывая это соотношение, для  получаем выражение ,которое есть отрицательно определенная квадратичная форма, и, следовательно, точка (2,1) является точкой локального максимума функции при условии связи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
Литература Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. С.-Пт. “Лань”, 2006 год. 736 с. Высшая математика для экономических специальностей. Учебник и практикум / под. ред. Кремера Н.Ш. Части 1,2. М.: Высшее образование, 2005 год. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1 - М.: Высш. шк., 1980. Зайцев И.А. Высшая математика. М.: Наука. 2003 год. Ильин В.А. Куркина А.В. Высшая математика. М.: ТКВелби. 2005 год. 600 с. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. – М.: Изд. МГУ, 2005. Крамер Н.И., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов. – М.: Юнити, 2000. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. Учебное пособие. СПб.: Питер, 2006. – 464 с. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. — М.: ЮНИТИ, 2003. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. С.-Пт.: “Лань”, 2005 год. 240 с. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1, 2. М.: Наука, 1978. Сборник задач по курсу высшей математики / Под ред. Кручковича Г.И. М.: Высшая школа, 1973. – 576 с. Сборник задач по математике для втузов. Часть 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. /Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. М.: Наука, 1986. – 464 с. Смирнов В.И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1977. Шипачев В.С. Основы высшей математики. — М.: Высшая школа, 1989. |
с помощью универсальной тригонометрической подстановки.