Математический анализ для экономистов. Методическое пособие для заочной формы обучения. Выбор темы контрольной работы выбирается по первой букве фамилии студента и последней цифре номера зачетной книжки
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
Определенный интеграл Теоремы общего характера Для вычисления определенного интеграла основной является теорема Ньютона – Лейбница: если  непрерывна на  и  первообразная для на , то (4.23)Пусть — функция, интегрируемая на ,  ,  . Тогда, независимо от независимо от взаимного расположения точек  она интегрируема и в двух других промежутках, и имеет место равенство (4.24)Имеют место формулы:  и  (4.25)Пусть и  — функции, интегрируемые на . Тогда, произведение  также интегрируемо на этом отрезке.Если — функция, интегрируемая на , и  для  , то  .Если и — функции, интегрируемые на , и  для , то  .Теорема о среднем значении. Пусть интегрируема и ограничена на и  ,  — соответственно, верхняя и нижняя грани на . Тогда, существует такое число  , что: 1)  ; и, 2)  .Формулы общего характера Пусть — функция, интегрируемая на  , и удовлетворяющая на этом отрезке соотношению  (такую функцию называют четной); тогда Пусть — функция, интегрируемая на , и удовлетворяющая на этом отрезке соотношению  (такую функцию называют нечетной); тогда Замена переменного в определенном интеграле Формула  действительна при следующих условиях: Функция непрерывна на отрезке ;Отрезок является множеством значений функции  , определенной на отрезке  ; ;  .Формула интегрирования по частям Если каждая из функций  и  имеет на отрезке непрерывную производную, то справедлива следующая формула Геометрические приложения определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции Площадь фигуры, называемой криволинейной трапецией, лежащей под графиком и неотрицательной на отрезке равна  Площадь криволинейного сектора Площадь фигуры, называемой криволинейным сектором, ограниченной графиком  и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы  и  имеет площадь  Вычисление объема вращения   Длина дуги кривой. Если плоская кривая L задана параметрически  ,  ,причем  и  - непрерывно дифференцируемые функции, то она имеет длину, вычисляемую по следующей формуле Если плоская кривая L – график непрерывно дифференцируемой функции  и  , то длина этой кривой вычисляется по формуле В полярных координатах  Примеры Задача 1.Вычислить интеграл:  .Решение: применяя интегрирование по частям, получаем  Задача №2: Вычислить интеграл:  Решение:   Задача №3: Вычислить интеграл:  Решение:    Задача №4: Вычислить интеграл:  Решение:     Задача №5: Вычислить интеграл:  Решение:     Задача №6: Вычислить интеграл:  Решение:    Задача №7: Вычислить интеграл:  Решение:   Задача №8: Вычислить интеграл:  Решение:     Задача №9: Вычислить интеграл:  Решение:    Задача №10: Вычислить интеграл:  Решение:    Задача №11: Вычислить интеграл:  Решение:   Задача №12: Вычислить интеграл:  Решение:    Функции многих переменных Частные производные. Геометрическая интерпретация частной производной. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки  . Функция называется дифференцируемой по  , если существует предел разностного отношения (5.1)этот предел называется частной производной функции (по ) в точке  и обозначается  или  .Таким образом, частная производная функции равна обыкновенной производной функции действительного переменного , которая получается из , если переменные  для  положить равными  .Для нахождения производной более высоких порядков, например порядка  , применяется специальная формула (5.2). Эта формула получается в результате индукции при рассмотрении частных производных более низкого порядка. (5.2).Рассмотрим геометрический смысл частной производной на примере функции  , которая дифференцируема по каждой из переменных в точке . По определению  есть число, равное  , где  - угол между касательной к кривой пересечения плоскости П и графика функции и плоскостью  (см. рисунок ____ ). Аналогично и с  .Полный дифференциал. Производная по направлению и градиент. Пусть область определения  функции содержит окрестность точки  ,  . Функция называется дифференцируемой в точке , если для любых  из этой окрестности  (5.3), где  и  .Линейная часть  приращения  называется полным дифференциалом функции в точке .График функции  , определяемой равенством (5.4),называется касательной плоскостью к графику функции в точке .  (5.4)Если дифференцируема в точке, то непрерывна в и дифференцируема по каждому из переменных  . Однако если функция непрерывна и дифференцируема по каждому из переменных в точке , то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Если же непрерывно дифференцируема в точке , то дифференцируема в точке . Если дифференцируема в точке, то существует производная по направлению функции в относительно произвольного единичного вектора  , которая вычисляется по следующей формуле: (5.5), где  - угол между вектором и положительным направлением осей координат.Если же дифференцируема по каждой из координат в точке, то вектор  называется градиентом функции в точке и обозначается символом  .Если дифференцируема в точке, то в общем случае (5.6),где справа стоит скалярное произведение. Если при этом - вектор в касательной плоскости к поверхности уровня   , то (5.6*)Свойства градиента: 1. Градиент функции перпендикулярен поверхности уровня .2. Направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции (т.е. направление наибольшей производной по направлению). Теоремы о дифференцируемых ФМП. Дифференцирование сложной функции. Пусть дифференцируема в точке и пусть  – функции одного переменного, дифференцируемые в точке  и такие, что  ,  . Тогда сложная функция, составленная из и дифференцируема в точке  и её производная находится по формуле  (5.7)Дифференцирование неявных функций. Если  непрерывно дифференцируема в области  и существует функция  , определенная в  и такая, что для всех  уравнение  выполняется. А кроме этого  , то дифференцируема в и для каждого справедливо равенство или  (5.8).Формула Тейлора функции двух переменных. Пусть функция на множестве   раз дифференцируема. Тогда для всех  справедлива формула (5.9)При этом    (5.10)где  . Величина  называется остаточным членом (в форме Лагранжа) формулы Тейлора для функции .Если при имеет место равенство  , то можно использовать формулу Тейлора для того, чтобы в некоторой окрестности точки  приблизить функцию многочленом  -й степени. Формула Тейлора легко может быть обобщена на функции более чем двух переменных.Если дифференцируема в области  и для всех выполнены соотношения  , то - постоянна. |