Методическое пособие к практикуму по Общей Астрономии Казань 2002
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
10.3. Движение искусственных небесных тел Движение искусственных небесных тел подчиняется тем же законам, что и естественных. Тем не менее, необходимо отметить ряд особенностей. Главное - размеры орбит искусственных спутников, как правило, сравнимы с размерами планеты, вокруг которой они обращаются, поэтому часто говорят о высоте спутника над поверхностью планеты (рис.21). При этом надо учитывать, что в фокусе орбиты спутника находится центр планеты. Рис. 21. Орбита искусственного спутника планеты Для искусственных спутников вводят понятие первой и второй космической скорости. Первая космическая скорость или круговая скорость - это скорость кругового орбитального движения у поверхности планеты на высоте h: (33) Это минимально необходимая скорость, которую необходимо придать космическому аппарату, чтобы он стал искусственным спутником данной планеты. Для Земли у поверхности vк = 7.9 км/сек. Вторая космическая скорость или параболическая скорость - это скорость, которую необходимо придать космическому аппарату, чтобы он мог покинуть сферу притяжения данной планеты по параболической орбите: (34) Для Земли вторая космическая скорость равна 11.2 км/сек. Скорость небесного тела в любой точке эллиптической орбиты на расстоянии R от тяготеющего центра может быть рассчитана по формуле: (35) Здесь повсюду см 3 /(г с 2 ) - это гравитационная постоянная. Вопросы 4. Может ли случиться прохождение Марса по диску Солнца? Прохождение Меркурия? Прохождение Юпитера? 5. Можно ли увидеть Меркурий вечером на востоке? А Юпитер? Задачи 46. Противостояние Марса произошло 19 мая. В каком созвездии он был виден? Решение: Орбиты всех планет лежат приблизительно в одной плоскости, поэтому планеты двигаются по небесной сфере примерно по эклиптике. В момент противостояния прямые восхождения Марса и Солнца отличаются на 180 o : . Вычислим на 19 мая. 21 марта оно равно 0 o . В день прямое восхождение Солнца увеличивается примерно на 1 o . С 21 марта по 19 мая прошло 59 дней. Значит, , а . На небесной карте можно увидеть, что эклиптика при таком прямом восхождении проходит по созвездиям Весы и Скорпион, значит Марс находился в одном из этих созвездий. 47. (398) Наилучшая вечерняя видимость Венеры (наибольшее ее удаление к востоку от Солнца) была 5 февраля. Когда в следующий раз наступила видимость Венеры в тех же условиях, если ее сидерический период обращения равен 225 d ? Решение: Наилучшая вечерняя видимость Венеры наступает во время ее восточной элонгации. Следовательно, следующая наилучшая вечерняя видимось наступит во время следующей восточной элонгации. А промежуток времени между двумя последовательными восточными элонгациями равен синодическому периоду обращения Венеры и легко может быть вычислен: или P=587 d . Значит, следующая вечерняя видимость Венеры в тех же условиях наступит через 587 дней, т.е. 14-15 сентября следующего года. 48. (663) Определить массу Урана в единицах массы Земли, сравнивая движение Луны вокруг Земли с движением спутника Урана - Титанией, обращающегося вокруг него с периодом 8 d .7 на расстоянии 438 000 км. Период обращения Луны вокруг Земли 27 d .3, и среднее расстояние ее от Земли составляет 384 000 км. Решение: Для решения задачи необходимо воспользоваться третьим уточненным законом Кеплера. Так как для любого тела массой m, обращающегося вокруг другого тела массой на среднем расстоянии a с периодом T: (36) то мы имеем право для любой пары обращающихся друг вокруг друга небесных тел записать равенство: Принимая за первую пару Уран с Титанией, а за вторую - Землю с Луной, а также пренебрегая массой спутников по сравнению с массой планет получим: 49. Принимая орбиту Луны за окружность и зная орбитальную скорость движения Луны v Л = 1.02 км/с, определить массу Земли. Решение: Вспомним формулу для квадрата круговой скорости ( 35 ) и подставим среднее расстояние Луны от Земли a Л (см. предыдущую задачу): 50. Вычислить массу двойной звезды Центавра, у которой период обращения компонентов вокруг общего центра масс T=79 лет, а расстояние между ними 23.5 астрономических единицы (а.е.). Астрономической единицей называется расстояние от Земли до Солнца, равное примерно 150 млн. км. Решение: Решение этой задачи аналогично решению задачи о массе Урана. Только при определении масс двойных звезд их сравнивают с парой Солнце-Земля и выражают их массу в массах Солнца. 51.(1210) Вычислите линейные скорости космического корабля в перигее и апогее, если над Землей в перигее он пролетает на высоте 227 км над поверхностью океана и большая ось его орбиты составляет 13 900 км. Радиус и масса Земли 6371 км и 6.0 10 27 г. Решение: Рассчитаем расстояние от спутника до Земли в апогее (наибольшем расстоянии от Земли). Для этого необходимо зная расстояние в перигее (наименьшее расстояние от Земли) вычислить эксцентриситет орбиты спутника по формуле ( 31 ) и затем определить искомое расстояние используя формулу (32). Получим h a = 931 км. Далее воспользуемся формулой ( 35 ) для вычисления скорости тела на любом расстоянии от тяготеющего центра и вычислим скорость в перигее и апогее: Получим vп = 8 км/сек, v a =7.2 км/сек. 52. (393) Синодический период обращения одного из астероидов составляет 3 года. Каков звездный период его обращения около Солнца? 53. (400) Найти среднее суточное движение Меркурия по орбите (величину дуги орбиты, которую он проходит за земные сутки), если синодический период его обращения вокруг Солнца равняется 115.88 суткам. 54. (417) С какой видимой угловой скоростью Венера пересекает диск Солнца? Сколько времени длится ее прохождение по диску Солнца, если оно центральное? Расстояние Венеры от Солнца 0.723 а.е., синодический период обращения 584 дня, угловой диаметр Солнца 32'. 55. (662) Вычислить массу Нептуна относительно массы Земли, зная, что его спутник отстоит от центра планеты на 354 000 км и период его обращения равен 5 суткам 21 часу. 56. (671) Какова должна быть масса Земли (по сравнению с действительной), чтобы Луна обращалась вокруг нее с современным периодом, но на вдвое большем расстоянии? 57. (675) Удержало ли бы Солнце нашу Землю, несущуюся вокруг него со скоростью 29.76 км/сек, если бы масса Солнца внезапно уменьшилась в два раза? 58. (1214) Для целей связи нужны спутники, которые "висят" над одной и той же точкой Земли, так называемые геостационарные спутники. На какой высоте над поверхностью Земли они должны находиться? 59. (1217) Космонавты облетают Луну по круговой орбите на высоте 50 км. На сколько им надо увеличить двигателями скорость своего космического корабля, чтобы вернуться на Землю? Радиус Луны 1738 км, а ее масса составляет 1/81 массы Земли. 11. Определение расстояний до небесных тел. Параллакс. Прямое определение расстояний до сравнительно близких небесных тел основано на явлении параллактического смещения. Суть его заключается в следующем. Близкий предмет при наблюдении его из разных точек проецируется на различные расположенные далеко предметы. Так, держа вертикально карандаш на фоне далекого многоквартирного дома, мы видим его левым и правым глазом на фоне разных окон. Для тел Солнечной системы такое смещение на фоне звезд заметно уже при наблюдении из точек, разнесенных на расстояние, сравнимое с радиусом Земли, а для близких звезд - при наблюдениях из точек, разнесенных на расстояние, сравнимое с радиусом орбиты Земли. 11.1. Горизонтальный экваториальный параллакс Координаты небесных тел, определенные из разных точек земной поверхности, вообще говоря различны, и называются топоцентрическими координатами. Правда, это заметно лишь для тел Солнечной системы. Для устранения этой неопределенности все координаты тел Солнечной системы приводят к центру Земли и называют геоцентрическими. Угол между направлениями на какое-либо светило из данной точки земной поверхности и из центра Земли называется суточным параллаксом p' светила (рис. 22). Очевидно, что суточный параллакс равен нулю для светила, находящегося в зените, и максимален для светила на горизонте. Такой максимальный параллакс называется горизонтальным параллаксом светила p. Горизонтальный параллакс связан с суточным простым соотношением: (37) Здесь синусы углов заменены самими углами ввиду их малости. По сути дела, p - это угол, под которым виден радиус Земли с данного светила. Однако Земля не является идеальным шаром и сплюснута к полюсам. Поэтому на каждой широте радиус Земли свой и горизонтальные параллаксы одного и того же светила разные. Для устранения этих различий принято вычислять горизонтальный параллакс для экваториального радиуса Земли (R 0 = 6378 км) и называть его горизонтальным экваториальным параллаксом p 0 Рис. 22. Суточный и горизонтальный параллакс Суточный параллакс необходимо учитывать при измерении высот и зенитных расстояний тел Солнечной системы и вносить поправку, приводя наблюдение к центру Земли: (38) Измерив горизонтальный экваториальный параллакс светила p 0 , можно определить расстояние d до него, т.к. Заменив синус малого угла p 0 значением самого угла, выраженным в радианах, и имея в виду, что 1 радиан равен 206265", получим искомую формулу: (39) Замена синуса угла самим углом допустима, так как наибольший из известных горизонтальный экваториальный параллакс Луны равен 57' (у Солнца p 0 =8".79). В настоящее время расстояния до тел Солнечной системы с гораздо большей точностью измеряются методом радиолокации. 11.2. Годичный параллакс Угол, под которым с какой-либо звезды виден радиус земной орбиты a, при условии, что он перпендикулярен направлению на нее, называется годичным параллаксом звезды (рис. 23). Рис. 23. Годичный параллакс По аналогии с горизонтальным экваториальным параллаксом, зная годичный параллакс, можно определять расстояния до звезд: В километрах расстояния до звезд измерять неудобно, поэтому обычно пользуются внесистемной единицей - парсеком пк, определяемой как расстояние, с которого параллакс равен 1". Само название составлено из первых слогов слов параллакс и секунда. Нетрудно убедиться, что 1 пк = 206 265 а.е. = 3.086 10 18 см. Реже используется такая единица измерения расстояний до звезд, как световой год, определяемый как расстояние, проходимое светом за год (1 пк = 3.26 светового года). Расстояние до звезды в парсеках определяется через величину годичного параллакса особенно просто (40) Задачи 60. (477) Параллакс Солнца p 0 =8".8, а видимый угловой радиус Солнца . Во сколько раз радиус Солнца больше радиуса Земли? Решение: Так как параллакс Солнца есть ни что иное, как угловой радиус Земли, видимый с Солнца, следовательно, радиус Солнца во столько же раз больше радиуса Земли, во сколько его угловой диаметр больше параллакса 61. (482) В момент кульминации наблюденное зенитное расстояние центра Луны (p 0 =57') было 50 o 00' 00". Исправить это наблюдение за влияние рефракции и параллакса. Решение: За счет рефракции наблюденное топоцентрическое зенитное расстояние меньше истинного топоцентрического, т.е. Истинное топоцентрическое зенитное расстояние больше геоцентрического на величину суточного параллакса 62.(472) Чему равен горизонтальный параллакс Юпитера, когда он находится от Земли на расстоянии 6 а.е. Горизонтальный параллакс Солнца p 0 =8".8. 63. (474) Наименьшее расстояние Венеры от Земли равно 40 млн. км. В этот момент ее угловой диаметр равен 32".4. Определить линейный радиус этой планеты. 64. (475) Зная, что для Луны p 0 =57'02".7, а ее угловой радиус в это время rЛ=15'32".6, вычислить расстояние до Луны и ее линейный радиус, выраженные в радиусах Земли, а так же площадь поверхности и объем Луны по сравнению с таковыми для Земли. 65. (483) Наблюденное зенитное расстояние верхнего края Солнца составляет 64 o 55' 33", а его видимый радиус . Найти геоцентрическое зенитное расстояние центра Солнца, учтя рефракцию и параллакс. 66. Из наблюдений известны годичные параллаксы звезд Вега ( ) , Сириус ( ) , Денеб ( ) . Определить расстояние до этих звезд в пк и в а.е. 12. Физические характеристики звезд и галактик 12.1. Фундаментальные параметры звезд Звезда как физическое тело характеризуется тремя основными параметрами: массой , радиусом R * и светимостью L * . Светимость определяет количество энергии, излучаемой звездой за единицу времени, т.е. аналогична физическому понятию мощности и имеет ту же размерность: в единицах СГС, принятых в астрофизике, она измеряется в эрг/сек. Значения этих величин для Солнца равны: г, эрг/сек и 700 000 км. Кроме фундаментальных параметров, для описания звезд используют еще производные от них величины, такие как ускорение свободного падения на поверхности звезды: (41 ) и эффективная температура T eff , определяемая соотношением (42) Здесь - постоянная Стефана-Больцмана. Для Солнца 6000 K, см/сек 2 Величина - это поток излучения от звезды, и определяется он как количество энергии, излучаемое звездой с единицы поверхности за единицу времени (эрг/(см сек)). Для T eff можно дать такое определение: Эффективная температура звезды - это температура абсолютно черного тела, которое излучает с единицы поверхности за единицу времени такое же количество энергии, что и звезда. Значения фундаментальных параметров звезд, как правило, выражают в единицах солнечных значений, т.е. светимость - в светимостях Солнца, массу - в массах Солнца, радиус - в радиусах Солнца, поэтому полезно знать следующее соотношение: (43) Поток излучения от звезды на расстоянии d от нее это (44) Таким образом определенный поток излучения совпадает с физическим понятием освещенность E * . Поэтому, с точки зрения физики, видимую яркость, или блеск звезд надо характеризовать создаваемыми ими освещенностями. Однако, это не очень удобно (освещенности слишком малы), и самое главное, исторически сложилось так, что блеск звезд стали измерять задолго до введения физиками понятия освещенность, используя внесистемную единицу измерения - звездную величину m * Таблица. Физические характеристики Солнца г эрг/сек 700 000 км 5875 K 6000 K см/сек 2 4 m .8 12.2. Звездные величины Звездные величины были введены Гиппархом во II веке до н.э. Он разделил видимые невооруженным глазом звезды по степени их яркости на шесть классов - звездных величин. Самые яркие звезды принадлежали к первому классу - имели первую звездную величину, а самые слабые принадлежали к шестому классу и имели шестую звездную величину (обозначение соответственно 1 m и 6 m ). Таким образом, важно запомнить, что чем больше звездная величина, тем слабее звезда. Связь между освещенностями и звездными величинами была установлена в XIX веке Погсоном, и она определяет отношение освещенностей, создаваемых двумя звездами, через разность их звездных величин: (45) или (46) В качестве начала отсчета звездных величин была выбрана звезда Вега ( Lyr). Условились считать, что она имеет блеск m=0 m и блеск остальных звезд определяют через блеск Веги. Она является фотометрическим стандартом. Кроме того, в настоящее время используют дробные значения звездных величин, а более яркие звезды, чем Вега, имеют отрицательные звездные величины. Например, Сириус ( CMa) имеет блеск m=-1 m .58. Совершенно очевидно, что звездная величина практически ничего не говорит нам о действительной светимости звезды. Яркая звезда первой звездной величины может быть близкой звездой-карликом низкой светимости, а слабенькая звездочка шестой звездной величины оказаться очень далеким сверхгигантом огромной светимости. Поэтому для характеристики светимости звезд введена шкала абсолютных звездных величин M. Абсолютная звездная величина - это звездная величина, которую бы имела эта звезда, находясь на расстоянии 10 пк. Связь между видимой и абсолютной звездной величиной легко найти, используя закон Погсона и выражая расстояние до звезды в парсеках: или Окончательно получим: (47 ) Светимости звезд в светимостях Солнца удобно выражать через абсолютную звездную величину Солнца : (48) 12.3. Спектры звезд. Эффект Допплера Кроме рассмотренных выше интегральных (по всем длинам волн) освещенностей E, создаваемых звездами, можно ввести еще монохроматические освещенности , определяемые как количество энергии, приходящее от звезды на перпендикулярную единичную площадку за единицу времени в единичном интервале длин волн ([ ]=эрг/(см сек )). У разных звезд на разные длины волн приходится различное количество энергии, поэтому рассматривают распределение энергии по длинам волн и называют его еще спектральным распределением энергии или просто спектром звезды. В зависимости от температуры звезды максимум в спектральном распределении приходится на разные длины волн. Чем звезда горячее, тем на меньшие длины волн приходится максимум ее спектрального распределения энергии. Поэтому горячие звезды по цвету являются голубыми и белыми, а холодные - желтыми и красными. В спектрах звезд на фоне непрерывного спектра заметны многочисленные темные относительно узкие линии поглощения. Они образуются при переходах между энергетическими уровнями различных атомов и ионов в поверхностных слоях звезды. Каждый переход характеризуется вполне определенной длиной волны. Однако в наблюдаемых спектрах звезд длины волн этих переходов не совпадают с лабораторными длинами волн этих переходов. Причиной этого является движение звезд относительно Земли. Вследствие движения звезды все наблюдаемые длины волн смещаются относительно своих лабораторных значений, благодаря эффекту Допплера. Если звезда к нам приближается, линии в ее спектре смещаются в синюю область спектра, а если удаляется от нас, то в красную. Величина смещения z зависит от скорости звезды вдоль луча зрения v r : (49) Здесь c=300 000 км/сек это скорость света в вакууме. Таким образом, изучая смещения линий в спектрах звезд и других небесных тел относительно их лабораторных положений, мы можем получить богатую информацию о лучевых скоростях звезд, о скоростях расширения оболочек звезд (звездный ветер, взрывы Новых и Сверхновых звезд), изучать спектрально-двойные звезды. |