обработка. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ В ИЛ. Методическоепособи е
 Скачать 0.69 Mb.
|
|
М Е Т О Д И Ч Е С К О Е П О С О Б И Е ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Введение В пособии рассмотрены вопросы практического применения статисти- ческой обработки результатов измерений, проводимых в испытательной лаборатории. Представлено краткое теоретическое обоснование точечных и интервальных оценок измеряемой физической величины. Изложение дополнено примерами обработки конкретных данных. В приложениях приведены необходимые статистические таблицы. Пособие разработано в соответствии с требованиями нормативных документов по метрологии и рассчитано на сотрудников ООО "Спецтехкомплект". Санкт-Петербург 2022 Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь проанализировать. В физической ла- боратории необходимо научиться не только измерять фи- зические величины, но и проверять и находить связь ме- жду ними, сопоставлять результаты эксперимента с вы- водами теории. 1. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ Физическая величина это характеристика одного из свойств физиче- ского объекта (системы, явления или процесса). Качественно одна и та же физическая величина может иметь различное количественное выражение. Ко- личественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, характеризуется ее размером. Значение физической величины представляет собой оценку размера этой величины в виде некоторо- го числа принятых для нее единиц. Значение физической величины выражает- ся произведением ее числового значения на выбранную для этой величины единицу. Числовое значение это отвлеченное число. Единица физической величины физическая величина, которой условно присвоено числовое зна- чение, равное 1. Пример: значение длины можно выразить как L = 0.202 м = 20.2 см = 202 мм. Сле- довательно, числовое значение физической величины с изменением размера единицы изменяется. Размер величины и ее значение при этом будут одними и теми же. Различают истинное значение физической величины, идеально отражаю- щее свойства материального объекта, и действительное значение, най- денное экспериментально. Измерение физической величины заключается в сравнении измеряе- мой величины с её единицей, с целью получения значения этой величины в форме, наиболее удобной для использования. Измерение производится с по- мощью технических средств, хранящих единицу, или воспроизводящих шкалу физической величины. Не следует отождествлять понятие измерение с понятием наблюдение при измерении экспериментальной операцией, выполняемой в процессе измерения. Результат наблюдения это одно значение ( отсчет ) измеряемой величины. Результат измерения получается после математической обработки всех отсчетов. Измерением с однократными наблюдениями называется измерение, при котором каждый отсчет получен при различных значениях физических величин, связанных с измеряемой величиной. Пример: измерение ускорения тел различной массы при действии на них фикси- рованной силы. Измерением с многократными наблюдениями называется измере- ние, при котором все отсчеты получены при фиксированных значениях физи- ческих величин, связанных с измеряемой величиной. Пример: измерение ускорения тела заданной массы при действии на него одной и той же силы при многократном повторении эксперимента. Существует два основных вида измерений: прямые и косвенные Прямым измерением называется измерение физической величины, при котором ее значение находят непосредственно из опытных данных. Примеры: измерение длины с помощью линейки; измерение сопротивления ом- метром. Косвенным измерением называется измерение физической величины, при котором ее значение находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, значения которых получены прямыми измере- ниями. Пример: определение сопротивления по напряжению и току, измеренным вольт- метром и амперметром, соответственно. С овместными называются такие измерения, при которых одновременно измеряют две и более неоднородные величины для нахождения зависимости между ними или определения параметров этой зависимости. Пример: измерение тока при различных значениях напряжения для проверки зако- на Ома. Моделью объекта измерения называется абстрактный, как правило, идеализированный образ реального объекта. Примеры: материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальный газ, однород- ный проводник. Метод измерений - это совокупность приемов сравнения измеряемой ве- личины с её единицей. Метод измерений осуществляется в соответствии с мо- делью объекта измерения и доступным набором технических средств. Истинной погрешностью измерения называется отклонение результата из- мерения физической величины (действительного значения) от ее истинного значения. При проведении измерений, как правило, истинное значение изме- ряемой величины неизвестно. Результатом измерения является оценка истин- ного значения, которая чаще всего с ним не совпадает. Принято, независимо от того, известно или неизвестно истинное значение, погрешность характеризо- вать, так называемым, доверительным интервалом , в котором с опреде- ленной степенью достоверности содержится истинное значение. Середина это- го интервала совмещается с оценкой истинного значения (рис. 1). Погрешность выражается в виде абсолютной и относительной по- грешности. 3 4 Абсолютная погрешность равна модулю разности междуоценкойи границей интервала, т.е. полуширине доверительного интервала. Относительная погрешность равна отношению абсолютной погреш- ности к оценке истинного значения. Как правило, эту погрешность выражают в процентах. Величину, обратную относительной погрешности, называют точ- ностью измерений. При сравнении результатов измерения одной и той же физической величи- ны поступают следующим образом. Если доверительные интервалы перекры- ваются, то говорят, что различия незначимые и результаты измерений согла- суются. В противном случае различия считаются значимыми и результаты измерений не совпадают. Пример: пусть при различных методах измерений одной и той же силы получены следующие результаты: F=240 ± 8 Н, F=250 ± 5 Н. Различие в 10 Н в данном случае явля- ется незначимым, и результаты согласуются. Если бы оба результата были F=242 ± 2 Н, F=249 ± 3 Н, то различие в 7 Н было бы значимым, и результаты измерений оказались бы не совпадающими. По влиянию на результат измерения можно выделить следующие классы погрешности: • Систематическая погрешность погрешность, остающаяся посто- янной или закономерно изменяющаяся при повторении измерений. • Случайная погрешность погрешность, изменяющаяся случайным образом при повторении измерений. • Промах (грубая ошибка) погрешность, существенно превосходящая ожидаемую при заданных условиях. По источникам погрешности различают следующие ее виды: • Методическая погрешность погрешность, обусловленная несовер- шенством метода измерений. • Инструментальная погрешность погрешность средств измерений (приборов). • Дополнительная погрешность погрешность, обусловленная влия- нием факторов, которые не учтены в модели объекта измерения. Названные источники погрешности в общем случае могут иметь как сис- тематическую, так и случайную составляющие погрешности, но вклад этих составляющих различен при различной организации эксперимента. Учет и исключение (или уменьшение) систематической погрешности пред- ставляют одну из самых сложных задач теории измерений. Способы решения этой задачи зависят от конкретных видов измерений, и не существует общей методики ее решения. Часто используется подход, основанный на всесторон- нем теоретическом анализе процедуры измерения и характеристик при- меняемой аппаратуры. Такой анализ может дать оценку границ систематиче- ской погрешности. При точных измерениях оценка систематической погреш- ности производится по результатам измерения искомой величины различными, принципиально независимыми методами с применением различной аппарату- ры. Многие современные способы анализа систематической погрешности ис- пользуют аппарат математической статистики (дисперсионный, регрессион- ный, корреляционный, спектральный анализ), теории принятия решений, тео- рии игр и др. Более детально эти вопросы рассматриваются в специальном курсе метрологии. Случайная погрешность в большинстве случаев может быть уменьшена с помощью относительно простой статистической обработки результатов изме- рений. Промахи относятся к аномальным результатам измерений, которые могут быть следствием кратковременного воздействия на процесс измерения некото- рого мешающего фактора, преобладающего над остальными. Промах может быть вызван ошибкой оператора, проводящего измерение, или сбоем измери- тельной аппаратуры. В этих случаях аномальный результат должен быть от- брошен. Однако отбрасывание аномальных данных является спорным вопро- сом, по которому у специалистов нет единого мнения. Например, из истории физики известно, что именно аномальные результаты экспериментов привели к великим открытиям. Поэтому при научных исследованиях и в большинстве технических измерений необходимо тщательно проанализировать причину промаха, в частности, многократно повторив эксперимент. Тем не менее, в хорошо изученной ситуации, если не удается найти внешнюю причину прома- ха, вопрос об отбрасывании аномального отсчета должен быть решен на осно- ве обработки всех данных эксперимента. При измерениях в лаборатории физического практикума эксперимент организован так, что: 1. Методической погрешностью можно пренебречь или ее значение можно оценить. 2. Инструментальная погрешность имеет только систематическую составляющую. 3. Дополнительная погрешность имеет только случайную составляющую. 4. Точность показаний измерительных устройств и приборов гарантируется. Èñòèííîå çíà÷åíèå Îöåíêà èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ×èñëîâàÿ îñü Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü x x ∆ x x ∆ ⋅ 2 Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü % 100 ⋅ ∆ = x x x δ x x ∆ + x x ∆ − x x x ∆ ± = Ðèñ. 1. Ðåçóëüòàò èçìåðåíèé Н 0.4 53.2 ± = F Íàïðèìåð 5 6 2. ОБРАБОТКА ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 2.1. Инструментальная погрешность Методика определения погрешности прибора приводится в его паспорте. Для характеристики большинства приборов часто используют понятие приве- денной погрешности, равной абсолютной погрешности в процентах диапазо- на шкалы измерений. По приведенной погрешности приборы разделяются на классы точности. Класс точности указан на панели прибора и может прини- мать следующий ряд значений: 0.05; 0.1; 0.2; 0.5 прецизионные;1.0; 1.5; 2.5; 4.0 технические приборы. Наибольшая абсолютная инструментальная погрешность A/100, K Δ a ⋅ = (1) где K - класс точности, A - наибольшее значение шкалы прибора. Из формулы (1) следует, что относительная погрешность будет минималь- ной, если измеряемая величина дает отброс стрелки индикатора на всю шкалу. Поэтому для оптимального использования прибора его предел выбирают так, чтобы значение измеряемой величины попадало в конец шкалы. В метрологии [1,2], кроме формулы (1), используется и другие, более слож- ные определения инструментальной погрешности и связанного с ней класса точности, особенно для приборов с неравномерными шкалами. Инструментальная погрешность приборов для измерения линейных разме- ров указана на самом приборе в виде абсолютной погрешности или в виде це- ны деления. Если на приборе не указан ни класс точности, ни абсолютная по- грешность, то она принимается равной половине цены наименьшего деления. Для приборов с цифровым отсчетом измеряемых величин метод вычисле- ния погрешности приводится в паспортных данных прибора. Если эти данные отсутствуют, то в качестве абсолютной погрешности принимается значение, равное половине последнего цифрового разряда индикатора. Инструментальную погрешность невозможно уменьшить статистической обработкой отсчетов . Примеры считывания со шкал различных приборов показаны на рис. 2 7. Принцип устройства нониуса рассмотрен в приложении 5. 2.2. Случайная погрешность При наличии случайных погрешностей наблюдаемые значения измеряемой величины при многократных измерениях случайным образом рассеяны отно- сительно ее истинного значения. В этом случае действительное значение нахо- дят как наиболее вероятное из серии отсчетов, а погрешность характеризуют шириной интервала, который с заданной вероятностью покрывает истинное значение. Математическое обоснование ниже приведенных положений пред- ставлено в разделах 6, 7 и 8 и в литературе [3-7], применительно к практикуму по физике в литературе [8,9]. 2 3 40 35 H мм 0,005 31,870 ± = H 0,01 ìì 0 - 25 ìì Îñíîâíàÿ øêàëà Íîíèóñ Ðèñ. 4. Ìèêðîìåòð Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ 1 2 3 4 5 16 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 мм 0,05 21,70 ± = D 0,1 ìì D Íîíèóñ Îñíîâíàÿ øêàëà Ðèñ. 3. Øòàíãåíöèðêóëü Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ ! 30 ìì 1 2 3 4 L Ðèñ. 2. Èçìåðèòåëüíàÿ ëèíåéêà Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ мм 0,5 37,5 ± = L 7 8 Наилучшей оценкой истинного значения величины X является выборочное среднее значение " < >= = ∑ x x N n n N 1 , (2) где x n - отсчет величины X , N - число отсчетов. Для оценки разброса отсчетов при измерении используется выборочное среднее квадратическое отклонение отсчетов " ( ) 1 1 2 − > < − = ∑ = N x x S N n n x (3) Выборочное среднее является случайной величиной и его разброс относи- тельно истинного значения измеряемой величины оценивается выборочным средним квадратическим отклонением среднего значения " S S N x x < > = . (4) Среднее квадратическое отклонение среднего из N отсчетов ! в N раз меньше среднего квадратического отклонения одного отсчета Доверительным интервалом называется интервал [ , ] < > − < > + x x ∆ ∆ , который с заданной степенью достоверности включает в себя истинное значе- ние измеряемой величины (рис.1). Доверительной вероятностью (надежностью )результата серии на- блюдений называется вероятность α , с которой доверительный интервал включает истинное значение измеряемой величины. Случайную составляющую погрешности принято выражать как полушири- ну доверительного интервала. Размер доверительного интервала обычно зада- ют в виде кратного S x < > значения. Тогда Ðèñ. 5. Âîëüòìåòð Ìèêðîâîëüòìåòð. Êëàññ òî÷íîñòè 2,0 мкВ 0,1 4,8 ± = U Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ 2 1 3 4 5 2,0 V µ 0 Ðèñ. 6. Àìïåðìåòð Àìïåðìåòð. Êëàññ òî÷íîñòè 2,0 А 0,1 3,7 ± = I Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ 2 1 3 4 5 A 2,0 2 8 6 é ∙ é ∙ é ∙ é ∙ кОм 0,005 2,860 ± = R Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ Ðèñ. 7. Öèôðîâîé îììåòð 10 9 случайная составляющая погрешности многократных измерений " ∆ x x t S = < > α , (5) где t α - безразмерный коэффициент доверия ( коэффициент Стьюдента) . Коэффициент доверия показывает, во сколько раз нужно увеличить среднее квадратическое отклонение среднего, чтобы при заданном числе из- мерений получить заданную надежность их результата. Коэффициент доверия сложным образом зависит от надежности и числа измерений, и его значение определяют по статистическим таблицам (приложение 1). При расчете случайной погрешности задаются надежностью измерений, ко- торую (в зависимости от целей измерений и требований к ним) принимают равной 0,9; 0,95; 0,96; 0,98; 0,99; 0,997; 0,999. ! Чем больше доверительная вероятность, тем надежнее оценка интервала и, вместе с тем, шире его границы. Полная погрешность ∆ x прямых измерений равна квадратичной сумме ее составляющих: инструментальной ∆ a и случайной ∆ x " 2 2 x a x ∆ + ∆ = ∆ , (6) 2.3. Промахи Обработку прямых измерений рекомендуется начинать с проверки отсче- тов на наличие промахов. Существует много критериев выявления и отбрасы- вания промахов, но ни один из них не является универсальным. Выбор крите- рия зависит от цели измерений, но решение отбросить какие-то данные, в ко- нечном счете, всегда субъективно. Сформулируем, так называемый, критерий Шовене [3]. Из полученного рядя, содержащего N отсчетов, выбирается аномальный отсчет x k и вычис- ляется модуль его отклонения от среднего значения в долях выборочного среднего квадратического отклонения: x k S x x Z − = (7) Затем вычисляется вероятность этого отклонения, а также ожидаемое число n измерений, которые дадут отсчеты, имеющие отклонение Z не меньшее, чем испытуемый. Если получено n<0.5 (при округлении до целого n=0), то отсчет x k считается промахом. Эту процедуру можно изменить и вычислить ожидае- мое число M отсчетов, среди которых будет хотя бы один аномальный. Если M>N, то отсчет x k считается промахом. Связь между M и Z приведе- на в приложении 3. # |