обработка. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ В ИЛ. Методическоепособи е
 Скачать 0.69 Mb.
|
|
Алгоритм обработки прямых измерений 1. Определить инструментальную погрешность. 2. Вычислить среднее значение серии измерений формула (2) 3. Вычислить среднее квадратическое отклонение отсчета формула (3) Если промах устранен, то перейти к 5; иначе к 4. 4. Проверить отсчеты на наличие промаха: • отобрать аномальный отсчет; • вычислить его относительное отклонение формула (7) • определить ожидаемое число отсчетов, среди которых может быть аномальный приложение 3 • если это число больше числа отсчетов, то исключить аномальный отсчет и перейти к 2;иначе перейти к 5. 5. Вычислить выборочное среднее квадратическое отклонение среднего значения формула (4) 6. Определить коэффициент доверия для заданной надежности и полученного числа отсчетов приложение 1 7. Вычислить случайную погрешность формула (5) 8. Вычислить полную погрешность формула (6) 9. После округлений результат обработки измерений записать в форме: ( ) %; 100 .; ) ( α δ ⋅ > < ∆ = ∆ ± > < = x x ⁄Ÿ x x x Иногда необходимо объединить результаты нескольких серий прямых измерений одной и той же физической величины. Эту задачу можно решить следующим образом. Пусть результаты M измерений представлены в виде x x x =< > ± 1 1 ∆ , x x x =< > ± 2 2 ∆ , . . . , x x x M M =< > ±∆ Наилучшее значение < > x и его погрешность ∆ x вычисляются по формулам : " ∑ ∑ = = >= < M m m M m m m w x w x 1 1 , 2 1 1 − = = ∆ ∑ M m m w x (8) где ( ) 2 1 m m x w ∆ = - статистический вес каждой серии измерений. 11 12 3. ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Пусть ( ) u f x y = , ,... функциональная зависимость между измеряемой величиной u и величинами x y , , ... , значения которых найдены прямыми измерениями. Действительное значение < > u определяется как: " ( ) < >= < > < > u f x y , ,... (9) Получим выражение для погрешности ∆ u . Если зафиксировать значения всех аргументов кроме одного, например x ,то приращение функции при изме- нении ее аргумента имеет вид: " ( ) ( ) ∆ ∆ x u f x x y f x y = < > + < > − < > < > , ,... , ,... (10) Если значение ∆ x мало, то в интервале [ , ] < > − < > + x x x x ∆ ∆ функ- цию u f x = ( ) можно считать линейной и " ( ) x x f u x ∆ ⋅ ≈ ∆ ∂ ∂ (11) Величина ∆ x u характеризует погрешность ∆ u , обусловленную погреш- ностью ∆ x . Аналогично определяются составляющие погрешности ∆ u , вно- симые другими аргументами. Полная погрешность ∆ u косвенных измерений u вычисляется либо с помощью квадратичного суммирования либо суммиро- вания по модулю ее составляющих, вносимых каждым аргументом: ( ) ( ) 2 2 + ∆ + ∆ = ∆ y x u (12) " + ∆ + ∆ = ∆ y x u (13) Соотношения (12) применяется в том случае, когда выполняются два усло- вия. Во-первых, погрешность аргументов обусловлена влиянием многих фак- торов, среди которых нет преобладающего фактора. Во-вторых, погрешности аргументов статистически не связаны. В остальных случаях используется со- отношение (13). Однако правило суммирования (13) часто приводит к завы- шенному значению погрешности косвенных измерений. Более подробные све- дения о суммирования погрешностей приведены в разделе 8. Пример. Пусть значение сопротивления на участке цепи постоянного тока опреде- ляется по результатам прямых измерений тока и напряжения на этом участке. Если погрешность измерения тока и напряжения обусловлены влиянием многих факторов (температуры, внутренних сопротивлений амперметра и вольтметра, электрических наводок, нестабильности источника питания и др.), то при суммировании погрешностей лучше использовать формулу (12). Если погрешность прямых измерений обусловлена в основном случайным изменением внутреннего сопротивлением источника питания, то лучше применить формулу (13). Соотношения (9-12) позволяют использовать два алгоритма обработки кос- венных измерений. В одном из них необходимо найти аналитические выраже- ния для частных производных, в другом - используются только численные ме- тоды. В приложении 3 приведены формулы для вычисления погрешности пер- вым способом для некоторых часто встречающихся на практике функциональ- ных связей. # Алгоритм обработки косвенных измерений 1. По известной зависимости измеряемой величины от её аргументов, значения которых найдены с помощью прямых измерений, вычислить действительное значение функции формула (9) 2. Вычислить составляющие погрешности как приращения функции по каждому аргументу формула (10) или найти частные производные по всем аргументам и вычислить составляющие погрешности формула (11) 3. Вычислить полную погрешность функции формула (12) формула (13) 4. После округлений результат обработки измерений записать в форме: ( ) %; 100 .; ) ( α δ ⋅ > < ∆ = ∆ ± > < = u u ⁄Ÿ u u u Часто измеряемая величина p является параметром функциональной за- висимости ) , ( p x f y = величин x и y , которые находят в результате серии прямых измерений с однократными наблюдениями. В этом случае случайную составляющую погрешности косвенных измерений p ∆ определяют с помо- щью обработки вычисленных значений p F x y m m m = ( , ) по методике обра- ботки прямых измерений (здесь m =1..M, где M - число однократных наблюде- ний величин x и y ). Погрешность косвенных измерений функции, как правило, больше погреш- ности прямых измерений ее аргументов. Однако в некоторых частных случаях это правило может нарушаться. Рассмотрим такой частный случай на примере измерения периода колебаний. 13 14 ! Пример. Пусть при прямом измерении периода колебаний с помощью секундоме- ра получено значение T=2,0 ± 0,2 с. Тем же секундомером период можно измерить кос- венно, зафиксировав время t=200 ± 0,2 с, за которое совершилось N=100 колебаний. То- гда период T=t/N, т.е. T=2,000 ± 0,002 с. Говорить о том, что в данном случае полная погрешность измерения меньше инструментальной погрешности некорректно, так как речь идет об измерении разных величин, а именно: прямом измерении времени и кос- венном измерении периода. Последний вид измерений непосредственно не связан с инструментальной погрешностью. 4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ . Незначащими цифрамичисла называются нули в начале десятичных дро- бей, меньших 1, и нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления. Остальные цифры называются значащими. Сомнительной цифрой результата измерения называется цифра, стоящая в разряде, соответствующем старшему разряду со значащей цифрой в значении погрешности. Цифры, стоящие слева от сомнительной называются верными, а справы неверными. Примеры. Числа 30 2000 ; 03 , 0 00 , 1 ; 00002 , 0 00234 , 0 ; 6 586 ± ± ± ± содержат по три значащие цифры. При округлении числа 2 9 9 7 9 3 1 ± до значения 3 1 0 5 ⋅ допущена погрешность 2 0 7 , поэтому в полученном числе сотни являются сомнительной цифрой и, следовательно, последние два нуля - незначащие. Погрешность обычно выражается одной значащей цифрой и лишь при особо ответственных измерениях - двумя. " Округление погрешности и действительного значения. Погрешность округляется до одной значащей цифры. Эта цифра является сомнительной т.к. значение погрешности не имеет верных цифр Действительное значение округляется до цифры, разряд которой равен разряду значащей цифры погрешности. Последняя цифра действительно- го значения сомнительная, остальные цифры - верные. При особо точных измерениях погрешность округляется до двух значащих цифр, если первая их них меньше 4-х и до одной цифры, если первая цифра больше 3-х. Ино- гда в качестве второй цифры оставляют 0 или 5. Запись чисел, считанных со шкалы прибора. В числовом значении измеряемой величины, считанном со шкалы прибора, записываются только верные цифры и сомнительная цифра, разряд которой определяется по значению инструментальной погрешности прибора. " Округление чисел. Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра старшего разряда меньше 5, то оставшиеся цифры не изменяются. Если указанная цифра больше 5, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на 1. Если заменяе- мая нулем или отбрасываемая цифра равна 5, то округление производится сле- дующим образом: последняя цифра в округленном числе остается без измене- ния, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная " Округление при вычислениях. При записи результатов промежуточных вычислений сохраняется одна за- пасная цифра цифра, стоящая справа от сомнительной. При сложении и вычитании приближенных чисел разряд сомнительной цифры результата сов- падает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых. Результат ум- ножения и деления содержит столько значащих цифр, сколько их в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. При возведении в степень (извлечении корня) приближенного числа результат должен иметь столько значащих цифр, сколько их в основании (подкоренном выражении). При лога- рифмировании в мантиссе сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе. Если один из операндов точное число, то количество его цифр не влияет на округление результата операции. Если при вычислениях исполь- зуются табличные данные, то все их цифры верные. Квадратичное суммирование Если при квадратичном суммировании одно из чисел меньше другого в 3 и более раз, то им можно пренебречь. Приведем примеры округления результатов измерений. Запись до округления Запись после округления 123357 ± 678 А/м. 123400 ± 700 А/м. 123357 ± 678 В. 123,4 ± 0.7 кВ. 237,46 ± 0,13 мм 237,5 ± 0,1 мм. 0,00283 ± 0,00034 кг. (2,8 ± 0,3)10 -3 кг. 1,045 ± 0,000003 с. 1,045000 ± 0,000003 с. 359623 ± 307 с. (359,6 ± 0,3)10 3 с. 0,000000047 ± 0,0000000098 м. 50 ± 10 нм. 67.89 ⋅ 10 -7 ± 49,3 ⋅ 10 -8 А 6,8 ± 0,5 мкА. 589 ± 0,69 Н. 589,0 ± 0,7 Н. 589 ± 0,078 Н. 589,00 ± 0,08 Н. 15 16 № U, В 1 145 2 140 3 145 4 105 5 130 6 150 7 150 8 155 9 175 10 160 № U, В 1 145 2 140 3 145 4 130 5 150 6 150 7 155 8 175 9 160 5. ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Пример 5.1. Обработка прямых измерений. Вольтметром измерено 10 отсчетов напряжение U в электрической цепи. Вольтметр, класс точности которого K=2.5, имеет максимальное значение шкалы, равное A=200 В. Результаты измерений представлены в таблице. Обработать результаты измерений, обеспечив 98% надежность оценки на- пряжения. • Вычисляем инструментальную погрешность В 5 100 200 2.5 = = ⋅ = ∆ ⋅ 100 A K a • Для заданной доверительной вероятности % 98 = α и количества отсчетов 10 = N определяем коэффициент доверия 2.8 = 10 ; 98 t (приложение 1). • Вычисляем среднее значение N U U N n n ∑ = = 1 В 146 = U • Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов 1 ) ( 1 2 − > < − = ∑ = N U U S N n n U В 18.6 = U S • Проверяем отсчеты на наличие промахов. Аномальным отсчетом является отсчет №4. Вычисляем нормированное от- клонение 4 U от среднего значения 2.17 18.6 146 105 = − = − = U S U U z 4 Согласно данным приложения 3, количество опытов, при котором полу- ченный отсчет нельзя считать промахом, равно 17. Это число больше, чем 10 = N . Следовательно, отсчет В 105 = 4 U является промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда. Новый ряд отсчетов напряжения ( 9 = N , 2.9 = 9 ; 98 t ) • Вычисляем новое среднее значение В 150 = U • Вычисляем среднее квадратическое отклонение В 12.7 = U S • Вычисляем случайную составляющую погрешности В, 4.23 9 12.7 = = = N S S U U В 12.2 4.23 2.9 = ⋅ = ⋅ = ∆ U N U S t ; α • Вычисляем полную погрешность абсолютную , В 10 13 2 12.2 2 5 ≈ = + = ∆ + ∆ = ∆ 2 2 U a U относительную 6.6% 150 10 = = ∆ = U U U δ • После округлений результат измерения напряжения записываем в виде: 98% 7% В 10 150 = = = ± α δ U Пример 5.2 . Объединение результатов прямых измерений В трех различных условиях измерено сопротивление одного и того же про- водника. Результаты измерений представлены в виде: 1 Ом 2 11 ± = R Ом. 2 12 ± = 2 R Ом 3 10 ± = 1 R Необходимо объединить эти измерения. • Находим статистический вес (вклад) каждого измерения 2 Ом 1 0.25 2 1 2 = = ∆ = 2 1 1 1 R w , 17 18 2 2 Ом 1 0.25 2 1 = = ∆ = 2 2 2 1 R w , 2 Ом 1 0.11 3 1 2 = = ∆ = 2 3 3 1 R w • Находим новую оценку сопротивления Ом 11.2 0.11 0.25 0.25 0.11 10 0.25 12 0.25 11 = + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 3 2 1 3 3 2 2 1 1 w w w w R w R w R R • Находим новую оценку погрешности Ом 1.28 0.11 0.25 0.25 1 = + + = + + = ∆ 3 2 1 1 w w w R • Результат совместной оценки сопротивления Ом 1 11 ± = R Пример 5.3 . Обработка результатов косвенных измерений Прямыми измерениями найдены значения массы m, радиуса R и линейной скорости v равномерного вращения по окружности материальной точки. Необ- ходимо оценить значение центробежной силы F, действующей на материаль- ную точку. г 6 310 ± = m мм 5 104 ± = R с м 1 0 ± = 3 v R v m F 2 ⋅ = Рассмотрим три способа расчета погрешности косвенных измерений 1. Алгоритм, использующий вычисление производных измеряемой величины по её аргументам. • Вычисляем среднее значение силы кН 2.68 Н 2683 0.104 30 0.31 2 ≈ = ⋅ = ⋅ = R v m F 2 • Находим частные производные и вычисляем их значения при средних зна- чениях аргументов г Н .65 8 104 30 2 = = = ∂ ∂ R v m F 2 мм Н 25.8 104 30 310 2 2 − = ⋅ − = ⋅ − = ∂ ∂ 2 2 R v m R F м с Н 179 104 30 310 2 ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = ∂ ∂ R v m v F 2 • Вычисляем составляющие погрешности от каждого аргумента Н 51.9 6 8.65 = ⋅ = ∆ ⋅ ∂ ∂ = ∆ m m F F m , Н 129 5 25.8 = ⋅ = ∆ ⋅ ∂ ∂ = ∆ R R F F R , Н 179 1 179 = ⋅ = ∆ ⋅ ∂ ∂ = ∆ v v F F v • Вычисляем полную погрешность абсолютную кН 0.2 Н 227 ≈ = + + = = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ 2 179 2 129 2 9 51 2 2 2 v R m F F F F относительную 7% 2.7 0.2 = = ∆ = F F F δ • После округления записываем результат косвенных измерений кН 0.2 2.7 ± = F , 7% = F δ 2. Алгоритм, использующий вычисление приращений измеряемой величины по её аргументам. • Вычисляем среднее значение силы кН 2.68 Н 2683 0.104 2 30 0.31 ≈ = ⋅ = ⋅ = R v m F 2 19 20 • Вычисляем приращения функции по её аргументам Н 51.6 2683 0.104 30 0.006) (0.31 2 = − ⋅ + = − ∆ + = ∆ ) , , ( ) , , ( v R m F v R m m F F m Н 123 2683 0.005 0.104 30 0.31 2 = − + ⋅ = − ∆ + = ∆ ) , , ( ) , , ( v R m F v R R m F F m , Н 182 2683 0.104 1) (30 0.31 2 = − + ⋅ = − ∆ + = ∆ ) , , ( ) , , ( v R m F v v R m F F m • Вычисляем полную погрешность абсолютную кН 0.2 Н 226 182 123 51.6 2 2 2 ≈ = + + = = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ 2 2 2 v R m F F F F относительную 7% 2.7 0.2 = = ∆ = F F F δ • После округления записываем результат косвенных измерений кН 0.2 2.7 ± = F , 7% = δF 3. Алгоритм, использующий сложение абсолютных величин погрешностей • Вычисляем среднее значение силы кН 2.68 Н 2683 0.104 2 30 0.31 ≈ = ⋅ = ⋅ = R v m F 2 • Вычисляем относительные погрешности аргументов 2% 0.019 310 6 ≈ = = ∆ = m m m δ 5% 0.048 104 5 ≈ = = ∆ = R R R δ 3% 0.033 30 1 ≈ = = ∆ = v v v δ • Вычисляем относительную погрешность функции по формулам приложе- ния 2 13% 3 2 5 2 = ⋅ + + = ⋅ + + = v R m F δ δ δ δ 2 • Вычисляем абсолютную погрешность функции Н 0.349 0.13 2.68 = ⋅ = ⋅ = ∆ F F F δ • После округления записываем результат косвенных измерений кН 0.3 2.7 F ± = , 11% = F δ |