обработка. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ В ИЛ. Методическоепособи е
 Скачать 0.69 Mb.
|
|
6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИИ НАБЛЮДЕНИЙ 6.1. Определения основных понятий Допустим, что проведено N наблюдений некоторой физической величины. Из-за случайных ошибок отдельные отсчеты x x x N 1 2 , ,..., неодинаковы. Будем считать, что интересующее нас событие произошло, если отсчет ξ по- пал в заданный интервал [ , ) a b Вероятность P события попадания случайной величины в некоторый интервал [ , ) a b называется предел, к которому стремится отношение числа m наступления этого события к числу N всех наблюдений, если число наблюде- ний стремится к бесконечности: P a b m N N ( ) lim ≤ < = →∞ ξ В теории вероятностей математическая характеристика случайных величин основывается на понятии распределение вероятности F x ( ) , которое является функцией числового аргумента x и определяет вероятность того, что значение ξ некоторой случайной величины лежит в интервале [ , ) −∞ x : F x P x ( ) ( ). = −∞ ≤ < ξ F F F a F b ‰› a b ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) р −∞ = ∞ = ≤ ≤ 0 1 Распределение вероятностей позволяет найти вероятность того, что ξ ⊂ [ , ) a b P a b F b F a ( ) ( ) ( ). ≤ < = − ξ В частности, вероятность того, что значение ξ непрерывной случайной величины принадлежит бесконечно малому интервалу [ , ) x x dx + можно выразить как P x x dx f x dx ( ) ( ) . ≤ < + = ξ Функция f x dF x dx ( ) ( ) = называется плотностью вероятности Основное свойство плотности вероятности состоит в том, что ∫ +∞ ∞ − = 1 ) ( dx x f Серию из N отсчетов измеряемой величины можно наглядно представить, построив гистограмму диаграмму, которая показывает, как часто встреча- ются те или иные отсчеты. Гистограмму строят следующим образом. Весь диапазон наблюдаемых значе- ний разбивают на K равных интервалов ( интервалов классификации ) длиной ∆ x и подсчитывают, сколько отсчетов попало в каждый ин- тервал. По оси абсцисс откла- дывают границы интервалов, а по оси ординат - относитель- ную частоту попадания отсче- тов в интервалы, деленную на его длину, т.е. величину H m N x k k = ∆ , где m k число отсчетов, попавших в k-й интервал. На интервалах, как на основаниях строят прямоугольники высотой H k (рис.1). При N → ∞ площадь каждого прямо- угольника будет стремиться к вероятности попадания отсчета в соответствую- щий интервал классификации. Если одновременно устремить длину интервала к нулю ( ∆ x → 0 , но так, что в любой бесконечно малый интервал попадает бесконечно много отсчетов), то гистограмма превратится в график плотности вероятности. Плотность вероятности характеризуется набором параметров моментов распределения, два из которых в теории погрешностей имеют главное значе- ние. Математическое ожидание µ это число, в окрестности которого концентрируются значения случайной величины: µ = −∞ ∞ ∫ xf x dx ( ) Дисперсия σ 2 это число, которое характеризует степень рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания: ( ) σ µ 2 2 = − −∞ ∞ ∫ x f x dx ( ) Величина σ называется средним (стандартным) квадратическим отклонением. Рис. 9. Гистограмма ) ( x f k H x ∆ x k 36 35 6.2. Нормальное распределение В основе теории погрешностей лежат три предположения, подтвержденные опытом: 1. Отклонения наблюдае- мых значений от истинно- го значения принимают непрерывный ряд. 2. Погрешности, имею- щие одинаковые абсолют- ные значения, но разные знаки встречаются одина- ково часто. 3. Чем больше значение погрешности, тем реже оно встречается. Из этих предположений следует, что распре- деление вероятности от- счетов измеряемой величи- ны подчиняется, так назы- ваемому, нормальному распределению (закону распределения Гаусса), плотность вероятности кото- рого f x e x ( ) ( ) = − − 1 2 2 2 2 πσ µ σ , , const const = = σ µ Можно показать, что µ это математическое ожидание, а σ 2 дис- персия. Вид плотности распределения для раз- личных значений дис- персии показан на рис.10. Приведем без доказатель- ства важные свойства нормального распределе- ния. Если ξ имеет нормальное распределение f x ( , ) µ σ (математическое ожиданием µ и дисперсия σ 2 ), то η ξ = + a b , ( a и b детерминированные величины) имеет нормальное распределение (рис.11) ) , ( σ µ a b a x f + Если ξ 1 и ξ 2 нормально рас- пределены с плотностями веро- ятности f x ( , ) µ σ 1 1 , f x ( , ) µ σ 2 2 , то η ξ ξ = + 1 2 имеет нор- мальное распределение с плот- ностью (рис.12) f x ( , ) µ µ σ σ 1 2 1 2 2 2 + + Связь плотности распреде- ления и распределения вероят- ности показана на рис.13., а его вид на рис.14. Рис. 14. Нормальное распределение 1 x F(x) F(x 0 ) x 0 0 x f(x) x Рис. 13. Связь распределения с его плотностью ) ( ) ( 0 0 x x P x F ≤ = f(x) x 1 µ 2 1 σ Рис. 12. Изменение плотности вероятности при сложении нормально распределенных случайных величин 2 µ 2 1 µ µ + 2 2 σ 2 2 2 1 σ σ + f(x) x µ 2 3 2 3 2 1 σ σ σ < < Дисперсия математическое ожидание Рис. 10. Плотность вероятности нормального распределения f(x) µ 2 σ Рис. 11. Изменение плотности вероятности при линейном преобразовании нормально распределенной случайной величины 1 1 b a + ⋅ µ ( ) 2 1 σ ⋅ a 2 2 b a + ⋅ µ x ( ) 2 2 σ ⋅ a 1 1 > a 1 2 < a 37 38 7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЗАКОНА ГУАССА 7.1. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Пусть истинное значение измеряемой величины - X , а x x x N 1 2 , ,..., - ряд её отсчетов. Пусть наблюдаемые значения имеют нормальное распределение с математическим ожиданием µ , совпадающим с истинным значением, и неко- торой дисперсией σ 2 . Вероятность того, что все отсчеты попадут в бесконеч- но малый интервал [ , ) x x − + δ δ 2 2 по теореме умножения вероятностей рав- на произведению вероятностей того, что каждый отсчет попадет в этот интер- вал: ( ) ( ) ( ) P X f x x X n N n n N N ( , ) [ ( ) ] exp σ δ πσ σ δ = = − − ∑ ∏ = 1 2 2 2 2 1 Чем больше P , тем с большей вероятность наблюдаемые значения груп- пируются вокруг истинного значения. Функция P N δ с аргументами X , σ называется правдоподобием эксперимента . Найдем, при какой связи X , σ 2 с отсчетами x x x N 1 2 , ,..., правдоподо- бие максимально. При исследовании функции на экстремум удобно исполь- зовать не саму функцию, а ее логарифм. ( ) ( ) L P N N x X N n n N = = − − − − = ∑ ln( ) ( / ) ln( ) ln ( ). δ π σ σ 2 2 2 2 1 2 При фиксированном значении σ максимум L достигается при ∂ ∂ L X = 0 , т.е. ( ) x X n n N − = = ∑ 1 0 Из последнего уравнения находим X x N x n n N = =< > = ∑ 1 Следовательно, выборочное среднее значение есть максимально прав- доподобная оценка истинного значения измеряемой величины . При фиксированном аргументе X значение σ , дающее максимум L , можно найти из уравнения: ∂ ∂σ L = 0 , или ( ) − + − = = ∑ N x X n n N σ σ 2 1 3 0 Тогда ( ) σ = − = ∑ x X N n n N 2 1 Следовательно, максимально правдоподобная оценка стандарт- ного квадратического отклонения равнавыборочному среднему квадратическому отклонению отсчетовот истинного значения . Так как в процессе измерений истинное значение неизвестно, то получен- ная формула не пригодна для расчета погрешности. Выразим σ через < > x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x X N x x x X N x x N x X x x N x X n n N n n N n n N n n N − = − < > + < > − = − < > + + < > − − < > + < > − = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ 1 2 2 1 2 1 1 2 2( ) В этом выражении второе слагаемое равно нулю. Рассмотрим третье сла- гаемое: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 1 2 2 2 1 2 X x X x N X x N X x X x m N n N m n N n n N n n − − + − = = − = − > < ∑∑ ∑ ∑ = = = = Второе слагаемое полученного выражения равно нулю при N → ∞ , т.к. отклонения наблюдаемых значений от истинного встречаются с разными зна- ками одинаково часто. Следовательно 39 40 ( ) ( ) lim lim ( ) N n n N N n n N x X N x x N →∞ = →∞ = − = − < > − ∑ ∑ 2 1 2 1 1 Величина ( ) S x x N x n n N = − < > − = ∑ 2 1 1 называется выборочным средним квадратическим отклонением оди- ночного наблюдения, которое в пределе дает максимально правдо- подобную оценку стандартного квадратического отклонения: σ = →∞ lim N x S При конечном значении N S x σ ≈ Выборочное среднее является суммой N нормально распределенных слу- чайных величин, имеющих одинаковую дисперсию. Оно представляет случай- ную величину с дисперсией в N раз меньшей, чем дисперсия слагаемых. По- этому выборочное среднее квадратическое отклонение среднего S x < > в N раз меньше чем S x т.е. S S N x x < > = 7.2. Взвешенное среднее значение Если получены две независимые точечные оценки < > x 1 и < > x 2 одно- го и того же истинного значения (математического ожидания) с разными дис- персиями σ 1 и , σ 2 то наилучшую оценку < > x общего математического ожидания можно найти с помощью принципа максимального правдоподобия: ( ) ( ) ( ) ( ) L x X x X = − − − − < > − − < > − ln( ) ln ln 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 π σ σ σ σ Наилучшую оценку находим из уравнения ∂ ∂ L X = 0 , т.е. ( ) ( ) 0 2 2 2 2 1 1 = − > < + − > < σ σ X x X x Тогда < >= < > + < > + x x x 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 σ σ σ σ Дисперсия этой оценки σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ 2 1 2 1 2 2 2 2 2 = < > < > ⋅ + < > < > ⋅ x x x x или ( ) σ σ σ 2 1 2 2 2 1 1 1 = + − 7.3. Доверительный интервал для математического ожидания Как было показано, наилучшей оценкой математического ожидания µ яв- ляется выборочное среднее значение < > x , которое представляет собой слу- чайную нормально распределенную величину с плотностью вероятности f x N ( , ) µ σ . Доверительным интервалом для µ называется интервал [ , ] µ µ − + ∆ ∆ x x , в который с вероятностью α µ σ µ µ = − + ∫ f x N dx x x ( , ) ∆ ∆ попадает µ . Вероятность α называют доверительной веро- ятностью. По заданному значе- нию α всегда можно рассчитать ширину 2 ∆ x доверительного интервала, если известны значе- ния µ и σ (рис.15). При обработке результа- тов измерений значения µ и σ неизвестны, а могут быть вычис- лены лишь их оценки < > x и > < x S . Поэтому задачу построения доверительного интервала необходимо сформулировать иначе. Пусть задана доверительная вероятность α , с которой доверительный интервал шириной 2 ∆ x покрывает неизвестное математиче- ское ожидание µ . В этом случае границы доверительного интервала являются случайными. Для их определения необходимо из функции распределения ис- Рис. 15. ) ( x f x µ Доверительный интервал Плотность вероятности Доверительная вероятность ) ( ) ( x x P x F ∆ ≤ − = ∆ µ x ∆ 2 41 42 ключить неизвестный параметр µ . Используем линейное преобразование: τ µ σ = < > − < > x x случайной величины < > x , где σ σ < > = x N . Случайная величина τ распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тогда α σ σ = − < > < > ∫ f t dt x x x x ( , ) / / 0 1 ∆ ∆ Во многих случаях обработки результатов измерений дисперсия σ , следо- вательно, и > < x σ так же неизвестны. Поэтому при обработке используют их оценки x S , > < x S и > < − > < = Τ x S x µ . В результате случайная величина Τ бу- дет распределена не по нормальному закону, а по, так называемому, закону Стьюдента с плотностью распределения ) , 1 , 0 ( N x f , зависящей от числа N измерений величины x . В этом случае доверительная вероятность и ширина доверительного интервала связаны соотношением ∫ > < > < ∆ ∆ − = x x S x S x dt N t f / / ) , 1 , 0 ( α Решение последнего уравнения относительно x ∆ представляют в виде: > < ⋅ = ∆ x S N t x ) , ( α , где функцию от доверительной вероятности и числа измерений ) , ( N t α назы- вают коэффициентом доверия (коэффициентом Стьюдента). Значения ) , ( N t α в зависимости от α и N приведены в приложении 1. При ∞ → N (практи- чески при 20 > N ) распределение Стьюдента совпадает с нормальным рас- пределением. В этом случае коэффициент доверия можно определить по таб- лицам распределения Гаусса. |