обработка. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ В ИЛ. Методическоепособи е
 Скачать 0.69 Mb.
|
|
8. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ 8.1. Нормальное распределение результатов измерений некоррелированных величин. Пусть ( ) y x f u , = функциональная зависимость между измеряемой ве- личиной u и величинами y x, , значения которых найдены прямыми измере- ниями. Пусть величины y x, распределены по нормальному закону, имеют математические ожидания y x a a , и дисперсии 2 2 , y x σ σ и статистически не связаны между собой. Разложим функцию ( ) y x f , в ряд Тейлора в окрестно- сти точки y x a a , : ( ) ( ) ) ( ) ( ) , ( ) , ( y x y x a y y f a x x f a a f y x f − ⋅ + − ⋅ + ≈ ∂ ∂ ∂ ∂ , частные производные вычисляются в точке y x a a , . Полученное выражение представляет собой сумму трех слагаемых. Первое из них детерминирован- ная величина. Два других произведение детерминированной величины на разность случайной нормально распределенной величины и детерминирован- ной. Согласно свойствам нормального распределения результат косвенных измерений u будет иметь нормальное распределение с математическим ожи- данием ) , ( y x a a f u >= < и дисперсией ( ) ( ) 2 2 2 2 2 y x u y f x f σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ⋅ + ⋅ = Следовательно, при нормальном законе распределения аргументов косвен- но измеряемой функции справедливо правило квадратичного суммирования погрешностей ( ) ( ) 2 2 + ∆ + ∆ = ∆ y x u 8.2. Произвольное распределение результатов измерений. Теперь не будем предполагать, что ошибки измерений аргументов нор- мально распределены и статистически не связаны. Однако будем считать по- прежнему, что оценкой истинного значения является среднее арифметическое, а мерой погрешности их дисперсия. Тогда из разложения функции ( ) y x f , в ряд Тейлора находим, как и ранее, ) , ( ) , ( y x a a f y x f u >= >=< < 43 44 Дисперсия ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 ) ( ) ( 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 y N n x N n y N n x N n y x u a y a x N y f x f a y N y f a x N x f a y y f a x x f N − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = = − ⋅ + − ⋅ ⋅ = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ Учитывая определение дисперсии аргументов y x, , получаем ( ) ( ) ( ) ( ) xy y x u y f x f y f x f σ ∂ ∂ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 2 2 , где величина ( ) ( ) 1 1 y N n x xy a y a x N − ⋅ − ⋅ = ∑ = σ называется ковариацией (корреляционным моментом) и характеризует степень статистической связи аргументов y x, Если статистическая связь отсутствует, т.е. погрешности величины y x, не зависимы (не коррелированны), то 0 = xy σ и ( ) ( ) 2 2 2 2 2 y x u y f x f σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ⋅ + ⋅ = , т.е. по-прежнему справедливо правило квадратического суммирования по- грешностей как и в случае нормального распределения. Если такая зависимость погрешностей имеет место, то с учетом неравенст- ва Шварца y x xy σ σ σ ⋅ ≤ , получаем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] , 2 2 2 2 2 2 2 y x y x y x u y f x f y f x f y f x f σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ σ ∂ ∂ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ⋅ + ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ Следовательно, при наличии корреляции между погрешностями аргументов погрешности суммируются по модулю, а не квадратично, т.е. + ∆ + ∆ = ∆ y x u Это выражение дает верхний предел для погрешностей с произвольным за- коном распределения как при наличии, так и при отсутствии их статистиче- ской связи. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Коэффициент доверия (Стьюдента) Число изм. Надежность N 0.5 0.9 0.95 0.98 0.99 0.999 2 1 6.3 12.7 31.8 63.7 636.6 3 0.82 2.9 4.3 7.0 9.9 31.6 4 0.77 2.4 3.2 4.5 5.8 12.9 5 0.74 2.1 2.8 3.7 4.6 8.6 6 0.73 2.0 2.6 3.4 4.0 6.9 7 0.72 1.9 2.4 3.1 3.7 6.0 8 0.71 1.9 2.4 3.0 3.5 5.4 9 0.71 1.9 2.3 2.9 3.4 5.0 10 0.70 1.8 2.3 2.8 3.2 4.8 20 0.69 1.7 2.1 2.5 2.8 3.8 >20 0.67 1.6 2.0 2.5 2.8 3.3 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Формулы погрешностей косвенных измерений Функциональная Абсолютная Относительная связь погрешность погрешность u x y = + ∆ ∆ ∆ u x y = + ( ) ( ) δ u x y x y = + + ∆ ∆ u x y = − ∆ ∆ ∆ u x y = + ( ) ( ) δ u x y x y = + − ∆ ∆ u xy = ∆ ∆ ∆ u y x x y = + δ δ δ u x y = + u x y = ∆ u u u = δ δ δ δ u x y = + u x n = ∆ u u u = δ δ δ u n x = u x n = ∆ u u u = δ δ δ u x n = u e x = ∆ ∆ u u x = δ u x = ∆ u x = ln( ) ∆ u x = δ δ δ u x u = u x = sin( ) ∆ ∆ u x x = cos( ) δ u ctg x x = ( ) ∆ u x = cos( ) ∆ ∆ u x x = sin( ) δ u tg x x = ( ) ∆ u tg x = ( ) ∆ ∆ u x x = cos ( ) 2 δ u x x = 2 2 ∆ sin( ) u ctg x = ( ) ∆ ∆ u x x = sin ( ) 2 δ u x x = 2 2 ∆ sin( ) 46 45 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Отбор промахов по критерию Шовене Z M Z M Z M Z M Z M 1.00 2 1.40 3 1.80 7 2.20 18 2.60 54 1.02 2 1.42 3 1.82 7 2.22 19 2.62 57 1.04 2 1.44 3 1.84 8 2.24 20 2.64 60 1.06 2 1.46 3 1.86 8 2.26 21 2.66 64 1.08 2 1.48 4 1.88 8 2.28 22 2.68 68 1.10 2 1.50 4 1.90 9 2.30 23 2.70 72 1.12 2 1.52 4 1.92 9 2.32 25 2.72 77 1.14 2 1.54 4 1.94 10 2.34 26 2.74 81 1.16 2 1.56 4 1.96 10 2.36 27 2.76 87 1.18 2 1.58 4 1.98 10 2.38 29 2.78 92 1.20 2 1.60 5 2.00 11 2.40 30 2.80 98 1.22 2 1.62 5 2.02 12 2.42 32 2.82 104 1.24 2 1.64 5 2.04 12 2.44 34 2.84 111 1.26 2 1.66 5 2.06 13 2.46 36 2.86 118 1.28 2 1.68 5 2.08 13 2.48 38 2.88 126 1.30 3 1.70 6 2.10 14 2.50 40 2.90 134 1.32 3 1.72 6 2.12 15 2.52 43 2.92 143 1.34 3 1.74 6 2.14 16 2.54 45 2.94 152 1.36 3 1.76 6 2.16 16 2.56 48 2.96 163 1.38 3 1.78 7 2.18 17 2.58 51 2.98 173 x S x x Z − = - относительное отклонение случайной величины x от её среднего значения в единицах среднеквадратического отклонения, M - число ожидаемых измерений, начиная с которого отклонение Z не может считаться промахом. ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Вероятность того, что результаты N измерений двух некоррелированных случайных величин дадут коэффициент корреляции больше граничного (r>r 0 ) Граничное значение r 0 коэффициента корреляции r Число изм. N 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.99 3 94 87 81 74 67 59 51 41 29 9 4 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 5 87 75 62 50 39 28 19 10 4 0 6 85 70 56 43 31 21 12 6 1 0 7 83 67 51 37 25 15 8 3 1 0 8 81 63 47 33 21 12 5 2 0 0 9 80 61 43 29 17 9 4 1 0 0 10 78 58 40 25 14 7 2 1 0 0 11 77 56 37 22 12 5 2 0 0 0 12 76 53 34 20 10 4 1 0 0 0 13 75 51 32 18 8 3 1 0 0 0 14 73 49 30 16 7 2 1 0 0 0 15 72 47 28 14 6 2 0 0 0 0 16 71 46 26 12 5 1 0 0 0 0 17 70 44 24 11 4 1 0 0 0 0 18 69 43 23 10 3 1 0 0 0 0 19 68 41 21 9 3 1 0 0 0 0 20 67 40 20 8 2 1 0 0 0 0 25 63 34 15 5 1 0 0 0 0 0 30 60 29 11 3 1 0 0 0 0 0 35 57 25 8 2 0 0 0 0 0 0 40 54 22 6 1 0 0 0 0 0 0 50 49 16 3 0 0 0 0 0 0 0 47 48 ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Нониусы Нониусом называется специальная шкала, дополняющая масштаб обычной шкалы и позволяющая повысить точность измерений в 10-20 раз. Нониусы бывают линейные (например, штангенциркуль) и круговые (на- пример, микрометр). Ниже рассмотрим принцип построения линейного нониу- са, который представляет собой небольшую линейку, скользящую вдоль ос- новной шкалы. Интервал b одного деления нониуса меньше k интервалов деления a основной шкалы на величину b a k − ⋅ = δ . Если принять N a = δ , где N целое, то длина N делений нониуса равна длине 1 − ⋅ k N делений основной шкалы, т.е. ( ) a k N b N ⋅ − ⋅ = ⋅ 1 . Пусть длина D измеряемого предмета такая, что ( ) a m D a m ⋅ + < < ⋅ 1 (см. рисунок). Если ое − n деление нониуса совпадает с некоторым делением основной шка- лы, то длина предмета a N n m n a m D ⋅ + = ⋅ + ⋅ = δ . Следовательно, ми- нимальное отличие длины предмета от целого числа делений основной шкалы, которое можно измерить по нониусу, равно δ и составляет ю − N долю цены деления основной шкалы. Значение δ указывается как цена деления на изме- рительном приборе. ЛИТЕРАТУРА 1. Брянский Л.Н., Дойников А.С. Краткий справочник метролога. М.: Издательство стандартов, 1991. 2. Кушнир Ф.В., Савенко В.Г. Электрорадиоизмерения. Л.: Энергия, 1975. 3. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М.: Мир, 1985. # 4. Сквайрс Дж. Практическая физика. М.: Мир, 1971. # 5. Худсон Д. Статистика для физиков. М.: Мир, 1970. 6. Кунце Х.-И. Методы физических измерений. М.: Мир, 1989. 7. Тойберт П. Оценка точности результатов измерений. М.: Энерго- атомиздат, 1988. 8. Каленко С.Г., Соломахо Г.И. Практикум по физике. Механика. М.: Высш. шк., 1990. ! 9. Кортнев А.В., Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по физике. М.: Высш. шк., 1965. 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 мм 0,05 21,70 ± = D Íîíèóñ Îñíîâíàÿ øêàëà Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ m 1 + m n 2 δ ± ∆ + ⋅ = a m D δ ⋅ = ∆ n b n ⋅ Ïðåäìåò N a = δ Ñîâïàâøèå äåëåíèÿ a k n ⋅ ⋅ b a 49 50 51 C О Д Е Р Ж А Н И Е Стр. 1. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ………………………. 3 2. ОБРАБОТКА ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ………………………… 7 2.1. Инструментальная погрешность……………………………………. 7 2.2. Случайная погрешность……………………………………………… 7 2.3. Промахи………………………………………………………………. 11 3. ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ…………………… 13 4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ……. 15 5. ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ….. 17 5.1. Обработка прямых измерений………………………………………. 17 5.2. Объединение результатов прямых измерений………………………18 5.3. Обработка результатов косвенных измерений……………………... 19 5.4. Обработка результатов косвенных измерений (сравнение методов расчета)………………………………………... 22 5.5. Обработка результатов косвенных измерений (анализ статистической связи погрешностей)……………………... 25 5. 6. Экспериментальная проверка закона инерции…………………….. 29 6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИИ НАБЛЮДЕНИЙ….35 6.1. Определения основных понятий…………………………………….. 35 6.2. Нормальное распределение………………………………………….. 37 7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЗАКОНА ГУАССА………………………………… 39 7.1. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии………. 39 7.2. Взвешенное среднее значение………………………………………. 41 7.3. Доверительный интервал для математического ожидания…………42 8. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ……………………………………………………… 44 8.1. Нормальное распределение результатов измерений некоррелированных величин………………………………………... 44 8.2. Произвольное распределение результатов измерений……………...44 9. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Коэффициент доверия (Стьюдента)…………46 10. ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Формулы погрешностей косвенных измерений……………………………………... 46 11. ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Отбор промахов по критериюШовене …….. 47 12. ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Вероятность коэффициентовкорреляции……48 13. ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Нониусы………………………………………. 49 14. ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………. 50 |