обработка. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ В ИЛ. Методическоепособи е
 Скачать 0.69 Mb.
|
|
Пример 5.4 . Обработка результатов косвенных измерений В этом примере сравним трудоемкость вычисления погрешностей косвен- ных измерений по двум алгоритмам. Рассмотрим случая сложной функцио- нальной зависимости измеряемой величины от аргументов. Пусть прямыми измерениями найдены значения элементов последователь- ного колебательного контура. Активного сопротивления Ом 1 10 ± = R . Ин- дуктивности мГ 1.5 30.0 ± = L . Емкости мкФ 2 100 ± = C . В контуре возбу- ждены вынужденные колебания на частоте c рад 1000 = ω . Амплитуда ис- точника ЭДС В 10 = Ε . Связь между амплитудой тока и параметрами элемен- тов контура определяется соотношением: 2 2 1 ) , , ( ⋅ − ⋅ + Ε = C L R C L R I ω ω Амплитуда ЭДС Ε и частота ω измерены с большой точностью и могут рассматриваться как константы. 1. Алгоритм, использующий вычисление приращений измеряемой величины по её аргументам • Вычисляем среднее значение тока А 0.447 2 6 10 100 3 10 1 3 10 30 10 10 10 3 2 = − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + = = ⋅ − ⋅ + Ε = 2 2 1 ) , , ( C L R C L R I ω ω 21 22 • Вычисляем приращения функции мА 9.1 А 0.0091 0.447 10 100 10 1 10 30 10 1) (10 10 2 6 3 3 3 2 = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + + = = = − ∆ + = ∆ − − ) , , ( ) , , ( C L R I C R R I I R мА 25 А 0.025 0.447 10 100 10 1 10 1.5) (30 10 10 10 2 6 3 3 3 2 = − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + = = = − ∆ + = ∆ − − ) , , ( ) , , ( C L R I C L L R I I L мА 3.5 А 0.0035 0.447 10 2) (100 10 1 10 30 10 10 10 2 6 3 3 3 2 = = − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + = = − ∆ + = ∆ − − ) , , ( ) , , ( C L R I C C L R I I C • Вычисляем полную погрешность абсолютную мА 30 26.8 2 3.5 2 25 2 9.1 ≈ = + + = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ 2 2 2 C L R I I I I относительную 7% 450 30 = = ∆ = I I I δ • После округления записываем результат косвенных измерений мА 30 450 ± = I , 7% = F δ 2. Алгоритм, использующий вычисление производных измеряемой величины по её аргументам • Вычисляем среднее значение тока. • Вычисляем производные функции 3 2 2 1 ⋅ − ⋅ + ⋅ Ε − = ∂ ∂ C L R R R I ω ω 3 2 2 1 1 ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ Ε − = ∂ ∂ C L R C L L I ω ω ω ω ω 3 2 2 2 1 1 ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ Ε − = ∂ ∂ C L R C C L C I ω ω ω ω ω • Вычисляем значения производных от средних значений аргументов Ом А 10 8.9 2 10 10 1 10 30 10 10 10 10 3 3 4 3 3 3 2 − − ⋅ = ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ − = ∂ ∂ R I Г А 17.9 10 10 1 10 30 10 10 10 10 1 10 30 10 10 3 2 4 3 3 3 2 4 3 3 3 − = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − = ∂ ∂ − − − − L I Ф А 1790 10 10 1 10 30 10 10 10 10 10 10 1 10 30 10 10 3 2 4 3 3 3 2 8 3 4 3 3 3 − = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − = ∂ ∂ − − − − − C I 23 24 № I, А U, В 1 0.265 6.55 2 0.255 6.40 3 0.225 5.60 4 0.245 6.20 5 0.235 5.95 6 0.210 5.20 7 0.260 6.55 8 0.240 6.00 9 0.210 5.30 10 0.215 5.40 • Вычисляем составляющие погрешности функции мА 8.9 А 10 8.94 1 10 8.94 3 3 ≈ ⋅ = ⋅ ⋅ − − = ∆ ⋅ ∂ ∂ = ∆ R R I I R мА 27 А 10 26.8 10 1.5 17.9 3 3 ≈ ⋅ = ⋅ ⋅ − − = ∆ ⋅ ∂ ∂ = ∆ L L I I L мА 3.6 А 10 3.58 10 2 1790 3 6 ≈ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − − = ∆ ⋅ ∂ ∂ = ∆ C C I I C • Вычисляем полную погрешность абсолютную мА 30 29 3.6 27 8.9 2 2 2 ≈ = + + = = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ 2 2 2 C L R I I I I относительную 7% 450 30 = = ∆ = I I I δ • После округления записываем результат косвенных измерений мА 30 450 ± = I , 7% = F δ Пример 5.5 . Обработка результатов косвенных измерений В этом примере рассмотрим влияние статистической связи погрешностей аргументов на результат косвенных измерений их функции. Источник ЭДС постоянного тока с некоторым внутренним сопротивлением нагружен на согласованную по мощности активную нагрузку (нагрузка назы- вается согласованной, если в ней выделяется максимальная мощность, в этом случае сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС). Прямыми измерениями найдены N=10 значений тока I и напряжения U на нагрузке. Инструментальная погрешность измерения тока ∆ I a =0.005 А, напря- жения - ∆ U a =0.05 В. Надежность оценок тока и напряжения должна состав- лять 95%. Необходимо с помощью косвенных измерений определить мощ- ность P, потребляемую от источника. По закону Джоуля - Ленца U I P ⋅ = Известно, что основной причиной разброса измеренных значений тока и напряжения является нестабильность источника, приводящая к случайным изменениям его ЭДС и внутреннего сопротивления. Следовательно, изменения тока и напряжения на нагрузке будут статистически связанными (коррелиро- ванными), так как порождаются одной и той же причиной. В этом случае суммирование погрешностей тока и напряжения необходимо производить не квадратически, а по абсолютной величине. Рассмотрим порядок вычислений мощности. • Для заданной доверительной вероятности % 95 = α и количества отсчетов 10 = N определяем коэффициент доверия 3 2 (приложение 1.) • Вычисляем среднее значение тока и напряжения N I I N n n ∑ = = 1 А. 0.236 = I N U U N n n ∑ = = 1 В. 5.92 = U • Вычисляем среднее квадратическое отклонение тока и напряжения 1 ) ( 1 2 − > < − = ∑ = N I I S N n n I А 0.021 = I S 1 ) ( 1 2 − > < − = ∑ = N U U S N n n U В 0.51 = U S • Вычисляем коэффициент корреляции тока и напряжения U I N n n n IU S S N U U I I r ⋅ ⋅ − > < − ⋅ > < − = ∑ = ) 1 ( ) ( ) ( 1 0.995 = IU r Согласно данным приложения 4 при N=10 вероятность того, что ток и на- пряжение на нагрузке некоррелированы равна нулю. Следовательно, экспери- ментальные данные указывают на связь между погрешностью тока и напряже- ния. • Вычисляем случайную составляющую погрешности тока и напряжения А, 0.0066 10 0.021 = = = N S S I I В, 0.16 10 0.51 = = = N S S U U 25 26 № I, А U, В 1 0.290 5.55 2 0.285 5.30 3 0.285 5.55 4 0.275 5.05 5 0.190 4.30 6 0.245 6.05 7 0.220 5.90 8 0.275 6.55 9 0.230 8.20 10 0.210 6.80 А 0.015 0.066 2.3 = ⋅ = ⋅ = ∆ I I S t 10 ; 95 В 0.37 0.16 2.3 = ⋅ = ⋅ = ∆ U U S t 10 ; 95 • Вычисляем полную погрешность абсолютную А 0.015 = ∆ = ∆ I I , В 0.37 = ∆ = ∆ U U относительную 6% 0.24 0.015 = = ∆ = I I I δ 6% 5.9 0.37 = = ∆ = U U U δ • После округлений получаем результаты измерения тока и напряжения 95% 6% мА 20 240 = = = ± α δ I 95% 6% В 0.4 5.9 = = = ± α δ U • Вычисляем среднее значение мощности Вт 1.4 5.9 0.24 = ⋅ = ⋅ = U I P • Вычисляем относительную погрешность измерения мощности 12% 6 6 = + = + = U I P δ δ δ • Вычисляем абсолютную погрешность измерения мощности Вт 0.17 0.12 1.4 = ⋅ = ⋅ = ∆ P P P δ • Результат косвенных измерений мощности Вт 0.2 1.4 ± = P 12% = P δ При квадратическом суммировании погрешностей корреляция между от- счетами прямых измерений не учитывается. Это может привести к занижению погрешности косвенных измерений, что равноценно уменьшению надежности косвенных измерений. Иногда уменьшение погрешности может достигнуть такой величины, при которой доверительный интервал не будет покрывать истинное значение. В данном случае при квадратическом суммировании пог- решностей измерения тока и напряжения получаем ( ) ( ) ( ) ( ) Вт 0.13 2 0.4 0.24 2 0.015 5.9 = ⋅ + ⋅ = = ∆ ⋅ + ∆ ⋅ = ∆ 2 2 U I I U P , Вт 0.1 1.4 ± = P 7% = P δ В рассмотренной задаче истинное значение мощности Вт 1.44 = P Для сравнения рассмотрим ту же измерительную задачу, но в условиях, при которых разброс отсчетов тока и напряжения обусловлен большим числом не доминирующих факторов. В этом случае погрешности отсчетов тока и напря- жения статистически не связаны. • Для заданной доверительной вероятности 95% = α и количества отсчетов 10 = N определяем коэффициент доверия 2.3 = 10 ; 95 t . Вычисляем среднее значение тока и напряжения А 0.251 = I В. 5.92 = U • Вычисляем среднее квадратическое отклонение тока и напряжения А 0.036 = I S , В 1.08 = U S • Вычисляем коэффициент корреляции тока и напряжения 0.111 = IU r Согласно прил. 4. при данном числе измерений вероятность того, что погрешности тока и напряжения на нагрузке не связаны между собой, равна 78%. Следовательно, экспериментальные данные свидетельствуют об отсутствии связи между погрешностями тока и напряжения. • Проверяем отсчеты на наличие промахов. Аномальным отсчетом является отсчет напряжения №9. Вычисляем нор- мированное отклонение 9 U от среднего значения 2.114 = z Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать прома- хом, равно 14.(приложение 3). Это число больше, чем 10 = N . Следовательно, отсчет В 8.2 = 9 U является промахом и его нужно удалить из обрабатываемо- го ряда. Новый ряд имеет 9 = N отсчетов и 2.3 = 9 ; 95 t • Вычисляем новое среднее значение и среднее квадратическое отклонение В 5.67 = U В 0.76 = U S 27 28 • Вычисляем случайную составляющую погрешности , А 0.012 = I S А 0.028 = ∆ I , В 0.76 = U S В 0.18 = ∆ U • Вычисляем полную абсолютную и относительную погрешность , А 0.03 = ∆ I В, 0.4 = ∆ U 12% U ä = 7% = U δ • Результат прямых измерений тока и напряжения 95% 12% А 0.03 0.25 = = = ± α δ I 95% 7% В 0.4 5.7 = = = ± α δ U • Вычисляем среднее значение мощности Вт 43 1 = P • Вычисляем относительную погрешность измерения мощности при квадра- тичном суммировании погрешностей измерения тока и напряжения ( ) ( ) ( ) ( ) Вт 0.2 0.4 0.25 0.03 5.7 2 2 = ⋅ + ⋅ = ∆ ⋅ + ∆ ⋅ = ∆ 2 2 U I I U P , Вт 0.2 1.4 ± = P 14% = P δ При отсутствии корреляции между аргументами суммирование их по- грешностей по абсолютной величине приведет к завышению погрешности косвенных измерений функции и к расширению доверительного интервала, т.е. к повышению надежности измерений. Такая завышенная оценка погреш- ности допустима. В данном случае 19% 7 2 = + = + = 1 U I P δ δ δ Вт 0.3 0.19 1.4 = ⋅ = ⋅ = ∆ P P P δ Вт 0.3 1.4 ± = P % 21 = P δ Пример 5.6. ( комплексный ). Э кспериментальная проверка закона инерции Для проверки законов инерции произведено измерение центробежной силы инерции, действующей на тело при его равномерном вращении. Тело массой m было установлено на равномерно вращающейся платформе на расстоянии R от оси вращения. Линейная скорость v тела измерялась тахометром (прибором для измерения угловой скорости), шкала которого проградуирована в едини- цах линейной скорости. Точность отсчета скорости составляла 0.5м/с. Радиус вращения тела измерялся линейкой с ценой деления 1 мм. Масса тела измеря- лась весами, погрешность которых 1 г. Центробежная сила R v m F 2 ⋅ = Независимо, центробежная сила инерции была измерена с помощью дина- мометра с ценой деления 10 Н. Измерения массы, радиуса вращения, скорости тела и силы повторены 6 раз. Результаты представлены в таблице Обработка прямых измерений массы Инструментальная погрешность г. 1 = ∆ a Число отсчетов 6 = N Доверительная вероятность 95% = α Коэффициент доверия 2.6 = 6 ; 95 t • Вычисляем среднее значение г 317 = m • Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов г 17.5 = m S • Проверяем отсчеты на наличие промахов. Аномальным отсчетом является отсчет №4. Вычисляем нормированное от- клонение 4 m от среднего значения 1.98 17.5 317 352 = − = z № отсчета Масса m, г Радиус R, мм Скорость v, м/с Сила F, Н 1 315 99 30.0 2710 2 313 103 30.0 2210 3 305 111 30.0 1940 4 352 104 29.5 2490 5 306 105 28.5 2760 6 313 104 31.0 2680 29 30 Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать прома- хом, равно 10 (приложение 3). Это число больше, чем 6 = N . Следовательно, отсчет г 352 = 4 m промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда. • Вычисляем среднее значение г 310 = m • Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсче- тов г 4.6 = m S • Вычисляем случайную составляющую погрешности г 2.0 5 4.6 = = m S г 5.6 2 2.8 = ⋅ = ∆ m • Вычисляем полную погрешность абсолютную ) 3 a m m ∆ ⋅ > ∆ ≈ = ∆ (т.к. г 6 5.6 , относительную 2% 310 6 = = m δ • Результат прямого измерения массы представляем в виде: 95% 2% г 6 310 = = = ± α δ m Обработка прямых измерений радиуса вращения Инструментальная погрешность мм 0.5 = ∆ a Число отсчетов 6 = N Доверительная вероятность 95% = α Коэффициент доверия 2.6 = 6 ; 95 t • Вычисляем среднее значение ·· R 104 = • Вычисляем среднее квадратическое отклонение мм 3.9 = R S • Аномальные отсчеты отсутствуют. • Вычисляем случайную составляющую погрешности мм 1.6 6 3.9 = = R S мм 4.2 1.6 2.6 = ⋅ = ∆ R • Вычисляем полную погрешность абсолютную ) ( 3 a R R ∆ ⋅ > ∆ = ∆ ≈ т.к мм 4 4.2 относительную 4% 104 4 = = R δ • После округлений результат прямого измерения массы запишем в виде: 95% 4% мм 4 104 = = = ± α δ R Обработка прямых измерений скорости вращения Инструментальная погрешность с м 0.5 = ∆ a Число отсчетов 6 = N Доверительная вероятность 95% = α Коэффициент доверия 2.6 = 6 ; 95 t • Вычисляем среднее значение с м 29.8 = v • Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов с м 0.82 = v S • Проверяем отсчеты на наличие промахов. Аномальным отсчетом является отсчет №5. Вычисляем нормированное отклонение 5 v от среднего значения 1.63 0.82 29.8 28.5 = − = z Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать прома- хом, равно 5. Это число не больше количества измерений 6 = N . Следователь- но, отсчет с м 28.5 = 5 v нельзя считать промахом. • Вычисляем случайную составляющую погрешности с м 0.33 6 0.82 = = v S с м 0.86 0.33 2.6 = ⋅ = ∆ v • Вычисляем полную погрешность абсолютную с м 1 2 0.5 2 0.86 = + = ∆ v относительную % 3 29.8 1 = = v δ • После округлений результат прямого измерения массы представляем как Новый ряд отсчетов массы 5 = N 8 2 5 ; 95 = t № m, г 1 315 2 313 3 305 4 306 5 313 Отсчеты радиуса № R, мм 1 99 2 103 3 111 4 104 5 105 6 104 Отсчеты скорости № V, м/с 1 30 2 30 3 30 4 29.5 5 28.5 6 31 32 31 95% 3% с м 1 30 = = = ± α δ v Обработка косвенных измерений центробежной силы • Вычисляем среднее значение силы кН 2.68 Н 2683 0.104 30 0.31 2 ≈ = ⋅ = F • Находим относительную погрешность по формулам таблицы 2. 12% 3 2 4 2 = ⋅ + + = F δ • Находим абсолютную погрешность кН 0.32 0.12 2.68 = ⋅ = ∆ F • После округлений результат косвенного измерения силы пред- ставляем в виде: 95% á 12% ä кН 0.3 2.7 = = ± = F Обработка прямых измерений центробежной силы Инструментальная погрешность Н 10 = ∆ a Число отсчетов 6 = N Доверительная вероятность 95% = α Коэффициент доверия 2.6 = 6 ; 95 t • Вычисляем среднее значение Н 2465 = F • Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов Н 327 = F S • Проверяем отсчеты на наличие промахов. Аномальным отсчетом является отсчет №3. Вычисляем нормированное от- клонение 3 v от среднего значения 1.61 327 2465 1940 = − = z Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать прома- хом, равно 5. Это число не больше количества измерений 6 = N . Следователь- но, отсчет Н 1940 = 3 v нельзя считать промахом. • Вычисляем случайную составляющую погрешности 133Н 6 327 = = F S Н 346 133 2.6 = ⋅ = ∆ F • Полная погрешность абсолютная кН 0.3 Н 346 ≈ = ∆ F относительная 14% 2465 346 = = F δ • После округлений результат прямого измерения массы представляем как 95% 14% кН 0.3 2.5 = = = ± α δ F На рис.8 видно, что доверительные интервалы прямых и косвенных изме- рений центробежной силы перекрываются. Следовательно, эксперименталь- ные данные с вероятностью 95% не противоречат формуле R v m F 2 ⋅ = Ðèñ.8. Ðåçóëüòàòû îáðàáîòêè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ Ñðåäíåå çíà÷åíèå F=2.7 êÍ , ïîëó÷åííîå ïðè êîñâåííûõ èçìåðåíèÿõ F,êÍ Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ( 0.6 êÍ ) ïðÿìûõ èçìåðåíèé öåíòðîáåæíîé ñèëû Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ( 0.6 êÍ ) êîñâåííûõ èçìåðåíèé öåíòðîáåæíîé ñèëû Ñðåäíåå çíà÷åíèå F=2.5 êÍ , ïîëó÷åííîå ïðè ïðÿìûõ èçìåðåíèÿõ Отсчеты силы № F, Н 1 2710 2 2210 3 1940 4 2490 5 2760 6 2680 33 34 |