курсач. Методика расчета электрических цепей постоянного тока

• Название: Методика расчета электрических цепей постоянного тока
• Дата: 02.07.2021
• Размер: 0.5 Mb.
• Имя файла: курсач.docx
• Тип: Документы; #223031
• страница: 1 из 3

1. 
   Методика расчета электрических цепей постоянного тока
   
   1. 
      Расчет простых электрических цепей постоянного
      тока со смешанным соединением сопротивлений методом
      эквивалентных преобразований
      

Для схемы электрической цепи, изображенной на рисун­ке 1.1, определить токи в ветвях цепи методом эквивалентных преобразований, составить баланс мощностей.

Исходные данные представлены в таблице 1.1.

Е, В	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	R6, Ом
100	10	5	12	12	24	30

Рисунок 1.1 — Схема электрической цепи постоянного тока

Расчет электрической цепи постоянного тока методом экви­валентных преобразований основан на применении свойств по­следовательного и параллельного соединения элементов.

Свойства последовательного соединения сопротивлений:

I = I₁ = I₂ = …;

U = U₁ +U₂ +…;

R = R₁ + R₂+ ... .

Свойства параллельного соединения сопротивлений:

I = I₁ +I₂ +…;

U = U₁ = U₂ = …;

= + +… .

На схеме электрической цепи постоянного тока, представ­ленной на рисунке 1.1, указываем направления токов в ветвях в соответствии с направлением ЭДС.

Для определения токов в ветвях используем метод эквива­лентных преобразований. Найдем эквивалентное сопротивление цепи относительно источника ЭДС. Рекомендуется поэтапное преобразование последовательно и параллельно соединенных со­противлений, начиная с ветвей, наиболее удаленных от источ­ника ЭДС.

Сопротивления R₄ и R₅ соединены параллельно, следователь­но, сопротивление R₄₅равно:

= = = = ( );

R₄₅ = = 8 (Ом).

Свернем исходную схему (рисунок 1.1). Получаем схему цепи, изображенную на рисунке 1.2.

В схеме цепи сопротивления R₃ и R₄₅ соединены последова­тельно, следовательно, сопротивление R₃₄₅ можно рассчитать по формуле

R₃₄₅ = R₃ + R₄₅ = 12 + 8 = 20 (Ом).



Рисунок 1.2 — Преобразованная схема электрической цепи постоянного тока

Получаем схему цепи, изображенную на рисунке 1.3.

В схеме цепи сопротивления R₆ и R₃₄₅ соединены параллельно:

= = = = ( );

R₃₄₅₆= = 12 (Ом).



Рисунок 1.3 — Преобразованная схема электрической цепи постоянного тока

Получаем схему цепи, изображенную на рисунке 1.4.

В схеме цепи сопротивления R₁, R₂ и R₃₄₅₆соединены последо­вательно, следовательно, общее сопротивление цепи можно рас­считать по формуле

R = R₁ + R₂ + R₃₄₅₆ = 10 + 5 + 12 = 27 (Ом)



Рисунок 1.4 - Преобразованная схема электрической цепи постоянного тока

Получаем схему цепи, изображенную на рисунке 1.5.



Рисунок 1.5 — Преобразованная схема электрической цепи постоянного тока

Определяем токи в ветвях электрической цепи.

По закону Ома для схемы цепи, изображенной на рисун­ке 1.5, ток I равен:

I = = = 3,7037 (А).

Разворачиваем схему, изображенную на рисунке 1.5, и пере­ходим к схеме, приведенной на рисунке 1.4.

I = I₁ = I₂ = I₃₄₅₆.

Для определения токов в других ветвях цепи находим напря­жения на этих ветвях.

Напряжение U₁ и U₂ для схемы цепи, изображенной на рисун­ке 1.4, определим по закону Ома:

U₁ = I₁  R₁ = 3,7037 10 = 37,037 (В)

U₂ = I₂  R₂ = 3,7037 5 = 18,5185 (В)

Напряжение U₃₄₅₆ для схемы цепи, изображенной на рисун­ке 1.4, определим по закону Ома:

U₃₄₅₆ = I₃₄₅₆  R₃₄₅₆ = 3,7037 12 = 44,4444 (В) = U₆ = U₃₄₅ .

По закону Ома в схеме цепи, приведенной на рисунке 1.3:

I₆ = = = 1,4815 (А);

I₃₄₅ = I₃ =I₄₅ = = = 2,2222 (А).

По закону Ома в схеме цепи, изображенной на рисунке 1.2:

U₄₅ = I₄₅  R₄₅ = 2,2222  8 = 17,7776 (В) = U₄ = U₅.

По закону Ома в схеме цепи, приведенной на рисунке 1.1:

I₄ = = = 1,4815 (А);

I₅ = = = 0,7407 (А).

Составляем уравнение баланса мощностей:

 Р_ИСТ =  Р_ПОТР.

Мощность источника энергии равна:

 Р_ИСТ = EI₁ = 100  3,7037 = 370,37 (Вт).

Мощность приемников энергии рассчитываем по формуле

 Р_ПОТР = R₁+ R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆=

= 3,7037²  10 + 3,7037²  5 + 2,2222²  12 +
+ 1,4815²  12 + 0,7407²  24 + 1,4815²  30 = 370,3698 (Вт);

370,37 Вт = 370,3698 Вт.

Баланс мощностей соблюдается, следовательно, токи опреде­лены правильно.

2. 
   Методы расчета сложных
   электрических цепей постоянного тока
   

Для электрической цепи, изображенной на рисунке 1.6, не­обходимо:

1. 
   определить токи во всех ветвях, используя метод узловых и контурных уравнений;
   
2. 
   рассчитать токи во всех ветвях методом контурных токов;
   
3. 
   найти токи во всех ветвях на основании метода узлового напряжения;
   
4. 
   определить токи во всех ветвях, используя метод наложе­ния токов;
   
5. 
   составить уравнение баланса мощностей;
   
6. 
   построить потенциальную диаграмму для контура, содер­жащего два источника ЭДС.
   

Параметры элементов электрической цепи указаны в табли­це 1.2.

Таблица 1.2 — Исходные данные

E1, В	E2, В	R01, Ом	R02, Ом	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	R6, Ом
4	15	0	0	7	3	5	4	5	2

1. 
   Расчет электрической цепи постоянного тока методом уз­ловых и контурных уравнений
   

Метод узловых и контурных уравнений подразумевает со­ставление системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и при­меняется для расчета любой электрической цепи.

При расчете электрических цепей постоянного тока можно использовать следующий алгоритм.

1. 
   Произвольно задать направления действительных токов в ветвях электрической цепи.
   
2. 
   По первому закону Кирхгофа составить п - 1 узловых уравнений, где п — число узлов в цепи.
   
3. 
   Составить контурные уравнения для независимых конту­ров по второму закону Кирхгофа. Число контурных уравнений можно проверить по формуле т - п+1, где т — число ветвей в цепи.
   
4. 
   Составить систему уравнений из узловых и контурных уравнений. Количество уравнений в системе должно быть равно количеству ветвей (токов) в цепи.
   
5. 
   Решив данную систему, найти действительные токи. Если в результате расчета какие-либо токи получились отрицатель­ными, это указывает на то, что их действительное направление противоположно выбранному.
   

Рисунок 1.6 - Принципиальная схема электрической цепи постоянного тока

Для схемы, изображенной на рисунке 1.6, указываем направ­ления действительных токов в ветвях I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆.

В заданной цепи шесть ветвей (т = 6), значит, в системе должно быть шесть уравнений. Сначала составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. В цепи четыре узла (n = 4), следова­тельно, нужно составить три уравнения (n - 1 = 4 - 1 = 3). На­пример, для узлов 1, 2, 3 по первому закону Кирхгофа запишем уравнения:

узел 1: –I₁ + I₆ – I₃ = 0;

узел 2: + I₁ – I₂ – I₄ = 0;

узел 3: I₄ + I₅ – I₆ = 0.

Составляем оставшиеся три уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров. Чтобы контур был неза­висимым, необходимо в каждый следующий контур включить одну ветвь, не входящую в предыдущие. Выбираем направле­ния обходов и составляем уравнения. При составлении уравне­ний учитываем следующее. Если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, ЭДС записывается со знаком «+», если их направления противоположны, то ЭДС берем со знаком «–». Падение напряжения на резисторе записываем со знаком «+», если направления обхода контура и тока, протекаю­щего через него, совпадают, а со знаком «–» - если их направ­ления противоположны.

Контур 1421 (обход против часовой стрелке):

E₁ = I₂ R₂ + I₁ (R₁ + R₀₁) – I₃ R₃.

Контур 2432 (обход по часовой стрелке):

0 = I₂ R₂ + I₅ R₅ – I₄ R₄.

Контур 1431 (обход против часовой стрелки):

E₂ = I₃ R₃ + I₆ (R₆+ R₀₂)+ I₅ R₅.

Записываем уравнения для узлов и контуров в систему. По­лучили систему из шести уравнений с шестью неизвестными:



Подставляем в уравнения численные значения ЭДС и сопро­тивлений из таблицы 1.2:



Решаем систему уравнений методом Крамера, применяя спе­циализированные инструменты математического анализа. Заполним таблицу 1.3.

Таблица 1.3 — Коэффициенты при токах из системы урав­нений

I1	I2	I3	I4	I5	I6	Е
-1	0	-1	0	0	1	0
1	-1	0	-1	0	0	0
0	0	0	1	1	-1	0
7	3	-5	0	0	0	4
0	3	0	-4	5	0	0
0	0	5	0	-5	2	15

Рисунок 1.7 - Принципиальная схема электрической цепи постоянного тока

2. 
   Расчет электрической цепи постоянного тока методом контурных токов
   

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число урав­нений в системе. Достигается это разделением схемы на незави­симые контуры и введением для каждого контура своего контур­ного тока, являющегося расчетной величиной.

При решении задачи данным методом можно использовать следующий алгоритм.

1. 
   Определить независимые контуры и выбрать в них направ­ления контурных токов.
   
2. 
   Составить систему уравнений (количество уравнений рав­но количеству независимых контуров).
   

Уравнения составить по правилу: одна сторона от знака равен­ства представляет собой алгебраическую сумму ЭДС, входящих в контур. По другую сторону от знака равенства стоит алгебраиче­ская сумма из нескольких слагаемых. Первое слагаемое — это паде­ние напряжения в данном контуре, созданное данным контурным током (произведение контурного тока и суммы всех сопротивле­ний, входящих в данный контур). Следующее слагаемое — это па­дение напряжения в данном контуре, созданное контурными то­ками смежных контуров (произведение смежного контурного тока на общее сопротивление двух контуров). Оно положительное, если контурные токи протекают через общий резистор в одном направ­лении, или отрицательное, если в разных.

3. 
   Решив систему, найти контурные токи.
   
4. 
   Действительный ток в смежных ветвях определить как алгебраиче­скую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. Если направления контурных токов совпада­ют, то действительный ток определяют как сумму токов по величине и по направлению он с ними совпадает. Если Если направления контурных токов противоположны, то действительный ток определяют как разность токов по величине и по направлению он совпадает с большим по величине током. На основании приведенного алгоритма рассчитаем схему, изображенную на рисунке 1.8.
   

Рисунок 1.8 - Принципиальная схема электрической цепи постоянного тока

Число уравнений в системе должно быть равно числу незави­симых контуров. В заданной цепи рассмотрим три независимых контура (1421, 2342, 1431) и введем для них контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃. Стрелками указываем выбранные направления контурных токов.

Составляем уравнения для каждого контура. Контур 1421:

E₁= R₁ · I₁₁ + R₂ ·(I₁₁ + I₃₃) +R₃ · (I₁₁ - I₂₂).

Контур 2342:

0 = R₄ · I₃₃ + R₂ ·(I₁₁ + I₃₃) +R₅ · (I₂₂+I₃₃).

Контур 1431:

E₂ = R · I₂₂ +R₅ · (I₂₂+I₃₃)+ R₃ ·(I₂₂ – I₁₁).

Составляем систему уравнений:



Подставляем в уравнения численные значения ЭДС и сопро­тивлений из таблицы 1.2:



Упростим и запишем данную систему так, чтобы контурные токи во всех уравнениях располагались по порядку:



Вычислим контурные токи:

I₁₁ = 1,3048 А;

I₂₂ = 2,3349 А;

I₃₃ = -1,2991 А.

3. 
   Расчет электрической цепи постоянного тока методом уз­лового напряжения
   

Данный метод применим к цепям с двумя узлами. Если в схеме узлов больше двух, то ее необходимо преобразовать к двум.

Алгоритм расчета данным методом следующий.

1. 
   Преобразовать схему к двум узлам.
   
2. 
   Выбрать направление токов в ветвях к одному узлу.
   
3. 
   Рассчитать проводимость каждой ветви по формуле
   

g = .

4. 
   Определить узловое напряжение. Величину узлового на­пряжения определяют отношением алгебраической суммы про­изведения ЭДС и проводимости ветвей к сумме проводимостей всех ветвей. ЭДС источника, работающего в режиме генератора, берется со знаком «+», а источника, работающего в режиме по­требителя, — со знаком «—».
   

U_узл = .

5. 
   Определить действительные токи в ветвях по формуле
   

I = ( ± E – U_узл) g.

Приведем схему, изображенную на рисунке 2.6, к двум узлам, преобразовывая треугольник сопротивлений R₁, R₄, R₆ в эквива­лентную звезду сопротивлений R₁₄, R₄₆, R₁₆. Новый узел обозначим А (рисунки 2.10, 2.11, 2.12).



Рисунок 1.9 – Преобразование треугольника сопротивлений в звезду



Рисунок 1.10 – Схема, преобразованная к двум узлам



Рисунок 1.11 – Схема, преобразованная к двум узлам

Рассчитаем величины сопротивлений эквивалентной звезды:

R₂₄ = = = = 1 (Ом);

R₁₆ = = = = 1,25 (Ом);

R₄₅ = = = = 1,6667 (Ом).

Выбираем направление токов в параллельных ветвях влево: I', I", I"'. Определим общее сопротивление каждой ветви:

R' = R₁+ R₀₁ + R₂₄ = 7 + 0 + 1 = 8 (Ом);

R" = R₆+ R₀₂ + R₄₅ = 2 + 0 + 1,6667 = 3,6667 (Ом);

R'" = R₃ + R₂₅ = 5 + 1,25 = 6,25 (Ом).

Рассчитаем проводимость каждой ветви:

g' = = = 0,125 (См);

g'' = = = 0,2727248 (См);

g''' = = = 0,16 (См).

Определим узловое напряжение:

U_А1 = = = = – 6,438430 (В).

Находим токи в каждой ветви:

I' =(E₁ – U_А1)·g' = (4 + 6,438430) · 0,125 = 10,43843 · 0,125 = 1,3048 (А);

I'' =(-E₂ – U_А1)·g''= (-15 + 6,438430) · 0,2727248 = −8,56157 · 0,2727248=

= −2,3349 (А);

I''' =(– U_А1)·g'''= 6,438430 · 0,16 = 1,0301 (А).

Действительные токи равны:

I₁ = I' = 1,3048 А - влево;

I₅ = I" = −2,3349 А - вправо;

I₃ = I''' = 1,0301 А - влево.



Рисунок 1.12 – Токи в каждой ветви

Вернемся к исходной схеме. Выберем I₆ вниз, I₁и I₃ влево.



Рисунок 1.13 – Принципиальная схема электрической цепи постоянного тока

Для контура 2412 составляем уравнение по второму закону Кирхгофа (обход против часовой стрелки):

E₁ = I₁ (R₁ + R₀₁) + I₂ R₂ – I₃ R₃.

Выражаем из него ток I₂:

I₂ = = = 0,0056 (А) - вправо.

По первому закону Кирхгофа находим токи I₄и I₅:

узел 4: I₂ +I₃ – I₅ = 0; I₅ = I₂ + I₃ = 0,0056 + 1,0301 = 1,0357 (А) - вниз;

узел 2: I₄ + I₁ – I₂ = 0; I₄ = – I₁ + I₂= – 1,3048 +0,0056 = – 1,2992 (А) - вниз.

В результате действительные токи равны:

I₁ = 1,3048 А;

I₂ = 0,0056 А;

I₃ = 1,0301 А;

I₄ = 1,2992 А;

I₅ = 1,0357 А;

I₆ = 2,3349 А.

4. Расчет электрической цепи постоянного тока методом на­ложения токов

Метод наложения токов является одним из методов расчета сложных цепей с несколькими источниками.

При решении данным методом используют следующий алго­ритм решения.

1. 
   Составить расчетные схемы. Схемы содержат только одну ЭДС, остальные заменяют на их внутреннее сопротивление. Ко­личество расчетных схем равно количеству источников в схеме.
   
2. 
   В каждой расчетной схеме указать направления частич­ных токов. Частичным называется условный ток, протекающий в ветви под действием только одного источника. Направление частичных токов в ветвях зависит от полярности источника.
   
3. 
   Используя метод преобразования схем, определить частич­ные токи в каждой расчетной схеме.
   
4. 
   Действительные токи найти как алгебраическую сумму частичных токов. При этом на­правление тока совпадает с большим по величине частичным током.
   

Приведем исходную схему (рисунок 1.6) к двум узлам (рису­нок 1.11), преобразовывая треугольник сопротивлений R₂, R₄, R₅ в эквива­лентную звезду сопротивлений R₂₅, R₄₅, R₂₄. Сопротивле­ния эквивалентной звезды рассчитаны ранее: R₂₄ = 1 Ом; R₂₂ = 1,25 Ом; R₄₅= 1,6667 Ом.



Рисунок 1.11 — Схема электрической цепи, приведенная к двум узлам

Для схемы электрической цепи, изображенной на рисун­ке 1.11, составляем расчетные схемы (рисунки 1.14, 1.15). Указыва­ем на них направления частичных токов.

Решаем первую расчетную схему (рисунок 2.17) методом эк­вивалентных преобразований (методом «свертывания»).



Рисунок 1.14 — Первая расчетная схема

Находим общее сопротивление для первой расчетной схемы:

R_45,6,25,02,3 = = = =

= 2,3109 (Ом);

R' = R₁ +R₂₄ + R_45,6,25,02,3 = 7 + 1 + 2,3109 = 10,3109 (Ом).

Находим общий ток для первой расчетной схемы:

= = = 0,3879 (А). = .

Рассчитываем напряжение параллельных ветвей:

= ·R_45,6,25,02,3= 0,3879·2,3109 = 0,8964 (В).

Определяем частичные токи на параллельных ветвях для первой расчетной схемы:

= = = 0,2445 (А);

= = = 0,1434 (А).

Решаем вторую расчетную схему (рисунок 2.18).

Рассчитываем общее сопротивление для второй расчетной схемы:

R_24,01,1,25,3 = = = =

= 3,5088 (Ом);

R'' = R₆+R₄₅ + R_24,01,1,25,3= 1,6667 + 2 + 3,5088 = 7,1755 (Ом).

Находим общий ток для второй расчетной схемы:

= = = 2,0904 (А). = .



Рисунок 1.15 — Вторая расчетная схема

Действительные токи находим как алгебраическую сумму частичных:

I₆ = + = 2,0904 + 0,2445 = 2,3349 (А) – вправо.