Задачи по микроэкономике. Микроэкономика задачи для самостоятельной работы с ответамиподсказкамирешениями А. Фридман 2 ниу вшэ 2018 Оглавление

• Название: Микроэкономика задачи для самостоятельной работы с ответамиподсказкамирешениями А. Фридман 2 ниу вшэ 2018 Оглавление
• Анкор: Задачи по микроэкономике
• Дата: 25.11.2022
• Размер: 1.59 Mb.
• Имя файла: 317730114.pdf
• Тип: Сказка; #812067
• страница: 2 из 6

(в) Пусть агент из пункта (б) инвестирует а оба актива. Как изменится его оптимальный портфель, если:

11
НИУ ВШЭ - 2018
Неопределенность
Задачи
(i) возрастет коэффициент
b
?
(ii) вложения в акции станут более рисковыми?
3. Фермер владеет 40 акрами земли и может распределять эту землю между зерном и картофелем в любой пропорции. Прибыль на один акр земли зависит от выращиваемой культуры и от погоды (см. таблицу).
Солнечная погода
Дождливая погода
Зерно
7 1
Картофель
3 3
Солнечная и дождливая погода – равновероятны. Функция полезности фермера имеет вид
 
x
x
u
4

, где x - богатство.
(a) Найдите оптимальное распределение земли между зерном и картофелем.
Проиллюстрируйте графически и объясните результат.
(б) Фермеру предложили сдать его землю в аренду на один сезон за сумму X. Найдите наименьшее значение X, на которое согласится фермер. Обозначьте эту величину через min
X
и проиллюстрируйте графически. Сравните min
X
с величиной ожидаемой прибыли фермера и объясните полученный результат.
(в) Пусть фермер может приобрести страховку от неурожая в случае плохой погоды.
Величина страховой премии составляет $0.5 за $1 страхового покрытия. Найдите оптимальное распределение земли и спрос фермера на страховку. Проиллюстрируйте графически и объясните полученный результат.

12
НИУ ВШЭ - 2018
Неопределенность
Ответы/Подсказки
Неопределенность: о
тветы и подсказки
1. (a) X от 16 до 20;
(б) Max_sum=7.2;
(в) Max_sum=8;
(г) Максимальная сумма изменится, но останется меньше 8
2. (а)
 
 


2 2
Ex
b
Ex
x
Eu




;
(б) (i) бюджетная линия:
p
s
S
p
E
R



, где
s
p
R
E


0
,
p
E
- ожидаемая доходность портфеля,
p

- стандартное отклонение портфеля;
(ii)
 
 
2 2
2 5
0
s
s
s
p
R
b
R
E



/
, оптимальные инвестиции в рисковый актив
 
2 2
5 0
s
s
s
R
b
R




/
;
(в) инвестиции в рисковый актив сократятся в обоих случая (i) и (ii)
3. (a) 30 единиц под пшеницу и 10 под картофель;
(б)
150
Exp_profit
135



min
X
;
(в) все поля засяеть пшеницей и купить полную страховку

Неопределенность
Решения
Неопределенность: решения
1. (a) Dan doesn’t reject iff his EU does not go down as a result of this sale:
4 36 5
0 4
5 0



x
,
16

x
Firm accepts iffits expected utility (equal to the expected profit due to risk neutrality) is not reduced as a result of this transaction:
0 20 36 5
0 4
5 0







x
x
Mutually beneficial
16 20


x
Graph should be provided
(b) With information Dan sells his deposit in case of bankruptcy and gets
Q

20
( Q - price of information) and keeps deposit otherwise (in this case his wealth is
Q

36
). The resulting expected utility is
Q
Q
EU




36 5
0 20 5
0
inf
. Without information he is better of by selling this deposit as price exceeds 16 and his utility is
20

x
. Thus he will purchase information iff
20 36 5
0 20 5
0





Q
Q
EU
inf
. The maximum price makes Dan indifferent:
Q
Q




20 20 2
36
Then


20 20 4
20 20 4
36
Q
Q
Q







, which can be rewritten as


64 36 100 20 20 4




Q
. Thus


8 5
20


Q
, which implies


64 5
20


Q
. Solving equation we get
2 7
5 64 20



Q
Graph should be provided
(c) Zara has the same utility function as bank N, so without information she is indifferent b/w selling deposit at X=20 or keeping it.




20 28 36 5
0 20 5
0
inf







Q
Q
Q
EU
B
, which gives
8

Q
Graph should be provided
(d)
Dan
Zara
Q
Q



2 7
8
General case:
)
20
(
)
36 5
0 4
5 0
(
)
36
(
5 0
)
4
(
5 0
u
u
u
u






. Thus without information offer of the corrupted manager is still accepted as it gives the same EV: (36+4)/2=20 but with certainty
Maximum price of information should make this agent indifferent:
 




Q
u
Q
u
Q
EU
u





36 5
0 20 5
0 20
)
(
inf
Due to risk-aversion






Q
u
Q
Q
u
Q
u
Q
u















28 2
36 2
20 36 5
0 20 5
0

14
НИУ ВШЭ - 2018
Неопределенность
Решения
It implies that
 



 

Q
u
Q
u
Q
u
Q
EU
u







28 36 5
0 20 5
0 20
)
(
inf
As
 
w
u
is increasing then
Q


28 20
,
Zara
Dan
Q
Q


8
4. (a) Calculate EU:
 
 


2 2
2
Ex
b
Ex
bEx
Ex
x
Eu






Define IC
 


u
Ex
b
Ex




2 2
and re-arrange:
 


0 25 0
5 0
2 2
2 2
2











b
b
u
b
Ex
b
u
b
Ex
Ex
/
,
/
/
/
/
Thus ICs represent circles


b
u
b
b
Ex
/
/
,
/





2 2
2 25 0
5 0
with center at


b
/
,
5 0
0
and radius
b
u
b
/
/
,

2 25 0
. Due to the assumption we operate only at upward sloping parts of ICs.
Graph.
(b) (i) Budget line.Suppose he invests

in risky asset, then expected return of portfolio is
s
p
R
E


and variance of portfolio is
2 2
2
s
p




, which implies
s
p



. From the first equation
s
p
R
E


and plugging in the second we get BL
p
s
s
p
E
R



. As
1 0



, we get additional restrictions:
s
p
R
E


0
(ii) utility maximization problem


p
s
s
p
p
p
p
R
E
E
R
t
s
E
b
E
s
p








max
2 2
0


b
/
,
5 0


s

s
R

15
НИУ ВШЭ - 2018
Неопределенность
Решения
Plugging into objective function, we get
2 2
0
p
p
s
s
p
R
E
bE
E
R
b
E
s
p






 



max
Function is strictly concave, so FOC is both necessary and sufficient
0 2
2 1
2







 

p
p
s
s
bE
E
R
b
,













 


2 1
2 1
s
s
p
R
bE
,
 
 
2 2
2 5
0
s
s
s
p
R
b
R
E



/
,
 
2 2
5 0
s
s
s
s
p
R
b
R
R
E





/
Graphwith IC tangent to BL [the lower part of the graph is not required but comments concerning

should be provided if this part is absent].
(c) (i)
 
2 2
5 0
s
s
s
R
b
R




/
is decreasing in
b
. It means that with higher
b
we get higher coefficient for variance in utility function, which indicates higher risk aversion that results in the reduction in investment in risky asset.
Graphically ICs become steeper as
Ex
b
d
dEx




/
5 0
is increasing in
b
,
 
2 2
5 0
s
s
s
R
b
R




/
is decreasing in
2
s

, which is also reasonable as risk averse agent is willing to reduce his investment in risky asset when its riskiness went up while expected gain stays the same.
(ii) Budget line becomes steeper and IC is tangent to the new budget line somewhere to the left.
As a result new optimal portfolio has lower expected return. As expected returns of the two assets stay the same, this implies that agent invests less in risky asset.

p
E
Expected return
s

new
s


s
R
new
p
E
1





p

p
E
Expected return
new

s

s
R

1





p

p
E


s

s
R

16
НИУ ВШЭ - 2018
Неопределенность
Решения
2. (a) Optimal allocation of land is derived from EU maximization:






y
y
y
y
y







40 3
1 2
40 3
7 2
max
40 0
,
Function is strictly concave, so FOC is both necessary and sufficient
0 2
120 2
4 120 4




y
y
,
y
y
2 60 60 2



;


y
y
2 60 60 4



;
30 6
/
3 60



y
Graph should be provided
Intuition: potato serves as risk-free asset while wheat is risky. Exp.profit from wheat exceeds the profit from potatoes (7+1)/2=4>3. Agent is risk averse (u-concave) and is willing to accept some risk as game is favourable.
(b) min
X
makes this farmer indifferent between renting out and continuing his business.
Expected utility from business:


15 12 60 6
10 3
30 30 210 2







optimal
EU
,
15 12 4

min
X
,
135 15 9
min



X
Graph should be provided min
X
E







150 10 3
30 4
Explanation. As agent is risk averse he prefers expected value of the risky prospect (150) to the risky prospect, i.e




min
X
u
EU
EV
u




15 12 150
. Thus
150


EV
X
min
(c) Derivation of optimal allocation with insurance
Suppose that
y
units of land are allocated to wheat and


y

40
- to potatoes. Then we have


y
4 120

in case of shiny and


y
2 120

in case of rainy summer. This point is risky if
0

y
Note that insurance is offered at actuarially fair terms (price equals the probability of loss), then risk averse agent will purchase full insurance. Thus if
0

y
, then he purchases
y
z
6

units of insurance. Finally consumption with insurance is
y
y
y
1 120 6
5 0
4 120





in each state of the world, which exceeds consumption under
0

y
. Thus it is profitable to have
0

y
. Now EU maximization problem is
40 120 120
max
40 0





y
y
, i.e.
40

y
. It could be also derived algebraically without using the claim about full insurance but then intuitive explanation for the full insurance should be proved afterwards.

17
НИУ ВШЭ - 2018
Неопределенность
Решения
Graph.
2
c
120 120 1
c
2 1
c
c

Optimal
consumption
40 280
BC with insurance
Optimal
production

18
НИУ ВШЭ - 2018
Фирма и совершенная конкуренция
Задачи
Теория фирмы и совершенная конкуренция: задачи
1. Производственная функция фирмы имеет вид
K
L
Q


4
. Ставка заработной платы составляет $8 за час, а цена единицы капитала равна $2.
(a) Выведите краткосрочные AC и AVC. Объясните полученный вид кривых AVC и AC.
(б) Выведите долгосрочные издержки и найдите соответствующие средние издержки.
Имеет ли место экономия на издержках? Объясните полученный результат.
(в) Проиллюстрируйте на графике LRAC и несколько кривых SRAC.
2. В отрасли с постоянными издержками действует большое количество фирм, функция издержек каждой из которых имеет вид:
 








0 0
0 16 9
2
q
q
q
q
C
,
,
(a) Найдите долгосрочную кривую предложения типичной фирмы.
(б) Найдите цену, соответствующую долгосрочному равновесию, и количество фирм, если рыночный спрос имеет вид
 
p
p
Q
d
4 150


3*
1
. Рассмотрите совершенно конкурентную отрасль, производящую товар X. Все фирмы в отрасли используют одинаковые технологии с функцией издержек
 
q
с
, где
 
0 0

'
с
,
 
0

q
с'
,
 
0


q
с
для
0

q
. Некоторая доля произведенной продукции

выпускается с браком и не подлежит продаже. Более того, эта продукция должна быть утилизировано, что сопряжено с дополнительными издержками, описываемыми функцией
 
z
l
, где
z
0- объем утилизируемой продукции,
 
0 0


l
,
 
0

z
l'
и
 
0


z
l
для
0

z
. При нулевом выпуск как издержки производства, так и издержки утилизации равны нулю..
(a) Рассмотрите улучшение в управлении, которое влечет снижение доли брака при неизменных функциях издержек. Как это отразится на кривой предложения фирмы?
(Изменение

не обязательно мало).
(б) Пусть в отрасли функционируют N фирм. Обозначьте через
 

p
равновесную цену в краткосрочном периоде и найдите, как эта цена изменится в результате снижения

Объясните результат.
4. Рассмотрите совершенно конкурентную отрасль с постоянными издержками.
Предположим, что потоварная субсидия производителям заменяется на паушальную субсидию, которая выплачивается каждой функционирующей фирме. Размер паушальной субсидии вбирается таким образом, чтобы равновесная цена в долгосрочном периоде осталась такой же, как и при потоварной субсидии. Сравните расходы правительства на эти две субсидии: (i) графически для случая U-образной кривой AC и (ii) алгебраически для кривой AC произвольного вида.
1
Difficult problems are indicated by *

19
НИУ ВШЭ - 2018
Фирма и совершенная конкуренция
Задачи
5.
Рассмотрите рынок арендного жилья с линейными кривыми спроса и предложения.
Домовладельцы обязаны уплачивать налог с получаемой арендной платы по ставке



1 0



. Доходы от этого налога поступают в местный бюджет.
(а) Местные власти решили ввести регулирование арендной платы, установив максимальный уровень арендной платы в размере
control
p
, причем
control
p
соответствует равновесному значению арендной платы при отсутствии налога. Проиллюстрируйте первоначальное равновесие и новое равновесие на одном графике, где по вертикали отложена цена, уплачиваемая арендатором. Сравните первоначальные (до введения регулирования, но при наличии налога) и новые (после введения регулирования) значения
CS, PS, профицита местного бюджета (GS) и TS, заполнив следующую таблицу.
Прокомментируйте влияние данного регулирование на общественное благосостояние.
Начальное
Новое
Изменение
CS
PS
GS
TS