Задачи по микроэкономике. Микроэкономика задачи для самостоятельной работы с ответамиподсказкамирешениями А. Фридман 2 ниу вшэ 2018 Оглавление

• Название: Микроэкономика задачи для самостоятельной работы с ответамиподсказкамирешениями А. Фридман 2 ниу вшэ 2018 Оглавление
• Анкор: Задачи по микроэкономике
• Дата: 25.11.2022
• Размер: 1.59 Mb.
• Имя файла: 317730114.pdf
• Тип: Сказка; #812067
• страница: 6 из 6

(c) Uniform rate of reduction in emission levels
3
/
1 36
/
12

results in
7 3
/
21


c
x
,
5 3
/
15


f
x
This outcome is different from (b) and it is inefficient as total costs are not minimized.
48 16 64 5
0 5
49 25 49 5
0









permits
prop
TAC
TAC
3. (a) see the lecture
(b) (i)


j
i
i
y
y
y
i
y
p



2 100
max
,
FOC:
0



Y
i
p
y
/
and
0



Y
i
p
y
/
if
0

i
y
Claim: only agent with low valuation of the public good free rides. Proof.
Assume that this is not the case and agent A contributes then
Y
p
y
/
1

and
Y
p
y
/
2

, which is impossible.
Thus agent A free rides and only B contributes so that
Y
p
y
/
2

Thus


2 2
y
p
Y
/

Profit maximization implies
Y
MC
p
Y
2


. Thus in equilibrium


2 2
2
y
Y
p
p
/
/

Equilibrium
2

Y
p
,
1

Y
(ii) Yes, it is possible because
2 2
3 2
1






Y
MC
Y
Y
SMB
/
/
Intuitive explanation: More of public good should be produced as willingness to pay exceeds the
MC. Reason for inefficiency: agents do not take into account positive external effect
4. (a) Profit maximisation problem.




 


2 2
0 5
0 25 0
20
A
j
i
i
j
i
q
q
q
q
q
q
q
i
max






FOC
j
i
j
i
i
q
q
q
q
MR
5 0
5 1
2 20





,

43
НИУ ВШЭ - 2018
Экстернпалии
Решения
Summing up:
Q
Q 2 3
40


,
8

Q
,
4


j
i
q
q
(b) Profit maximisation problem.


 


2 2
0 5
0 25 0
A
j
i
i
q
q
q
q
pq
i
max




FOC
j
i
q
q
p
5 0
5 1


,
Market equilibrium.


i
j
i
q
q
q
p
Q





5 0
20
,
Q
Q
2 2
40


,
10

Q
,
(c) Efficient outcome can be derived from TS maximization.
FOC:
j
i
q
Q
q
Q
MC
Q
SMB







20
,
8 5
40


/
Q
,
4


j
i
q
q
80 16 32 128 4
2 5
0 8
5 0
8 2
8 20 20 2
2













)
(
max
TS
0

a
DWL
as allocation is efficient
75 75 150 5
10 5
0 10 2
10 20 20 2
2










)
(
b
TS
,
5 75 80



b
DWL
Explanation
In (a) loss from underproduction due to market power is balanced by the gain from reduced negative external effects and as a result outcome is efficient.
In (b) huge loss from negative external effect due to overproduction as firms base their decision on private cost that are less than social due to negative external effect
(d) (a) results in efficient allocation
In (b) efficiency could be restored with the help of Pigouvian tax



 

4 2
8 2








/
/
,
,
eff
j
eff
i
i
eff
j
eff
i
j
eff
j
eff
i
i
i
q
q
q
q
q
с
q
q
MD
t

44
НИУ ВШЭ - 2018
Асимметричная информация
Задачи
Асимметричная информация: задачи
1. Рассмотрите экономику, где имеется 100 работников, половина из которых обладает высокой производительностью (тип H) с предельным продуктом труда, равным 100, и половина – низкой производительность (тип L) с предельным продуктом труда, равным 50.
Альтернативная полезность для работника типа H равна 55, а для работника типа L – 20.
Предпочтения работника типа t заданы функцией полезности
e
y
u
t
t



, где
y
- агрегированное потребительское благо с ценой равной 1, e - уровень образования,
1


H
и
4
/
5


L
. Образование не влияет на производительность. Все участники нейтральны к риску, а все рынки – совершенно конкурентные.
(a) Предположим, что каждый работник знает свой тип, но этот тип не наблюдаем для фирм. Найдите равновесие в случае, когда фирмы не рассматривают образование как сигнал. Будет ли результирующее распределение эффективным?
(б) Предположим, что теперь фирмы рассматривают образование в качестве сигнала производительности.
(i)
Найдите все уровни образования, которые приведут к успешному сигнализированию.
Сравните получившиеся равновесия по
Парето и проиллюстрируйте наилучшее по Парето равновесие.
(ii) Сравните наилучшее по Парето равновесие с равновесием из пункта (а). Какое из этих равновесий предпочтительнее с точки зрения общественного благосостояния?
Объясните, почему высокопроизводительные работники подают сигнал, если их благосостояние в пункте (а) выше при отсутствии сигнала.
(iii) Найдите все объединяющие равновесия и проиллюстрируйте наилучшее по
Парето.
2. Рассмотрите отрасль, в которой действуют 100 страховых компаний, которые продают только полисы с полной страховкой. Рассмотрим группу владельцев автомобилей, каждый из которых обладает богатством
100

w
и имеет предпочтения, описываемые элементарной функцией полезности
 
w
w
u

. В случае аварии потери составит 75% от первоначального богатства. Для половины водителей вероятность потерь равна 0.2
(группа А), а для овторой половины вероятность потерь составляет 0.5 (группа В).
(a) Пусть информация симметрична (владелец знает вероятность потерь, страховые компании могут идентифицировать тип). Найдите спрос на страховку, предложение страховки и равновесии. Проиллюстрируйте графически.
(б) Как изменится ваш ответ на вопрос пункта (а), если страховые компании не могут наблюдать тип автовладельца (информация асимметрична).
(в) Как изменятся ваши ответы на вопросы пунктов (а) и (б), если автовладельцы группы А составят 75% от всех автовладельцев?

45
НИУ ВШЭ - 2018
Асимметричная информация
Ответы/Подсказки
Асимметричная информация: ответы и подсказки
1. (a) зарплата
=
75, все заняты в данной отрасли
Равновесное распределение эффективно
(б) (i)
e от 40 до 45
Наилучшее по Парето распределение при
40

e
(ii) Равновесие из пункта (a) предпочтительнее
(iii)
20 0


e
Наилучшее по Парето распределение при
0

e
2. (a) L-рынок:
2 0


L
и каждый покупает полную страховку
H-рынок:
4 0


H
и каждый покупает полную страховку
(б) Равновесие при
4 0


, агенты с низким риском покидают рынок
(в)
(a) цены такие же, все агенты покупают полную страховку
(б) два равновесия:
4 0.


и
25 0.



46
НИУ ВШЭ - 2018
Асимметричная информация
Решения
Асимметричная информация: решения
1. (a) As education is not treated as a signal but workers get disutility from education, then e=0 for each worker.
In equilibrium wage rate is equal to the expected productivity of those workers that are willing to work at this wage rate. (At higher wage rate firm gets negative profit and labour demand is zero, at lower wage rate each worker brings positive profit on average and as a result demand goes to infinity).
Unconditional MRP
av
=150/2=75, then u(75)=75>55>20 and everybody is willing to work at this industry.
Efficient allocation:
55 100 0
100


)
,
(
H
u
and
20 50 0
50


)
,
(
L
u
. It is optimal for each worker to work at given industry. Thus equilibrium allocation is efficient.
(b) (i) Self-selection constraint: for signaling to be successful cost of education should exceed benefit for low productive:
)
,
(
)
,
(
e
u
u
L
L
100 0
50

and cost of education should be less than benefit for high productive
)
,
(
)
,
(
e
u
u
H
H
100 0
50








e
e
100 50 25 1
100 50

50 40


e
Participation constraint: in addition each agent’s utility should be greater or equal the reservation one:
20 50 0
50


)
,
(
L
u
,
55 100 100



e
e
u
H
)
,
(

45

e
Conclusion
45 40


e
Comparison of equilibria. Note, that in any equilibrium firms get zero profit (as each agent is paid his MRP), agent L has the same utility equal to 50 and utility of agent H is the highest, when education is at the lowest level (as education is costly but nonproductive).
(ii) In both cases firms get zero expected profit.
Utility of L-type worker is lower than in (a):
75 50


L
b
u
Utility of H-type worker is also lower than in (a):
75 40 100



H
b
u
Thus total surplus is lower than in (a), that is equilibrium from part (a) is preferred from efficiency point of view
High productive workers get education in this model because if they do not they will be treated as low productive and get utility of 50 instead of 100-50=60, that is the option of (a) is not affordable when firms treat education as a signal of productivity
(iii) Pooling equilibria should satisfy both participation and incentive compatibility constraints:
20 4
/
5 75 55 75 50 4
/
5 75 50 75








e
e
e
e
,
55 75 50 4
/
5 75




e
e
,
20 0


e

47
НИУ ВШЭ - 2018
Асимметричная информация
Решения
In all equilibria firms get the same (zero) expected profit but agents are better off with lower level of signaling. Thus Pareto superior pooling equilibrium corresponds to the lowest level
20

e
.
Graph should be provided.
2. (a) With full insurance



75 100
t
U
Without insurance




p
p
p
p
p
EU
t
5 10 1
10 5
100 1
25








9 1
10 75 100







L
L
EU
U
iff


75
/
19 75
/
81 100




8 2
10 75 100







H
H
EU
U
iff


25
/
12 75
/
36 75
/
64 100





Demand at L market:
If
0
,
25
/
12



dL
z
,
If


50 75
,
0
,
25
/
12




dL
z
,
If
50 75
,
25
/
12




dL
z
Supply at L market:
If




sL
z
,
2 0
,
If
any
z
sL



,
2 0
,
If
0
,
2 0



sL
z
Equilibrium at
2 0


L
Similarly
4 0


H
(b) Under asymmetric we have one market instead of two
Market demand we get by summing up horizontally individual demands:
If
0
,
25
/
12



d
z
,
If


50 75
,
0
,
25
/
12




d
z
,
If
50 75
,
25
/
12 75
/
19





d
z
,
If


100 75 50 75 75 19





,
,
/
d
z
,
If
100 75 75 19




d
z
,
/
Supply:

48
НИУ ВШЭ - 2018
Асимметричная информация
Решения
Firms maximize expected total profit. They expect only high-risk agents if the price is above
19/75

0.253 and both types if the price is below.
Since we have equal number of high and low-risk agents insurance companies are willing to sell to both starting from the price equal to average probability of accident, that is at any
3 0
2 2
0 4
0
/
)
(




but this price exceeds 0.253. It means that insurance companies can expect only high-risk agents at price of 0.3 which results in negative expected profit. Thus no firm is willing to sell until price increases up to 0.4.
If




s
z
,
4 0
, and at
any
z
s



,
4 0
If the price is below:
4 0.


then
0

s
z
Equilibrium is at
4 0


, where only high-risk agents get insurance and
50 75


z
(c) It has no implications for the prices in part (a) since these prices are determined by the horizontal supply curves. Thus in part (a) prices are the same and every consumer gets full insurance .
(b) Market demand we get by summing up horizontally individual demands:
If
0
,
25
/
12



d
z
,
If


75 75 0
25 12




,
,
/
d
z
,
If
75 75 25 12 75 19





d
z
,
/
/
,
If


100 75 75 75 75 19





,
,
/
d
z
,
If
100 75 75 19




d
z
,
/
Insurance companies still expect only high-risk agents if the price is above 19/75

0.253 and both types if the price is below.
Since 75% of the potential policyholders are low risk agents firms are willing to sell to both groups at lower price:
25 0
75 0
2 0
25 0
4 0
)
(






and this price is less than 0.253.
Thus if the price is below 0.25 the quantity supplied is 0 but if
25 0.


then firms are willing to supply any quantity of insurance. If the price increases above 0.25 but stays below 19/75 then profit becomes unlimited


s
z
When price increases above 19/75 only high-risk agents stay at the market and firms stop selling at prices below 0.4.
At
any
z
s



,
4 0
and at




s
z
,
4 0
Finally we have two equilibria: one with adverse selection at
4 0.


, where only high-risk agents purchase insurance and another equilibrium at
25 0.


, where both low-risk and high- risk agents get full insurance.