Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов. Министерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
6.2.1. Числовые характеристики функции случайных аргументов Пусть случайная величина Y является функцией случайных аргументов Y = =φ(X 1 ,X 2 ,…,X n ) . Пусть известен закон распределения g(y) функции случайных аргументов. Тогда основные числовые характеристики функции Y определяются следующими выражениями ; ) ( ∫ ∞ ∞ − ⋅ = dy y g y m y (6.17) ) ( ) ( 2 ∫ ∞ ∞ − − = dy y g m y D y y (6.18) Теория вероятностей Однако, как уже отмечалось выше, для определения числовых характеристик вовсе необязательно знать закон распределения g(y). Пусть случайная величина является функцией дискретного случайного аргумента Х, для которого известен закон распределения в виде ряда распределения x i х 1 х 2 . . . х. . . Тогда каждому значению х можно поставить в соответствие значение х) x i х 1 х 2 . . . х . . . p n } y i =φ( x i ) φ( x 1 ) φ( x 2 ) . . . ряд распределения X ряд распределения В общем случае для х) последняя таблица не является рядом распределения (в строгом понимании этого термина, однако все необходимые для такого ряда значения случайной функции и соответствующие вероятности в ней имеются. Таким образом, Аналогично для непрерывной случайной величины где ( ) x f – плотность распределения Х. Для системы двух случайных аргументов (6.19) и (6.20) будут иметь соответственно вид [ ] ; ij n i i i n j z p y x y x M m ∑ ∑ = = = = 1 1 ) , ( ) , ( ϕ ϕ Случайные векторы и функции В общем случае (система из n случайных аргументов) (6.19) и (6.20) будут иметь, соответственно, вид [ ] ; n i i i n i n n j n y p x x x x x x M m 1 2 1 1 2 1 2 1 ) ,..., , ( ) ,..., , ( ∑ ∑ = = = = ϕ ϕ L [ ] . n n n n y dx dx dx x x x f x x x x x x M m ) ,..., , ( ) ,..., , ( ) ,..., , ( 2 1 2 1 2 1 2 Таким образом, математическое ожидание функции любого числа случайных аргументов может быть найдено без знания закона распределения Аналогично могут быть найдены любые другие числовые характеристики (моменты) функции случайных аргументов. Например, дисперсии [ ] [ ] . dx x f m x x D D y y ) ( ) ( ) ( 2 ∫ ∞ ∞ − − = = ϕ ϕ [ ] [ ] . dxdy y x f m y x y x D D y z ) , ( ) , ( ) , ( 2 ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = = ϕ ϕ [ ] [ ] . n n y n n y dx dx dx x x x f m x x x x x x D D ) ,..., , ( ) ,..., , ( ) ,..., , ( 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = = ϕ ϕ L 6.2.2. Теоремы о числовых характеристиках функции случайных аргументов Во многих случаях для отыскания числовых характеристик функции случайных аргументов не требуется даже знания закона распределения случайных аргументов. В основном это касается линейных и некоторых элементарных нелинейных функций. Рассмотрим определение математического ожидания и дисперсии для простейших функций случайных аргументов. Теория вероятностей Теорема 6.1. Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой неслучайной величине: М[c] = c Доказательство [ ] . c c p x c M n i i i = ⋅ = = ∑ = 1 Теорема 6.2. Дисперсия неслучайной величины с равна нулю = 0 Доказательство [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] . 0 0 0 2 2 Теорема 6.3. Математическое ожидание произведения неслучайной величины сна случайную величину Х равно произведению неслучайной величины сна математическое ожидание случайной величины ХМ = М Доказательство [ ] [ ] . X M c р x c р cx cX M n i i i n i i i ∑ ∑ = = = = = 1 Теорема 6.4. Дисперсия произведения неслучайной величины сна случайную величину Х равна произведению квадрата неслучайной величины сна дисперсию случайной величины Х = c 2 D[X] . (6.24) Случайные векторы и функции Доказательство [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] . X D c m x M c m x c M cm cx M m cx M cX D x x x cx 2 2 2 2 2 Следствие теоремы 6.4 : [ ] [ ] [ Теорема 6.5. Математическоеожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М[X+Y] = М + M[Y] Доказательство [ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − = + = + = + dxdy y x yf dxdy y x xf dxdy y x f y x Y X M ) , ( ) , ( ) , ( ) ( [ ] [ Теорема 6.5 справедлива как для зависимых, таки независимых случайных величин X и Теорема 6.5 имеет также обобщение на случай суммы нескольких случайных величин, те. математическое ожидание суммы n случайных величин равно сумме их математических ожиданий [ ] . ∑ ∑ = = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ n i i n i i X M X M 1 Теорема 6.6. Математическое ожидание линейной функции n случайных аргументов Х (i =1,2,…,n) равно этой же линейной функции от математических ожиданий случайных величин Х ] [ ] . b X M a b X a M Y M n i i i n i i i + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = ∑ ∑ = = 1 Доказательство. Утверждение (6.28) очевидно в силу теорем 6.3, 6.5 и 6.1. Теория вероятностей Теорема 6.7. Дисперсия суммы случайных величин и Y равна сумме их дисперсий, увеличенной на удвоенный корреляционный момент этих же величин = D[X] + D[Y] + Доказательство [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] = − − + = − + = + + 2 2 y x y x m m y x M m y x M Y X D ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] = − + − − + − = 2 2 2 y y x x m y m y m x m x M ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 2 2 2 Следствие теоремы 6.7. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий = D[X] + D[Y] , поскольку k xy = 0. Теорема 6.8. Дисперсия линейной функции n случайных некоррелированных независимых) аргументов Х (i определяется по формуле [ ] [ ] . ∑ ∑ = = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = n i i i n i i i X D a b X a D Y D 1 Доказательство. Вывод формулы (6.31) основан на использовании теорем 6.4, 6.7 и 6.2. Теорема 6.9. Математическое ожидание произведения случайных величин Хи определяется по формуле M[XY] = M[X] * M[Y] + k xy . (6.32) Случайные векторы и функции Доказательство k xy = M[(X–m x )(Y–m y )] = M[XY] – m x M[Y] – m y M[X] + m x m y = = M[XY] – m x m y – m x m y + m x m y = M[XY] – m x m y . Откуда M[XY] = М + k xy . Следствие теоремы Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M[XY] = M[X] * M[Y] , (поскольку k xy = 0. Теорема 6.10. Дисперсия произведения независимых случайных величин Хи определяется по формуле D[XY] = D[X] * D[Y] + m y 2 D[X] + m x 2 D[Y] Доказательство D[XY] = M[(xy –m xy ) 2 ] = M[(xy – m x m y ) 2 ] =M[x 2 y 2 ] – 2m x m y M[xy] + m x 2 m y 2 = = M[x 2 ]*M[y 2 ] – 2 m x m y m x m y + m x 2 m y 2 = M[x 2 ]*M[y 2 ] – m x 2 m y 2 = = (D[X] + m x 2 ) (D[Y] + m y 2 ) – m x 2 m y 2 = D[X] * D[Y] + m y 2 D[X] + m x 2 D[Y] . Следствие теоремы 6.10. При m x = 0 и m y = 0 D[XY] = D[X] * D[Y] . (6.35) 6.2.3. Закон распределения функции случайных аргументов В ряде стохастических задач требуется определить закон распределения функции случайного аргумента при известном законе распределения случайного аргумента. Рассмотрим такую задачу для монотонных функций случайного аргумента. Теория вероятностей Пусть имеется непрерывная случайная величина Х, распределенная в интервале (ас плотностью распределения f(x). Пусть другая случайная величина Y связана с Х функциональной зависимостью Y = Х. При этом функция Х) – монотонно возрастающая функция на интервале (а, непрерывная и дифференцируемая (рис. 6.5). Требуется найти плотность распределения g(x) случайной величины Y. В соответствии с определением 4.5 найдем интегральную функцию случайной величины Y { } { } ( Выразим х через ух, где φ -1 – функция, обратная функции φ. Тогда ( ) [ ] ( ) [ ] ∫ − ′ ⋅ = − − ) ( 1 Поскольку плотность распределения g(x) является производной от интегральной функции, то [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ) ( 1 Пусть теперь функция Х) – монотонно убывающая функция на интервале (а, непрерывная и дифференцируемая (рис. 6.6). Тогда { } { } ( ) ∫ = < < = < = b x dx x f b X x P y Y P y G . ) ( x b a 0 Y X y Рис. 6.5 y = х) x b a 0 Y X y Рис. 6.6 y = х) Случайные векторы и функции Выразим х через у, те. ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ∫ ∫ − − ′ ⋅ − = ′ ⋅ = − − − − ) ( 1 1 ) ( 1 1 1 или [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ) ( 1 Учитывая выражения (6.36) и (6.37) обобщенная формула для плотности распределения монотонной функции случайного аргумента примет окончательный вид [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ) ( 1 Действительно, если х) – возрастающая функция, то ( ) x ϕ ′ , а значит, и ( ) [ ] , 1 ′ − y ϕ положительны. Если х) – убывающая функция, то ( ) x ϕ ′ , а значит, и ( ) [ ] , 1 ′ − y ϕ отрицательны. Но знак «–» вделает результат положительным. Следовательно, обобщенная формула плотности распределения (6.38) справедлива в обоих случаях. 6.3. Практикум и вопросы для самоконтроля 6. 1. Дать определение понятию "случайный вектор. 6. 2. Дать определение понятию "интегральная функция распределения случайного вектора. 6. 3. Какими свойствами обладает интегральная функция распределения случайного вектора 6. 4. Написать выражение для вычисления вероятности попадания двухкомпонентного случайного вектора ( X,Y ) на заданный прямоугольный участок по известной интегральной функции у, если левый нижний угол участка имеет координаты (у, а верхний правый – (у. 6. 5. Что представляет собой плотность распределения двумерного случайного вектора 6. 6. Привести формулу для обратного преобразования плотности распределения двумерного случайного вектора в интегральную функцию. Теория вероятностей 144 6. 7. Что с геометрической точки зрения означаете свойство плотности распределения двумерного случайного вектора 6. 8. Сформулировать е свойство плотности распределения двумерного случайного вектора. 6. 9. Что с геометрической точки зрения означаете свойство плотности распределения двумерного случайного вектора 6. 10. Доказать е свойство плотности распределения случайного двумерного вектора. 6. 11. Дать определение понятию "условный закон распределения" для двумерного случайного вектора. 6. 12. Какие случайные величины являются независимыми 6. 13. Задан закон распределения случайного вектора f ( x 1 , x 2 , x 3 ). Найти F ( x 1 , x 2 , x 3 ), F ( x 1 ), f ( x 2 , x 3 ), f ( x 2 ), f ( x 1 / x 2 , x 3 ), f ( x 1 , x 3 / x 2 ). 6.14. Дать определение понятию "математическое ожидание случайного вектора. 6.15. Дать определение понятию "дисперсия случайного вектора. 6.16. Дать определение понятию "корреляционный момент двумерного случайного вектора. 6.17. Привести формулы для определения корреляционного момента двумерного случайного вектора Z = ( X,Y ) для непрерывных и дискретных компонент. 6.18. Что характеризует корреляционный момент двумерного случайного вектора 6.19. Что характеризует коэффициент корреляции 6.20. Привести формулу для расчета коэффициента корреляции. 6.21. Какие значения может принимать коэффициент корреляции 6.22. Чему равен коэффициент корреляции случайных величин X и Y , связанных линейной зависимостью X = 3 Y – 5? |