Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов. Министерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
5.43. Случайная непрерывная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения при 0; при 3 ) ( 3 х х e x f x Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х попадет в интервал (0,13; 0,7). 5.44. Найти математическое ожидание случайной величины Х распределенной по показательному закону при 0; при 5 ) ( 5 х х e x f x 5.45. Студент помнил, что дифференциальная функция показательного распределения имеет вид Теория вероятностей при 0; при ) ( х х e c x f x λ но забыл, чему равна постоянная с. Найти константу с. 5.46. Записать в общем виде интегральную функцию нормально распределенной случайной величины. 5.47. Как определяются основные числовые характеристики случайных величин, распределенных по нормальному закону 5.48. Привести рекуррентное соотношение для определения центральных моментов нормально распределенной случайной величины. 5.49. Чему равен коэффициент асимметрии нормально распределенной случайной величины 5.50. Чему равен коэффициент островершинности нормально распределенной случайной величины 5.51. Привести формулу для вычисления вероятности попадания значения случайной величины, распределенной по нормальному закону, на заданный участок [a, b]. 5.52. Нормально распределенная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятности ( ) 2 5 1 Найти математическое ожидание и дисперсию. 5.53. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (15; 25). 5.54. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютному значению величину 10 г. 5.55. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом если шарик не проходит через отверстие диаметром d 1 , но проходит через отверстие диаметром d 2 > d 1 то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь условие не выполняется, то шарик Законы распределения бракуется. Известно, что диаметр шарика D есть нормально распределенная случайная величина с характеристиками 4 , 2 1 2 2 1 d d d d m d d − = + = σ . Определить вероятность того, что шарик будет забракован. 5.56. В чем заключается правило трех сигм? 5.57. Какие случайные величины распределены по закону Пирсона? 5.57. Какие случайные величины распределены по закону Стьюдента? 5.58. Какие случайные величины распределены по закону Фишера? Теория вероятностей 128 6. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ 6.1. Случайные векторы Определение 6.1. Случайным вектором называют вектор Х=(Х 1 ,Х 2 ,...,Х n ), компоненты которого представляют собой случайные величины. Также, как и для случайной величины, для случайного вектора вводятся понятия интегральной функции распределения и числовые характеристики. 6.1.1. Интегральная функция распределения случайного вектора Определение 6.2. Интегральная функция распределения случайного вектора – это такая функция F(x 1 ,x 2 ,...,x n ), которая при конкретных значениях своих аргументов численно равна вероятности того, что случайные компоненты вектора окажутся меньше соответствующих аргументов, те F(x 1 ,x 2 ,...,x n ) = P{X 1 <x 1 , X 2 <x 2 , ..., В дальнейшем, как правило, будут рассматриваться только двумерные случайные векторы Z = (Х, где Х – компоненты вектора. Однако все приводимые положения либо в равной степени справедливы и для многомерных векторов, либо легко обобщаются на случай многомерных векторов. В общем случае интегральная функция непрерывного двумерного случайного вектора представляет собой криволинейную поверхность Случайные векторы и функции 129 F(x,y), заключенную между двумя неограниченными плоскостями F 0 и F 1 , определяемыми соответственно равенствами F=0 ирис. Поверхность F(x,y) асимптотически приближается к плоскости F 0 , когда или x −∞ → , или y −∞ → , или одновременно x и y −∞ → . При одновременном выполнении условий x ∞ → и y ∞ → поверхность F(x,y) асимптотически приближается к плоскости F 1 F F 1 F 0 1 0 X Y (x 0 ,y 0 ) F(x 0 ,y 0 ) F(x,y) X<x o , Рис. 6.1 По определению интегральная функция двумерного случайного вектора Z = (Х) – это такая функция у, которая при каждых конкретных значениях своих аргументов x и у численно равна вероятности того, что случайные компоненты вектора окажутся меньше соответствующих аргументов, то есть у) = P{X<x, Y<y}. Другими словами, интегральная функция двумерного случайного вектора в конкретной точке (x 0 ,y 0 ) равна вероятности попадания случайного вектора на затененный участок плоскости координат Х (см. рис. 6.1 ирис. Интегральная функция двумерного случайного вектора Z = (Х) обладает рядом свойств, которые формулируются следующим образом е свойство ( ) ; 0 , = −∞ ∞ − F (6.1) ( ) ; 0 , = −∞ x F (6.2) y x (x 0 ,y 0 ) 0 y 0 Рис. 6.2 Теория вероятностей 130 ( ) 0 , = ∞ − y F (6.3) е свойство ( ) 1 , = ∞ ∞ F (6.4) е свойство ( ) { } { } ( ) ; , , 1 x F x X P Y x X P x F = < = ∞ → < = ∞ (6.5) ( ) { } { } ( ) , , 2 y F y Y P y Y X P y F = < = < ∞ → = ∞ (6.6) е свойство F(x,y) – неубывающая функция от обоих своих аргументов. Учет го свойства (6.5) – (6.6) позволяет по известной интегральной функции у) определять интегральные функции распределения компонент, те. ( ) ( ) ; , 1 ∞ = x F x F ( Обобщение го свойства на интегральные функции трехмерных векторов и функции большей размерности позволяет получить выражения для определения частных интегральных функций. Так, для трехмерной интегральной функции F(x 1 ,x 2 ,x 3 ) справедливы выражения ( ) ( ) ; , , 1 1 1 ∞ ∞ = x F x F ( ) ( ) ; , , 2 2 2 ∞ ∞ = x F x F ( ) ( ) 3 2 3 2 3 , 2 , , , x x F x x F ∞ = и т.д. 6.1.2. Вероятность попадания случайного вектора на заданный участок Вероятность попадания дискретного или непрерывного случайного вектора на заданный участок(прямоугольник) может быть определена с помощью одной и той же формулы, основанной на использовании интегральной функции распределения. Пусть известна интегральная функция у) и заданы параметры участка ∆ Z, на который с искомой вероятностью попадает случайный вектор Z см. рис. 6.3), те. заданы координаты углов прямоугольника ∆ Z. Тогда искомая вероятность ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) y x F y x x F y y x F y y x x F Y X P , , , , , + ∆ + − ∆ + − ∆ + ∆ + = ∆ ∈ Z . (6.7) y+? y y x (x,y+? y) (x+? y, y+? y) (x+? x, y) (x, y) x+? Рис. 6.3 ? Z 0 Ось F(x,y) Случайные векторы и функции 131 6.1.3. Плотность распределения случайного вектора Если компоненты случайного вектора являются непрерывными величинами, то закон распределения этого вектора может быть задан в форме плотности распределения дифференциальной функции распределения. Плотность распределения случайного вектора – это предел отношения вероятности попадания случайного вектора на бесконечно малый участок ∆ Z к площади этого участка ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , lim , lim , 0 те. плотность распределения двумерного случайного вектора представляет собой вторую частную производную от интегральной функции ( ) ( ) , , 2 y x y x F y x f ∂ ∂ ∂ = (6.8) Из (6.8) следует, что при известной плотности распределения случайного вектора интегральная функция определяется с помощью обратного преобразования ( ) ( ) , , τ τ d t d t f y x F x y ∫ ∫ ∞ − ∞ − = (6.9) Плотность распределения случайного вектора f(x,y) наследует все свойства интегральной функции F(x,y). Так, приведенные ранее е и е свойства интегральной функции (6.1) – (6.4) трансформируются в е свойство плотности распределения ) 1 , = ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − dy dx y x f ; (6.10) е свойство (6.5) – (6.6) трансформируется вое свойство плотности распределения dy y x f x f ∫ ∞ ∞ − = ) , ( ) ( 1 ; (6.11) dx y x f y f ∫ ∞ ∞ − = ) , ( ) ( 2 ; (6.12) Теория вероятностей 132 е свойство – в е свойство плотности распределения 0 ) , ( ≥ y x f . (6.13) С геометрической точки зрения первое свойство плотности распределения (6.11) означает, что объем, заключенный между поверхностью f(x,y) и координатной плоскостью Х рис. 6.4), равен единице. Третье свойство (6.13) говорит о том, что поверхность f(x,y) не может располагаться ниже координатной плоскости Х. 6.1.4. Условные законы распределения Определение 6.3. Условный закон распределения в форме f(x/y) или F(x/y) – это закон распределения случайной величины Х, вычисленный при условии, что случайная величина приняла конкретное значение. Определение 6.4. Случайные величины Хи называются независимыми, если закон распределения Хне зависит оттого, какое значение приняла случайная величина Y . В противоположном случае величины Хи называются зависимыми. Если случайные величины Хи являются независимыми, то f(x/y) = f(x) и f(y/x) = f(y) . Если случайные величины Хи являются зависимыми, то справедливо следующее соотношение f(x,y) = f(x)*f(y/x) = f(y)*f(x/y) . Откуда f(x,y } Y X 0 Рис. 6.4 Случайные векторы и функции 133 ∫ ∞ ∞ − = = dy y x f y x f x f y x f x y f ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) / ( и ∫ ∞ ∞ − = = dx y x f y x f y f y x f y x f ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) / ( 6.1.5. Числовые характеристики случайного вектора Определение 6.5. Математическое ожидание случайного вектора Х =(Х 1 ,Х 2 ,…,Х n ) есть такой неслучайный вектор m=(m 1 ,m 2 ,…,m n ), компонентами которого являются математические ожидания соответствующих компонент случайного вектора Х. Определение 6.6. Дисперсия случайного вектора Х =(Х 1 ,Х 2 ,…,Х n ) есть такой неслучайный вектор D=(D 1 ,D 2 ,…,D n ), компонентами которого являются дисперсии соответствующих компонент случайного вектора Х Определение 6.7. Корреляционным моментом двумерного случайного вектора Z =(Х,Y) называют второй смешанный центральный момент k xy = µ 11 = M[(X-m x )(Y-m y )] Для дискретных случайных величин корреляционный момент определяется по формуле ( ) ( ) ∑ ∑ = = − − = n i m j ij y i x i xy p m y m x k 1 где p ij = P(X=x i ,Y=y i ); m x – математическое ожидание компоненты Х случайного вектора Z ; m y – математическое ожидание компоненты Y случайного вектора Z ; n – количество возможных значений компоненты Х ; m – количество возможных значений компоненты Y . Теория вероятностей Для непрерывных случайных величин корреляционный момент определяется по формуле ( ) ( ) ( ) dy dx y x f m y m x k y x xy , ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − = , где f(x,y) – плотность распределения случайного вектора Корреляционный момент характеризует степень разброса случайных величин вокруг их математических ожиданий, а также степень линейной зависимости между случайными величинами Хи. Для характеристики только степени линейной зависимости между случайными величинами Хи используется коэффициент корреляции y x xy xy k r σ σ = (6.16) Значение коэффициента корреляции r xy находится в диапазоне от –1 до +1. Если X и Y являются независимыми между собой величинами, то r xy = 0. Если X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b , то r xy = –1 при аи при а > 0 . Для случайного мерного вектора Х =(Х 1 ,Х 2 ,…,Х n )задается мерная корреляционная матрица , 2 1 2 1 2 2 22 21 1 1 12 где k ij = M[(X i -m i ) (X j -m j )] ; k ii = M[(X i -m i ) 2 ] = D i – дисперсия й компоненты случайного вектора Х k ij = k ji . Для анализа степени линейной зависимости между компонентами случайного вектора Х используется нормированная корреляционная Случайные векторы и функции матрица R , элементами которой являются коэффициенты корреляции r ij соответствующих компонент вектора Х, , 2 1 2 1 2 2 22 21 1 1 12 где j i ij ij k r σ σ = ; 1 2 = = i i ii D r σ ; r ij = r ji . 6.2. Функции случайных аргументов Решение многих практических задач требует знания законов распределения или числовых характеристик различных случайных величин. В некоторых случаях эксперимент по выявлению закона распределения требует постановки дорогостоящих или длительных повремени экспериментов, а в некоторых случаях и сам эксперимент поставить не представляется возможным. Часто этот барьер легко преодолим. Если интересующая нас случайная величина является функцией случайного аргумента, то её числовые характеристики и закон распределения могут быть определены по известным характеристикам или закону распределения случайного аргумента и виду функциональной зависимости. |