Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов. Министерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
5.2.3. Нормальный закон распределения. Общая характеристика Наиболее простыми достаточно точно отражающим случайные ошибки измерений является так называемый нормальный закон распределения. Определение 5.8. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид ( ) ( ) 2 2 2 где σ и m – параметры распределения. График плотности распределения для случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет вид, показанный на рис. 5.5. Плотность распределения (5.24) имеет осевую симметрию с осью, проходящей через точку m x параллельно оси ординат. 0 b a f(x) x π σ 2 Рис. 5.5 х 1 0,5 0 f(x) x Рис. 5.6 х т. S Теория вероятностей Интегральная функция распределения, согласно обратному преобразованию (4.5), определяется следующим образом ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 ) ( 2 2 2 2 2 Таким образом, интегральная функция случайной величины, распределенной по нормальному закону, определяется интегралом ( ) ∫ ∞ − − − = x m t dt e x F 2 1 ) ( 2 2 2 σ π σ (5.25) График интегральной функции (5.25) изображен на рис. 5.6. Кривая интегральной функции (5.25) имеет центральную симметрию относительно точки S 5.2.3.2. Числовые характеристики Математическое ожидание. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по нормальному закону, определяется выражением ( ) 2 1 2 2 2 m dx e x m m x x = = − − ∞ ∞ − ∫ σ π σ (5.26) Дисперсия. Дисперсия случайной величины, распределенной по нормальному закону, определяется выражением ( ) 2 1 2 2 2 2 2 σ π σ σ = = − − ∞ ∞ − ∫ dx e x D m x x (5.27) Среднее квадратичное отклонение определяется в соответствии с формулой (4.20): σ σ = = x x D (5.28) Центральные моменты Центральные моменты любого порядка нормально распределенной случайной величины определяется рекуррентным соотношением Законы распределения 117 ( ) 1 2 2 σ µ µ − − = s s s (5.29) Зная й и й центральные моменты, можно легко найти любой другой. Поскольку й центральный момент для всех случайных величин равен нулю, то все центральные нечетные моменты для нормально распределенной случайной величины также равны нулю. Поскольку й центральный момент , 2 то все четные центральные моменты нормально распределенной случайной величины легко определяются с помощью выражения (5.29): ( ) ( ) ( ) L ; 105 15 7 1 4 ; 15 3 5 1 4 ; 3 3 1 4 4 2 2 2 6 8 4 2 2 2 4 6 4 2 2 2 2 Поскольку все нечетные центральные моменты для нормально распределенной случайной величины равны нулю, то коэффициент асимметрии также равен нулю 0 0 3 Коэффициент островершинности (величина эксцесс) для нормально распределенной случайной величины также равен нулю 0 3 3 3 4 4 4 4 = − = − = σ σ σ µ E 5.2.3.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный участок можно получить по известным формулам Теория вероятностей Однако в этом случае интегрирование надо проводить численными методами с привлечением вычислительной техники. Чтобы избежать необходимости интегрировать не берущийся интеграл, используют частную интегральную функцию ∫ ∞ − − = x t dt e x F , 2 1 ) ( 2 * 2 π (5.30) те. интегральную функцию нормально распределенной случайной величины с параметрами m = 0; σ = 1. Распределение (2.30) называют стандартным нормальным распределением. Интегральная функция F(x) нормально распределенной случайной величины связана со стандартной интегральной функцией соотношением ) ( * ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Тогда вероятность попадания случайной величины на заданный участок { } * * ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = < ≤ σ σ m a F m b F b X a P (5.31) На рис. 5.7 изображена интегральная функция стандартного нормального распределения (сравни с рис. 5.6) Рассмотрим F * (x) от аргумента x > 0 ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ − − − ∞ − − − = + = + = = x x t х Ф x t t t dt e dt e dt e dt e x F 0 2 ) ( 0 2 5 , 0 0 2 2 * 2 2 2 2 2 1 5 , 0 2 1 2 1 2 1 ) ( π π π π 4 4 3 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 Ф, где Ф(х) – функция Лапласа (см. Приложение В. 1 0,5 0 F * (x) x Рис. 5.7 Законы распределения Поскольку , 5 , 0 ) ( ) ( * + = х Ф x F то (5.31) перепишется как { } , 5 , 0 5 , 0 * * − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ≤ ≤ σ σ σ σ m a Ф m b Ф m a F m b F b X a P т.е. { } ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ≤ ≤ σ σ m a Ф m b Ф b X a P (5.32) Формула (5.32) обладает высокой универсальностью, поскольку позволяет определять вероятность попадания на заданный участок любой нормально распределенной случайной величины независимо от значений её параметров m и σ. 5.2.3.4. Правило трех сигм Формула (5.32) может быть использована для вычисления вероятности того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону от её математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного числа δ. Часто такой расчет требуется в практических задачах, те. когда требуется найти вероятность осуществления неравенства δ < − m X (5.33) Преобразуем (5.33) в δ δ + < < − m X m (5.34) и подставим в формулу (5.32). Поскольку Ф(х) нечетная функция, те. Ф(–х) = –Ф(х), имеем те. вероятность модуля отклонения случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно вычислить по формуле (5.35) Если измерять величину отклонения в единицах σ, то можно вывести практически полезную закономерность, которая известна как правило трех сигм. Действительно, положим в (5.35) δ=σ⋅t. Получим Теория вероятностей 120 ( ) ( ) 2 t Ф t m X P = < − σ Если t=3 и, следовательно, σ⋅t = 3σ, то ( ) ( ) , 9973 , 0 3 2 3 = = < − Ф m X P σ т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднеквадратичного отклонения, очень велика. Это означает, что вероятность противоположного события, которое заключается в том, что абсолютное отклонение превысит утроенное σ, очень мала, а именно равна 0,0027. В этом и состоит сущность правила трех сигм. Правило трех сигм . Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратичного отклонения. Распределения, производные от нормального распределения Рассмотрим несколько распределений, которые связаны с нормальным распределением и используются как инструмент для решения многих задач математической статистики. 5.3.1. Распределение Пирсона Распределение Пирсона имеет еще другое название – хи-квадрат. Пусть независимые случайные величины u i распределены по стандартному нормальному закону, те. по нормальному закону с параметрами m = 0 и σ = 1. Тогда случайная величина ∑ = = n i i u 1 2 2 χ (5.36) распределена по закону хи-квадрат с числом степеней свободы k, равным n. Число степеней свободы является абстрактным понятием, определяющим в данном случае условия независимости величин u i Наличие любой зависимости между величинами u i уменьшает число степеней свободы k на единицу. С увеличением числа степеней свободы k распределение хи-квадрат приближается к стандартному нормальному распределению. Законы распределения Для распределения хи-квадрат составлена таблица вероятности того, что χ 2 окажется больше фиксированного значения χ 1 2 , те. вероятности { } β χ χ = > 2 1 2 P , где β – доверительная вероятность. Таблица имеет два входных параметра β и k. 5.3.2. Распределение Стьюдента Пусть случайная величина u распределена по стандартному нормальному закону, а случайная величина v распределена по закону хи- квадрат с числом степеней свободы k и не зависит от u. Тогда случайная величина k v u t = (5.37) распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы k. Для распределения Стьюдента составлена таблица вероятности того, что случайная величина |t| окажется меньше фиксированного значения t 1 , те. вероятности { } β = < 1 t t P , где β – доверительная вероятность. Таблица имеет два входа – уровень значимости 2α = 1 – β ; – число степеней свободы k. 5.3.3. Распределение Фишера Пусть независимые случайные величины u и v распределены по закону хи-квадрат соответственно со степенями свободы k 1 и Тогда случайная величина 2 1 k v k u F = (5.38) распределена по закону Фишера со степенями свободы k 1 и k 2 . Для распределения Фишера составлена таблица вероятности того, что случайная величина F окажется больше фиксированного значения F 1 , те. вероятности { } β = > 1 F F P , где β – доверительная вероятность. Таблица имеет три входа – доверительная вероятность β ; Теория вероятностей 122 – число степеней свободы k 1 ; – число степеней свободы k 2 5.4. Практикум и вопросы для самоконтроля 5.1. Какие случайные величины распределены по биномиальному закону 5.2. Составить ряд распределения для дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону с параметрами распределения p=0,6 и n=4. 5.3. Привести формулу для вычисления математического ожидания биномиальной величины. 5.4. Привести формулу для вычисления дисперсии биномиальной величины. 5.5. Привести формулу для вычисления среднего квадратичного отклонения биномиальной величины. 5.6. Привести формулу для вычисления вероятности попадания значения биномиальной величины на заданный участок [k 1 , k 2 ]. 5.7. Дать определение потоку событий. 5.8. Дать определение простейшему потоку событий. 5.9. Какой поток событий называется стационарным 5.10. Какой поток событий называется ординарным 5.11. Какой поток событий называется потоком без последействия 5.12. Какие случайные величины распределены по закону Пуассона 5.13. Чему равно математическое ожидание пуассоновской величины 5.14. Чему равна дисперсия пуассоновской величины 5.15. Привести формулу для вычисления среднего квадратичного отклонения пуассоновской величины. 5.16. Случайная величина Х – количество блоков, поступающих с ДСК на строительную площадку – распределена по закону Пуассона. Интенсивность поступления блоков λ = 2 блока/час. Найти вероятность того, что количество блоков, поступивших за 2 часа Законы распределения а составит 10 шт б превысит 10 шт в составит менее 10 шт. 5.17. Случайная величина Х подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием а = 3. Записать функцию распределения вероятности случайной величины Х. Найти вероятность того, что случайная величина Х примета значение меньшее, чем ее математическое ожидание б положительное значение. 5.18. Поток заявок, поступающих на телефонную станцию, представляет собой простейший поток событий. Математическое ожидание числа вызовов за час равно 30. Найти вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вызовов. 5.19. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно 3 элемента. 5.20. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг. 5.21. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных. 5.22. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий а ровно 3; б менее 3; в более 3; г хотя бы одно. 5.23. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98. 5.24. Дать определение случайным величинам, распределенным по равномерному закону. Теория вероятностей 124 5.25. Записать в общем виде интегральную функцию равномерно распределенной случайной величины. 5.26. Привести формулу для вычисления математического ожидания равномерно распределенной случайной величины. 5.27. Привести формулу для вычисления дисперсии равномерно распределенной случайной величины. 5.28. Привести формулу для вычисления среднего квадратичного отклонения равномерно распределенной случайной величины. 5.29. Привести формулу для вычисления вероятности попадания значения равномерно распределенной случайной величины на заданный участок P{α ≤ X < β}, если участок [α, β] входит в диапазон [a,b]. 5.30. Случайная величина Х задана интегральной функцией ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ < − + − ≤ = 3 при при 3 4 3 ; 1 при , 0 ) ( x x x x x F Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале а (0; 1/3); б (–5; 1/3) . 5.31. Электропоезда в метро следуют друг за другом строго по графику с интервалом движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к перрону метро, будет ожидать очередной поезд менее 3 мин. 5.32. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более, чем нас Найти дисперсию случайной величины, распределенной равномерно в интервале (2; 8). 5.34. Дать определение случайным величинам, распределенным по показательному закону. 5.35. Записать в общем виде интегральную функцию случайной величины, распределенной по показательному закону Законы распределения 125 5.36. Привести формулу для вычисления математического ожидания случайной величины, распределенной по показательному закону. 5.37. Привести формулу для вычисления дисперсии случайной величины, распределенной по показательному закону. 5.38. Привести формулу для вычисления среднего квадратичного отклонения случайной величины, распределенной по показательному закону. 5.39. Поставить знак отношения между первым начальным моментом случайной величины и её математическим ожиданием. 5.40. Привести формулу для вычисления вероятности попадания значения случайной величины, распределенной по показательному закону, на заданный участок [a, b], где a и b – неотрицательные величины. 5.41. Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр λ = 5. 5.42. Случайная величина Х подчинена показательному закону распределения с параметром µ: при 0; при ) ( х х e x f x µ µ Найти интегральную функцию распределения и вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем её математическое ожидание. |