Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов. Министерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
5.1.2. Закон распределения Пуассона Закон распределения Пуассона связан с редкими событиями, составляющими простейший поток событий. Поэтому дальнейшее изложение будет касаться материала, определяющего и характеризующего основные особенности случайного потока событий и его частного случая – простейшего потока событий. 5.1.2.1. Простейший поток событий Определение 5.1. Случайным потоком событий называются события, следующие друг за другом в случайные моменты времени. Определение 5.2. Простейшим потоком событий называется поток событий, обладающий следующими тремя свойствами – стационарностью – ординарностью – отсутствием последействия. Примером простейшего потока событий может служить поток заявок, поступающих по телефону в кассу театра на приобретение билетов. Определим вышеперечисленные свойства простейшего потока. Определение 5.3. Случайный поток событий называется стационарным, если вероятность попадания определенного числа событий на заданный временной участок зависит только от длины участка Тине зависит оттого, где на временной оси t расположен этот участок. Теория вероятностей 104 1. Если временные интервалы Т и Т, находящиеся на временной оси t в разных местах (рис. 5.1), равны между собой, то равны и вероятности появления определенного числа событий (m) в течение этих интервалов Р 1 (Х=m) и Р 2 (Х=m) (см. рис. 5.1): T 1 = T 2 => Р 1 (Х=m) = Р 2 (Х=m). } } T 1 T 2 t P 1 (X=m) P 2 Рис. 5.1. Определение 5.4. Случайный поток событий называется ординарным, если вероятность попадания двух и более событий на бесконечно малый участок ∆ t несоизмеримо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события на этот участок. Другими словами, два и более событий на одном бесконечно малом участке произойти не могут, те. имеет место предел { } ( ) 0 Определение 5.5. Случайный поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания определенного числа событий на участок длиной Т не зависит оттого, сколько событий попало на любой другой участок, не пересекающийся с ним. Данное свойство потока говорит о том, что все последующие события в потоке не зависят от предыдущих. 5.1.2.2. Общая характеристика пуассоновской случайной величины Для простейшего потока событий случайная величина Х – количество событий попавших на интервал Т – распределена по закону Пуассона Законы распределения 105 ( ) , ! a m e m a m X P − = = (5.5) где а = Т – среднее число событий, попадающих на интервал Т единственный параметр закона распределения λ – интенсивность наступления событий (количество событий в единицу времени Т – некоторый период времени. Ряд распределения пуассоновской случайной величины соответствует табл. 5.2. Таблица 5.2. Ряд распределения пуассоновской случайной величины x i 0 1 . . . m . . . p i е –а а е –а . . . а е –а )/m! . . . Доказательство формулы Пуассона (5.5). Введем обозначения λ – интенсивность событий Т – заданный участок временной оси. Разобьем участок длины Т на участки ∆t в количестве n. Причем 0 → = ∆ n T t . В силу стационарности и ординарности потока вероятность того, что на участке ∆t произойдет одно событие, определится следующим образом а вероятность того, что на участке ∆t не произойдет ни одного события 1 При условии ∞ → n вероятность 0 → = n T p λ Вероятность того, что за период времени Т произойдет ровно m событий можно рассматривать как вероятность появления m событий в n независимых испытаниях прите. вычислять ее по формуле Бернулли Теория вероятностей 106 ( ) ( ) ( ) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ + − − = − = = − ∞ → − ∞ → m n m m n m n m m n n p p m m n n n p p C m X P 1 ! ) 1 )...( 1 ( lim 1 lim 4 4 4 8 4 4 4 7 6 1 lim ! ) ( 1 1 lim ! ) ( ) 1 ( ) 1 ( lim ! n n m m n n m m n n m m n a m a n np m np p p p m n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Поскольку n n n a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ → 1 lim = е –а как замечательный предел (см. Приложение Сто что и требовалось доказать. Убедимся, что сумма вероятностей во второй строке ряда распределения (табл. 5.2) равна единице, те. 1 ! 0 = − ∞ = ∑ a i i e i a . Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть ! ! 0 Здесь сумма представляет собой функциональный бесконечный ряд сходящийся к функции е а (см. Приложение С. Преобразуем исходную сумму 1 ! ! 0 Таким образом, равенство 1 ! 0 = − ∞ = ∑ a i i e i a доказано. 5.1.2.3. Числовые характеристики пуассоновской случайной величины Математическое ожидание. В соответствии с формулой (4.9) математическое ожидание дискретной случайной величины определится следующим образом Законы распределения 107 [ ] )! 1 ( ! ! ! 1 1 0 1 0 Последняя сумма представляет собой функциональный ряд, сходящийся к функции е а (см. Приложение С. Продолжим преобразования , )! 1 ( 1 те. математическое ожидание пуассоновской случайной величины a m x = (5.6) Дисперсия. Определим предварительно второй начальный момент в соответствии с формулой (4.15): ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = − − ∞ = − − ∞ = ∞ = − − ∞ − = − + − = − = = ⋅ = = 1 1 1 1 0 0 2 2 0 2 2 )! 1 ( ) 1 1 ( )! 1 ( ! ! i i a i i a i i i a a i i i i i a i a e i a i a e i a i e e i a i p x α ) 1 ( ) 1 ( )! 2 ( )! 1 ( )! 1 ( ) 1 ( 2 2 1 1 1 1 + = + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − = − ∞ = − − ∞ = − ∞ = − − ∑ ∑ ∑ a a a e a e e i a a a e i a i a i a e a a a e i i a e i i i i a a a 4 8 47 6 4 8 47 Дисперсию пуассоновской случайной величины определим по формуле связи , ) 1 ( 2 те. дисперсия a D x = (5.7) Среднее квадратичное отклонение определим в соответствии с формулой (4.20): a D x x = = σ (5.8) 5.1.2.4. Вероятность попадания пуассоновской случайной величины на заданный участок Для случайных пуассоновских величин существуют две специальные таблицы, позволяющие решать различные задачи, связанные с Теория вероятностей распределением Пуассона, без вычисления факториальных величин типа m! , степенных величин типа a m и показательных величин типа е –а Первая таблица позволяет определять вероятность того, что пуассоновская случайная величина принимает значение m, то есть вероятность P(X=m) . Вторая таблица позволяет определять вероятность того, что пуассоновская случайная величина принимает значения, которые меньше или равны m, то есть вероятность P{X ≤ m} . Вторая таблица является более универсальной, так как позволяет легко определять вероятности P(X=m) как разность P{X ≤ m} – P{X ≤ (m–1)} ; P{X ≤ m} как разность 1 – P{X ≤ (m–1)} ; P{m 1 ≤ X ≤ m 2 } как разность P{X ≤ m 2 } – P{X ≤ (m 1 –1)} . 5.2. Законы распределения непрерывных случайных величин Среди непрерывных случайных величин особого внимания заслуживают величины, имеющие один из следующих законов распределения • равномерный • показательный • нормальный. Рассмотрим более подробно каждый из названных законов распределения. 5.2.1. Равномерный закон распределения 5.2.1.1. Общая характеристика Определение 5.6. Непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону, если ее плотность распределения имеет вид ( ) [ ] [ ] ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∉ = , , ; , , 0 b a x c b a x x f (5.9) Законы распределения График плотности распределения для равномерно распределенной случайной величины имеет вид, показанный на рис. 5.1. Если случайная величина распределена по равномерному закону, то величина св) имеет строго определенное значение, которое вычисляется с помощью первого свойства плотности распределения (4.6). Для этого необходимо взять определенный интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения (5.9) и приравнять его единице ( ) ; 0 0 0 0 ) ( a b c cx dx dx c dx dx x f b a b b a a − = + + = = + + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ( ) 1 = − Откуда 1 a b c − = Тогда ( ) [ ] [ ] ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ − ∉ = , , 1 ; , , 0 b a x a b b a x x f (5.10) Равномерный закон распределения имеет два параметра аи. Интегральная функция распределения, согласно обратному преобразованию (4.5), определяется следующим образом ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > = − − = ⋅ + ⋅ − + ⋅ ≤ ≤ − − = ⋅ − + ⋅ < = ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ − ∞ − ∞ − , 1 0 1 0 ; , 1 0 ; , 0 Таким образом, интегральная функция равномерно распределенной величины определяется как { F ∆ 1 ? ? 0 ? ? b a m x f(x) x a b c − = 1 b a m x F(x) x 0 Рис. 5.1 Рис. 5.2 Теория вероятностей 110 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ − − < = , 1 ; , ; , 0 ) ( b x b x a a b a x a x x F (5.11) График интегральной функции для равномерно распределенной случайной величины имеет вид, показанный на рис. 5.2. 5.2.1.2. Числовые характеристики Математическое ожидание. В соответствии с формулой (4.10) математическое ожидание непрерывной случайной величины определится следующим образом ( ) ( ) , 2 2 2 1 0 1 0 2 2 те. 2 b a m x + = (5.12) Математическое ожидание (5.12) равномерно распределенной случайной величины находится в середине отрезка [a,b] (см. рис. 5.1). Плотность распределения (5.10) имеет осевую симметрию с осью, проходящей через точку m x параллельно оси ординат. Дисперсия. Определим предварительно второй начальный момент в соответствии с формулой (4.16): ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ ∞ − = − = ⋅ + − + ⋅ = = a b a b a b a b x dx x dx a b x dx x dx x f x ) ( 3 0 1 0 3 2 2 2 2 2 α ( ) , 3 3 2 2 3 те. 3 2 2 2 b ab a + + = α (5.13) Дисперсию равномерно распределенной случайной величины определим по формуле связи Законы распределения 111 ( ) , 12 2 3 2 2 3 2 2 2 a b b a b ab a m D x x − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +те. ( ) 12 2 a b D x − = (5.14) Среднее квадратичное отклонение определим в соответствии с формулой (4.20): 6 3 ) ( a b D x x − = = σ (5.15) 5.2.1.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на заданный участок, если участок [α,β] входит в диапазон [a,b], можно определить двумя способами й способ По формуле (4.2) й способ По формуле (4.8) Таким образом, [ ] [ ] { } , , a b X P b a − − = ≤ ≤ ⇒ ⊂ α β β α β α (5.16) Геометрически вероятности { } β α ≤ ≤ X P соответствует область, выделенная штриховкой на рис. 5.1. Если участок [α,β] не входит в диапазон [a,b], то выражение (5.16) не является справедливым. В этом случае необходимо руководствоваться выражением [ ] [ ] { } ( ) ( ) , , , a b a b X P b a − − − = ≤ ≤ ⇒ ⊄ I α β β α β α (5.17) где ( ) ( ) a b − − I α β – длина участка на числовой оси, являющегося общим пересечением) для участка [α,β] и диапазона [a,b] . Теория вероятностей 112 5.2.2. Показательный закон распределения 5.2.2.1. Общая характеристика В простейшем потоке событий случайная величина Т – интервал времени между двумя последовательными событиями – распределена по показательному закону. Определение 5.7. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, если ее плотность распределения имеет вид ( где λ – интенсивность событий, те. количество событий в единицу времени. График плотности распределения для случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид, показанный на рис. 5.3. Показательный закон распределения имеет только один параметр λ . Интегральная функция распределения, согласно обратному преобразованию (4.5), определяется следующим образом ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ − = + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = = + ⋅ < = ⋅ = − − ∞ − − − − ∞ − ∫ ∫ ∫ ∫ 0 , 1 1 1 0 ; 0 , 0 0 ) ( 0 0 0 0 t e e e dx e dx e dx t dx t F t t t t x t x x t λ λ λ λ λ λ λ λ λ 0 b a f(t) t Рис. 5.3 f(a) f(b) 0 F(t) t Рис. 5.4 1 Законы распределения Таким образом, интегральная функция случайной величины, распределенной по показательному закону, определяется выражением ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < = − 0 , 1 ; 0 , 0 ) ( t e t t F t λ (5.19) График интегральной функции (5.19) изображен на рис. 5.4. 5.2.2.2. Числовые характеристики Математическое ожидание. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону, определяется равенством 1 λ = x m (5.20) Доказательство В соответствии с формулой (4.10) математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону, определяется следующим образом ( ) 0 0 0 Полученный интеграл проинтегрируем по частям. Напомним правило вычисления определенного интеграла по частям [ ] ∫ ∫ − = b a b a b a vdu uv udv Итак, обозначим dt e dv t u t λ λ − − = − = , , тогда Проинтегрируем по частям { { { ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 1 lim lim lim lim 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = + − = − − − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − = − → − ∞ → ∞ − − → ∞ → ∞ − ∞ − ∞ − ∫ ∫ ∫ 4 3 42 1 4 3 42 1 43 42 1 3 2 1 4 3 42 1 t t t t t t t t t du v v t v t u t e e e te e t dt e e t dt e t b a , те. Примечание. Вычисление предела t t e t λ − ∞ → − lim осуществляется по правилу Лопиталя (см. Приложение С. Теория вероятностей Дисперсия. Определим предварительно второй начальный момент в соответствии с формулой (4.16): ( ) 0 0 2 0 0 2 2 Полученный интеграл проинтегрируем по частям. Обозначим dt e dv t u t λ λ − = = , 2 , тогда t e v tdt du λ − − = = , 2 . Проинтегрируем по частям 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 2 2 2 λ λ λ λ α λ λ λ λ λ = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = = = ∞ − ∞ ∞ − ∞ − − ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 1 43 42 1 43 42 1 4 3 42 Дисперсию определим по формуле связи , 1 1 2 2 2 2 2 тех) Среднее квадратичное отклонение определим в соответствии с формулой (4.20): 1 1 2 λ λ σ = = = x x D (5.22) 5.2.2.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок Вероятность попадания случайной величины на заданный участок, если участок [a,b] входит в диапазон [0, ∞ ], можно определить двумя способами й способ По формуле (4.2) { } ( ) ( ) b a a b e e e e a F b F b T a P λ λ λ λ − − − − − = − − − = − = ≤ ≤ 1 й способ По формуле (4.8) |