Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов. Министерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
 Скачать 2.54 Mb.
|
5.1 и тогда случайная величина 2 1 k v k u F = распределена по закону Фишера со степенями свободы k 1 и k 2 6. 1 . Случайным вектором называют вектор, компоненты которого представляют собой случайные величины Интегральная функция распределения случайного вектора – это такая функция нескольких случайных аргументов, которая при конкретных значениях своих аргументов численно равна вероятности того, что все компоненты случайного вектора окажутся меньше соответствующих аргументов. Интегральная функция двумерного случайного вектора Z = (Х) обладает четырьмя свойствами. е свойство е свойство ( ) 1 , = ∞ ∞ F е свойство ( ) { } { } ( ) ; , , 1 x F x X P Y x X P x F = < = ∞ → < = ∞ ( ) { } { } ( ) y F y Y P y Y X P y F 2 , , = < = < ∞ → = ∞ . е свойство F (x,y) – неубывающая функция от обоих своих аргументов Упражнение выполняется в соответствии с формулой ( ) { } ( ) − ∆ + ∆ + = ∆ ∈ y y x x F Y X P , , Z ( ) ( ) ( ) y x F y x x F y y x F , , , + ∆ + − ∆ + − , которая в данном случае трансформируется в выражение Р ∈ ∆Z} = F(x 2 ,y 2 ) – F(x 1 ,y 2 ) – F(x 2 ,y 1 ) + F(x 1 ,y 1 ) . 6. 5 . Плотность распределения двумерного случайного вектора представляет собой вторую частную производную от интегральной функции распределения этого вектора ( ) ( ) , , τ τ d t d t f y x F x y ∫ ∫ ∞ − ∞ − = 6. 7 . Первое свойство плотности распределения означает, что объем, заключенный между поверхностью функции f(x,y) и координатной плоскостью, равен единице dy y x f x f ∫ ∞ ∞ − = ) , ( ) ( 1 ; dx y x f y f ∫ ∞ ∞ − = ) , ( ) ( 2 6. 9 . Третье свойство плотности распределения означает, что поверхность функции f(x,y) не может располагаться ниже координатной плоскости Х Второе свойство плотности распределения двумерного случайного вектора определяется двумя равенствами. Докажем первое ) ( ) [ ] = ∞ = ′ = , ) ( 1 x F dx d x F x f ( ) ( ) = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ − ∞ ∞ − x x dt dy y t f dx d dy dt y t f dx d , , ( ) ( Для доказательства была использована переменная t, чтобы отличить ее от соответствующего предела интегрирования х. Аналогично доказывается 6. 11 . Условный закон распределения в форме f(x/y) или F (x/y) – это закон распределения случайной величины Х, рассчитанный при условии, что случайная величина Y приняла конкретное значение. 6. 12 . Случайные величины Хи являются независимыми, если закон распределения Хне зависит оттого, какое значение приняла случайная величина Y. 6. 13 . ( ) ( ) 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 , , , , dt dt dt t t t f x x x F x x x ∫ ∫ ∫ ∞ − ∞ − ∞ − = ; ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 1 1 1 1 , , , , dt dt dt t t t f x F x F x ∫ ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ = ; ( ) ( ) 1 3 2 1 3 2 , , , dx x x x f x x f ∫ ∞ ∞ − = ; ( ) ( ) 3 1 3 2 1 2 , , dx dx x x x f x f ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − = ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∞ ∞ − = = 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 , , , , , , , , / dx x x x f x x x f x x f x x x f x x x f ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − = = 3 1 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1 2 3 1 , , , , , , / , dx dx x x x f x x x f x f x x x f x x x f . 6. 14 . Математическое ожидание случайного вектора есть такой неслучайный вектор, компонентами которого являются математические ожидания соответствующих компонент случайного вектора. 6. 15 . Дисперсия случайного вектора есть такой неслучайный вектор, компонентами которого являются дисперсии соответствующих компонент случайного вектора Х. 6. 16 . Корреляционным моментом k xy двумерного случайного вектора Х) называют второй смешанный центральный момент k xy = µ 11 = M [(X-m x )(Y-m y )]. 6. 17 . Для случайных дискретных величин корреляционный момент определяется по формуле ( ) ( ) ∑ ∑ = = − − = n i m j ij y j x i xy p m y m x k 1 1 , где p ij = P (X=x i ,Y=y j ); m x – математическое ожидание компоненты Х случайного вектора Z; m y – математическое ожидание компоненты Y случайного вектора Z; n – число возможных значений компоненты Х ; m – число возможных значений компоненты Y. Для случайных непрерывных величин корреляционный момент определяется по формуле ( ) ( ) ( ) dxdy y x f m y m x k y x xy , ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − = , где f(x,y) – плотность распределения случайного вектора Z. 6. 18 . Корреляционный момент характеризует степень разброса случайных компонент вектора вокруг их математических ожиданий, а также степень линейной зависимости между этими компонентами. Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между двумя случайными величинами. 6. 20 . y x xy xy k r σ σ = 6. 21 . Коэффициент корреляции может принимать значения из диапазона [–1; 1]. 6. 22 . 1. 6. 23 . –1. 6. 24 . Математическое ожидание неслучайной величины равно самой этой 6. 27 . Дано предварительно возведя во вторую степень. 6. 28 . Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Математическое ожидание линейной функции Y от n случайных аргументов Х (i=1,2,…,n) равно этой же линейной функции от математических ожиданий случайных величин Х [ ] [ ] . b X M a b X a M Y M n i i i n i i i + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = ∑ ∑ = = 1 1 6. 30 . Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий, увеличенной на удвоенный корреляционный момент этих же величин. Дисперсия суммы двух случайных некоррелированных величин равна сумме их дисперсий. Дисперсия линейной функции n случайных некоррелированных независимых) аргументов Х (i =1,2,…,n) определяется по формуле [ ] [ ] . ∑ ∑ = = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = n i i i n i i i X D a b X a D Y D 1 2 1 6. 33 . Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий, увеличенному на момент корреляции этих величин. 6. 34 . Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Дисперсия произведения независимых случайных величин Хи определяется по формуле D[XY] = D[X] * D[Y] + m y 2 D[X] + m x 2 D[Y] . 7. 1 . С вероятностью, сколь угодно близкой к 1, можно ожидать, что при достаточно большом числе испытаний частота появления события будет сколь угодно мало отличаться от её вероятности При любом ε>0 справедливо неравенство [ ] ( ) [ ] , 2 ε ξ ε ξ ξ D M P ≤ ≥ − те. абсолютное отклонение случайной величины от её математического ожидания больше или равно ε с вероятностью, не большей отношения дисперсии этой случайной величины к квадрату ε. 7. 3 . Если 1 ξ ξ ,.., ,.. n – последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной ] [ ] [ ] , о , , о , о 2 то для любого ε>0 [ ] 1 1 1 1 1 → ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − Ρ ∑ ∑ = = ε ξ ξ n i M n i i n n i при n →∞ 7. 4 . Сжимается. Относительная частота появления случайного события с ростом числа независимых испытаний стремится к истинной вероятности появления события с вероятностью 1. 7. 6 . Если последовательность взаимно независимых случайных величин 1 ξ ξ ,.., ,.. n удовлетворяет условию 183 [ ] ∞ < ∑ ∞ =0 2 1 n n n D ξ то она подчиняется усиленному закону больших чисел. 7. 7 . Необходимыми достаточным условием для применимости усиленного закона больших чисел к последовательности независимых величин является существование математического ожидания. С ростом n максимальное абсолютное отклонение эмпирической функции распределения от теоретической (истинной) стремится к нулю с вероятностью 1: 1 0 | ) ( ) ( | * = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → − ∞ → n n x x F x F P sup 7. 9 . Распределение среднего арифметического случайных величин (при многократном суммировании при различном числе слагаемых среднее арифметическое становится случайной величиной) приближается к нормальному с параметрами а (математическое ожидание) и σ 2 /n (дисперсия , ) , ( 1 2 1 n a N n n i i σ ξ ∑ = где σ 2 =D[ξ i ]. 7. 10 . Если s n = ξ 1 + ξ 2 +...+ ξ n – сумма независимых случайных величин, A n = M [s n ], B n 2 = D[s n ] и выполняется условие Ляпунова (при некотором δ > 0 [ ] 0 1 lim 1 2 2 = − ∑ = + + ∞ → n k k k n n a M B δ δ ξ ), то распределение случайной величины s n приближается к нормальному с параметрами A n и B n 2 7. 11 . Если независимые случайные величины ξ 1 , ξ 2 , ... , ξ n одинаково распределены и имеют конечную отличную от нуля дисперсию, то выполняется условие Ляпунова. При этом распределение суммы s n = ξ 1 + ξ 2 + … + ξ n с ростом n приближается к нормальному с параметрами A n = M [s n ], B n 2 = D[s n ]. Байеса формула 52 – формула для определения апостериорных вероятностей гипотез Бернулли теорема 142 – частота появления случайного событий с ростом числа независимых испытаний стремится к вероятности события Бернулли формула 58 – формула для определения вероятности того, что в n независимых испытаниях некоторое событие произойдет ровно k раз биномиальный закон распределения 97 – частный закон распределения дискретной случайной величины благоприятствующий случай 14, 23 – случай, который влечет за собой появление конкретного события Бореля теорема 147 – одно из утверждений усиленного закона больших чисел величина эксцесс 88, 114 – числовая характеристика степени островершинности плотности распределения случайной величины вероятность 11 – число, заключенное в диапазоне от 0 дои характеризующее степень объективной возможности появления случайного абстрактного объекта любой природы (гипотезы, значения параметра, события, явления и т.п.) вероятность полная 49 – средняя вероятность события, которое может произойти только с одним из полной группы несовместных событий гипотез) вероятность события 12 – численная мера степени объективной возможности появления события в результате нового опыта вероятность условная 33 – вероятность зависимого события, вычисленная при условии, что произошло событие, от которого зависит первое Гливенко теорема 150 – основная теорема математической статистики дискретная случайная величина 67 – случайная величина, возможные значения которой принадлежат счетному множеству дисперсия 85 – числовая характеристика разброса случайной величины вокруг её математического ожидания достоверное событие 12, 23 – событие, которое в результате опыта непременно должно состояться зависимые величины 128 – случайные величины, у которых законы распределения одних величин зависят от конкретных значений других зависимые события 33 – группа событий, вероятности которых зависят оттого, произошли другие события в группе или не произошли закон распределения 68 – соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями закон распределения биномиальный 97 – частный закон распределения дискретной случайной величины закон распределения нормальный 111 – частный закон распределения непрерывной случайной величины закон распределения показательный 108 – частный закон распределения непрерывной случайной величины закон распределения Пуассона 101 – частный закон распределения дискретной случайной величины закон распределения равномерный 105 – частный закон распределения непрерывной случайной величины закон распределения условный 128 – закон распределения одной случайной величины при условии принятия конкретных(ого) значений(я) другими(ой) случайными(ой) величинами(ы) интегральная теорема Лапласа 61 – теорема, оценивающая вероятность того, что в n независимых испытаниях некоторое событие произойдет не менее k 1 разине более k 2 раз интегральная функция распределения 69 – универсальная форма задания закона распределения случайных величин 1 разине более k 2 раз Лапласа локальная теорема 59 – теорема, оценивающая вероятность того, что в n независимых испытаниях некоторое событие произойдет ровно k раз |