Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов. Министерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
4. 44 . Центральный момент го порядка характеризует степень разброса случайной величины вокруг её математического ожидания. 4. 45 . Знак «=». 4. 46 . 2 2 x x m D − = α . 4. 47 . Среднее квадратичное отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии. 4. 48 . Среднее квадратичное отклонение характеризует тоже, что и дисперсия. 4. 49 . α 2 = 2,16 ; D x = 0,72 ; σ x = 0,85. 4. 50 . Построим сначала ряды распределения для случайных величин Хи Х В построенных законах распределения вероятности промахов определяются как вероятности противоположных событий, соответственно q 1 =1–p 1 =1–07=0,3; q 2 =1–p 2 =1–0,6=0,4. Полученные ряды распределения позволяют построить ряд распределения для случайной Ответы величины Х=Х 1 –Х 2 . Определим сначала возможные значения случайной величины Хи соответствующие вероятности если Хи Х то Х, a вероятность исхода q 1* p 2 =0,18; если Хи Х или Хи Х то Х, a вероятность исхода q 1* q 2 + p 1* p 2 = 0,54; если Хи Х то Х, a вероятность исхода q 1* p 2 = 0,28. Искомый ряд распределения: Ряд распределения позволяет построить таблицу и график интегральной функции распределения. Табличное задание интегральной функции случайной величины Х Индекс диапазона Диапазон х) 1 х F (x) = P{X F (x) = P{X = 0,18 + 0,54 = 0,72 4 х F (x) = P{X = 0,18 + 0,54 + 0,28 = 1 График интегральной функции Математическое ожидание определим по формуле (4.9) Теория вероятностей Для определения дисперсии D x предварительно определим второй начальный момент α 2 по формуле (4.15) Теперь с помощью формулы связи (4.19) определим дисперсию По формуле (4.20) найдем среднее квадратичное отклонение Вероятность P{–0,5 ≤ X < 0,5} определим по формуле (4.2) : Данную операцию целесообразно осуществлять с помощью графика F(x). 4. 51 . Прежде чем вычислять искомые величины, необходимо определить параметра в заданной плотности распределения f(x). Для определения параметра воспользуемся м свойством плотности распределения, согласно которому определенный интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Возьмём интеграл Затем приравняем результат интегрирования единице 1 Откуда а = Итоговое выражение для плотности распределения имеет вид График f(x): Для определения интегральной функции воспользуемся обратным преобразованием (4.5). Поскольку плотность распределения является кусочно непрерывной функцией, имеющей три диапазона с различным видом подынтегральной функции, то обратным преобразованием следует воспользоваться три раза для диапазона 0 < x Ответы для диапазона 1 для диапазонах Таким образом, ( если 1 0 если , ; 0 если , 0 График интегральной функции F(x): Для определения математического ожидания воспользуемся формулой (4.10) ( ) 3 2 3 2 2 0 0 2 0 1 0 1 0 3 2 1 0 С целью дальнейшего определения дисперсии D x определим сначала второй начальный момент ( ) 2 1 4 2 2 0 0 2 0 1 0 1 0 4 3 1 0 1 2 2 0 2 2 Используя формулу (4.19), связывающую дисперсию с начальными моментами, определим D x : По формуле (4.20) найдем среднее квадратичное отклонение По определению медианы Р = P{X>Me}, но Р = F(Me) = 0,5. Следовательно, медиану можно найти из уравнения F(Me) = 0,5, что мы и сделаем Теория вероятностей Последнюю искомую величину P{0 ≤ X<0,5} определим двумя способами Найденной вероятности на приведенном выше графике плотности распределения соответствует площадь заштрихованной области. 4. 52 . Третий центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень асимметрии её закона распределения. 4. 53 . ( ) [ ] = − = 3 3 x m X M µ ( ) i n i x i p m x ∑ = − = 1 3 . 4. 54 . ( ) [ ] ( ) ( ) dx x f m x m X M x x 3 3 3 ∫ ∞ ∞ − − = − = µ . 4. 55 . Коэффициент асимметрии характеризует степени асимметрии закона распределения. Коэффициент асимметрии определяется по формуле 3 x s σ µ = . 4. 56 . 0,144. 4. 57 . Четвертый центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень островершинности её закона распределения. 4. 58 . Величина эксцесс характеризует степени островершинности закона распределения, заданного с помощью плотности распределения. Величина эксцесс определяется по формуле 4 4 − = x E σ µ . 5. 1 . Cлучайная величина распределена по биномиальному закону, если её ряд распределения имеет вид x i 0 1 m n p i (1-p) n np (1-p) n-1 C n m p m (1-p) n-m p n 5. 2 . Ряд распределения случайной биномиальной величины c параметрами распределения p=0,6 и n=4: Ответы 177 x i 0 1 2 3 4 p i 0,0256 0,1536 0,3456 0,3456 0,1296 5. 3 . М = np. 5. 4 . D [X] = np(1–p). 5. 5 . ) 1 ( p np D x x − = = σ 5. 6 . { } ) 1 ( 2 1 2 1 ∑ = − − = ≤ ≤ k k i i n i i n p p C k X k P 5. 7 . Случайным потоком событий называются события, следующие друг за другом в случайные моменты времени. 5. 8 . Простейшим потоком событий называется поток событий, обладающий тремя свойствами стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия. 5. 9 . Случайный поток событий называется стационарным, если вероятность попадания определенного числа событий на заданный временной участок зависит только от длины участка Тине зависит оттого, где на временной оси t расположен этот участок. 5. 10 . Случайный поток событий называется ординарным, если вероятность попадания двух и более событий на бесконечно малый участок несоизмеримо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события на этот участок. 5. 11 . Случайный поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания определенного числа событий на участок длиной Т не зависит оттого, сколько событий попало на любой другой участок, не пересекающийся с ним. 5. 12 . Случайная величина распределена по закону Пуассона, если её ряд распределения имеет вид x i 0 1 m p i е –а а е –а (а m е –а )/m! 5. 13 . М = а. 5. 14 . D [X] = а. 5. 15 . a D x x = = σ 5. 16 . Параметра Т = 4 блока . а Р) = Р) – Р) = 0,00529 ; б Р) = = 1 – Р) ; в Р) = Р. 5. 17 . Функция распределения вероятности ,... 2 , 1 , 0 , ! 3 ! ) ( 3 = = = = − − k e k e k a k X P k a k а Р) = 1–Q(2,3) = 1– 0,577 = 0,423; б Р) = Q(0,3). 5. 18 . По условию математическое ожидание числа вызовов за час m x = 30, тогда математическое ожидание числа вызовов за минуту m x = 30/60 = 0,5. Р) = Р) = Q(1;0,5) = 0,0902. 5. 19 . Параметра. Тогда = = ) 3 (X P 18 , 0 ! 3 2 ! 3 2 3 3 ≈ = = − − e e a a (й способ, или Р) = Q(2,2) – Q(3,2) = = 0,323 – 0,143 = 0,18 (й способ. 5. 20 . Параметра Параметра. Тогда a e a X P − = = ! 4 ) 4 ( 4 09 , 0 ! 4 2 2 4 ≈ = − e (й способ, или Теория вероятностей Р X = 4 ) =Q(3,2) – Q(4,2) = 0,142 – 0,052 = 0,09 (й способ. 5. 22 . Параметра. ай способ, или Р) = Q(2,1)–Q(3,1) = 0,0803–0,0190 = 0,0613 (й способ б 2 5 ! 2 1 ! 1 1 ! 0 1 1 1 2 1 1 1 0 ≈ = + + = − − − − e e e e (й способ, или (й способ) Р) = 1 – Q(2,1) =1 – 0,0803 = 0,9197; в Р) = =Q(3,1) = 0,19; г Р) = Q(0,1) = 0,632. 5. 23 . Заданную по условию вероятность можно выразить через уравнение 0,98 = 1 – Р X = 0 ), или a e a − = ! 0 02 , 0 0 . Откуда е = 0,02 и а ≈ 4 . Таким образом, среднее число отказов равно 4. Непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону, если ее плотность распределения имеет вид ( ) [ ] [ ] ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∉ = , , ; , , 0 b a x c b a x x f 5. 25 . Интегральная функция равномерно распределенной величины имеет вид ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ − − < = , 1 ; , ; , 0 ) ( b x b x a a b a x a x x F 5. 26 . М = (a+b)/2. 5. 27 . ( ) 12 2 a b D x − = . 5. 28 . 6 3 ) ( a b D x x − = = σ 5. 29 . [ ] [ ] { } , , a b X P b a − − = < ≤ ⇒ ⊂ α β β α β α 5. 30 , а) 1/4; б) 1. 5. 31 . 3/5. 5. 32 . 1/3. 5. 33 . 3. 5. 34 . Случайная величина распределена по показательному закону, если ее плотность распределения имеет вид ( где λ – интенсивность событий, те. количество событий в единицу времени. 5. 35 . Интегральная функция случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < = − 0 , 1 ; 0 , 0 ) ( t e t t F t λ 5. 36 . 1 λ = x m 5. 37 . 1 х = = = 2 1 λ σ x x D 1 λ = 5. 39 . { } b a e e b T a P λ λ − − − = < ≤ 5. 40 . ( ) ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − 0. х при , 0 ; 0 при , 5 х ) ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ − = − 0. х при , 0 ; 0 при , 1 х. Определим интегральную функцию ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < = − 0 , 1 ; 0 , 0 ) ( x e x x F x λ Искомая вероятность { } { } = < ≤ = < ≤ λ 1 0 0 X P m X P x 632 , 0 1 1 ≈ − = − = − − − e e e a λ µ λ 5. 42 . { } 555 , 0 7 , 0 13 , 0 7 , 0 3 13 , 0 3 ≈ − = < ≤ ⋅ − ⋅ − e e X P Ответы 179 5. 43 . 0,2. 5. 44. Определим константу с 1 ) ( dx x f ; ∫ ∞ ∞ − = dx x f ) ( λ λ λ c c e c dx x = − − = + = ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ − 0 0 0 0 0 ; Откуда λ = c 5. 45 . Случайная величина распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид ( ) ( ) 2 2 2 2 1 σ π σ m x e x f − − = , где σ и m – параметры распределения. 5. 46 . Интегральная функция нормально распределенной случайной величины имеет вид 1 ) ( 2 Математическое ожидание равно параметру m; среднее квадратичное отклонение – параметру σ; дисперсия – σ 2 5. 48 . ( ) 1 2 2 σ µ µ − − = s s s 5. 49 . Коэффициент асимметрии нормально распределенной случайной величины равен нулю. 5. 50 . Коэффициент островершинности нормально распределенной случайной величины равен нулю. 5. 51 . { } ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = < ≤ σ σ m a Ф m b Ф b X a P 5. 52 . m x =5, D x =25. 5. 53 . { } ( ) ≈ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = < < 1 2 5 20 15 5 20 25 25 15 Ф Ф Ф m a Ф m b Ф X P σ σ 6826 , 0 5. 54 . { } ≈ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = < ) 5 , 0 ( 2 20 0 10 20 0 10 10 Ф Ф Ф m a Ф m b Ф X P σ σ 383 , 0 5. 55 { } = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − = < < − = 4 2 4 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 d d d d d Ф d d d d d Ф d D d P P ( ) ( ) [ ] ( ) 0456 , 0 4772 , 0 2 1 2 2 1 2 2 1 = ⋅ − = − = − − − = Ф Ф Ф . 5. 56 . Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратичного отклонения. 5. 57 . Если независимые случайные величины u i распределены по стандартному нормальному закону, те. по нормальному закону с параметрами m = 0 и σ = 1, тогда случайная величина ∑ = = n i i u 1 2 2 χ распределена по закону хи-квадрат с числом степеней свободы k, равным n. 5. 58 . Если случайная величина u распределена по стандартному нормальному закону, а случайная величина v распределена по закону хи-квадрат со степенью свободы k и не зависит от u, тогда случайная величина k v u t = распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы k. |