Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов. Министерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
4.2.4. Свойства плотности распределения вероятности Плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины наследует все свойства интегральной функции распределения F(x) . При этом два первых свойства интегральной функции F(x) трансформируются водно свойство плотности распределения. 1-e свойство. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице (условие нормировки ( ) 1 = ∫ ∞ ∞ − dx x f . (4.6) Обоснование свойство получает путем взятия определенного интеграла от плотности распределения ( ) ( ) ( ) ( ) 1 Здесь ( ) 0 = ∞ − F есть первое свойство интегральной функции, а ( ) 1 = ∞ F – второе. Геометрический смысл равенства (4.6) заключается в равенстве единице площади, ограниченной графиком функции f(x) и осью абсцисс. 2-e свойство. Плотность распределения – функция неотрицательная ( ) 0 ≥ x f . (4.7) Теория вероятностей Данное свойство плотности распределения вероятности вытекает из третьего свойства интегральной функции производная от неубывающей функции не может быть отрицательной. 4.2.5. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на заданный участок Вероятность попадания непрерывной случайной величины на заданный участок а) может быть определена по универсальной формуле (4.2): { } ( ) ( Альтернативную формулу для определения этой же вероятности можно получить из (4.2) с помощью обратного преобразования (4.5): { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( После сокращения в последнем выражении подобных членов окончательно получаем { } ( ) ∫ = < ≤ b a dx x f b X a P . (4.8) На рис. 4.6 дана графическая интерпретация вероятности попадания непрерывной случайной величины на участок а. Численно значение такой вероятности равно площади заштрихованной области. f(x) x 0 a b Рис. 4.6 } { b X a P < ≤ Случайные величины 81 4.3. Числовые характеристики случайных величин Числовые характеристики случайных величин количественно определяют различные свойства случайных величин. Они позволяет проводить сравнительный анализ случайных величин, давать оценку ожидаемым результатам опыта, находить связь и определять зависимость между различными случайными величинами и многое другое. Довольно часто знание числовых характеристик дает исследователям возможность решать задачи со случайными величинами, не зная закона их распределения. Более того, для многих стохастических задач целью их решения является определение той или иной числовой характеристики. Числовые характеристики случайных величин – это неслучайные величины. Каждая числовая характеристика имеет определенное значение, которое не зависит ни от результата конкретного опыта, ни от числа проведенных опытов. Наиболее важные числовые характеристики являются предметом рассмотрения данного раздела. 4.3.1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси К числовым характеристикам положения случайной величины на числовой оси относятся математическое ожидание мода медиана. 4.3.1.1. Математическое ожидание Математическое ожидание случайной величины является наиболее важной её числовой характеристикой. Подавляющая часть всех других числовых характеристик случайной величины непосредственно связана се математическим ожиданием. Математическое ожидание случайной величины будем обозначать как m x или M[X]. Оба обозначения равноправны. В дальнейшем будем пользоваться обоими обозначениями. Теория вероятностей Определение 4.7. Математическое ожидание – это средневзвешенное по вероятностям значение случайной величины. Математическое ожидание характеризует смещение значений случайной величины на числовой оси х относительно начала координат. Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле ∑ = = n i i i x p x m 1 , (4.9) где n – общее число возможных значений случайной величины, и p i – возможное значение дискретной случайной величины и соответствующая вероятность, Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле ( ) ∫ ∞ ∞ − ⋅ = dx x f x m x , (4.10) где f(x)– плотность распределения случайной величины. На рис. 4.7 показаны две непрерывные случайные величины, заданные в виде плотности распределения и отличающиеся друг от друга математическими ожиданиями (х > х. f(x) x 0 Рис. 4.7 ( ) x f 1 ( х х Случайные величины 83 4.3.1.2. Мода Для обозначения наиболее вероятного значения случайной величины используют, так называемую, моду. Обозначается мода случайной величины символом m или M. В дальнейшем будем пользоваться обозначением m. Определение 4.8. Модой называют наиболее вероятное значение случайной величины. Мода m дискретной случайной величины равна такому её значению x m , которому соответствует максимальная вероятность { Мода m непрерывной случайной величины равна такому значению аргумента x m функции плотности распределения f(x), при котором ( ) ( На рис. 4.8 показана мода непрерывной унимодальной (с одной модой) случайной величины, заданной плотностью распределения Рис. 4.8 х мода Кроме унимодальных распределений случайных величин, различают полимодальные (риса, антимодальные (рис. 4.9, б) и безмодальные (рис. 4.9, в. f(x) x 0 Риса б) f(x) x 0 в) Теория вероятностей 84 4.3.1.3. Медиана Непрерывные случайные величины, кроме математического ожидания m x и моды m, имеют ещё одну характеристику положения на числовой оси – медиану. Эта характеристика обозначается как Ме. Определение 4.9. Медианой называют такое значение Ме случайной величины, для которого справедливо равенство { } { } Me X P Me X P > = < Перпендикуляр к числовой оси, проходящий через медиану, делит площадь ограниченную графиком плотности распределения f(x) и числовой осью x, на две равные части по 0,5 (рис. 4.10). f(x) x 0 Рис. 4.10 Me 0,5 0,5 P{X>Me} P{X<Me} Для симметричного унимодального закона распределения случайной величины значения математического ожидания, моды и медианы совпадают. 4.3.2. Моменты случайных величин Для характеристики различных свойств случайных величин используются начальные и центральные моменты. 4.3.2.1. Начальные моменты Определение 4.10. Начальным моментом го порядка называют математическое ожидание й степени случайной величины ] k k X M = α Случайные величины Для дискретной случайной величины й начальный момент определяется по формуле i n i k i k p x ∑ = = 1 α . (4.11) Для непрерывной случайной величины й начальный момент определяется по формуле ( ) dx x f x k k ∫ ∞ ∞ − = α . (4.12) 4.3.2.2. Центральные моменты Определение 4.11. Отклонение случайной величины от её математического ожидания – m x ) называют центрированной случайной величиной. Определение 4.12. Центральным моментом го порядка называют математическое ожидание й степени центрированной случайной величины µ s = M[(X-m x ) s ]. Для дискретной случайной величины й центральный момент определяется по формуле ( ) i s n i x i s p m x ∑ = − = 1 µ . (4.13) Для непрерывной случайной величины й центральный момент определяется по формуле ( ) ( ) dx x f m x s x s ∫ ∞ ∞ − − = µ . (4.14) 4.3.3. Свойства моментов случайных величин Особого внимания заслуживают свойства начальных и центральных моментов первого и второго порядков. Рассмотрим каждое из этих свойств. Теория вероятностей 86 4.3.3.1. Первый начальный момент Начальный момент го порядка α 1 случайной величины представляет собой её математическое ожидание α 1 = М = m x 4.3.3.2. Первый центральный момент Центральный момент го порядка µ 1 любой случайной величины равен нулю. Следующие преобразования первого центрального момента дискретной случайной величины подтверждают сказанное ( ) [ ] ( ) 0 1 1 1 1 Аналогичный результат дают преобразования для непрерывной случайной величины ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Первый центральный момент на практике не используется, поскольку ничего характеризовать не может. 4.3.3.3. Второй начальный момент Начальный момент го порядка α 2 случайной величины характеризует степень разброса случайной величины, а также смещение случайной величины на числовой оси относительно начала координат. Второй начальный момент дискретной случайной величины определяется по формуле α 2 = М = i n i i p x ∑ =1 2 . (4.15) Второй начальный момент непрерывной случайной величины определяется по формуле Случайные величины 87 α 2 = МВ силу того, что второй начальный момент характеризует сразу два свойства случайной величины, он как самостоятельная числовая характеристика не используется. Тем не менее, он имеет большое значение для определения других числовых характеристик, о чем будет говориться в подразделе 4.3.3.5. 4.3.3.4. Второй центральный момент Центральный момент го порядка µ 2 характеризует степень разброса случайной величины вокруг её математического ожидания. Данная числовая характеристика имеет еще другое название – дисперсия. Дисперсия – более распространенный термин, обозначается как Поскольку дисперсия характеризует только разброс случайной величины, она представляет собой по сравнению со вторым начальным моментом более важную числовую характеристику. Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле ( ) [ ] ( ) i n i x i x x p m x m X M D ∑ = − = − = = 1 2 2 2 µ . (4.17) Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле ( ) [ ] ( ) ( ) dx x f m x m X M D x x x ∫ ∞ ∞ − − = − = = 2 2 2 µ . (4.18) На рис. 4.11 показаны две непрерывные случайные величины, заданные в виде плотности распределения c одинаковыми математическими ожиданиями (х = хи отличающиеся друг от друга своей дисперсией (х > х. f(x) x 0 Рис. 4.11 ( ) x f 1 ( ) x f 2 m x Теория вероятностей 88 4.3.3.5. Связь дисперсии с начальными моментами Определение дисперсии D x для непрерывных случайных величин связано с трудоемкими вычислениями определенных интегралов. На практике дисперсию вычисляют с помощью второго начального момента и математического ожидания (первого начального моментах Следующие математические преобразования устанавливают связь дисперсии с начальными моментами ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − + − = − = − = dx x f m dx x f x m dx x f x dx x f m x m X M D x x x x x 2 2 2 В полученном выражении первый интеграл равен второму начальному моменту ( ) 2 2 α = ∫ ∞ ∞ − dx x f x ; второй интеграл – математическому ожиданию ( ) x m dx x f x = ∫ ∞ ∞ − ; третий – единице (е свойство плотности распределения ( Заменяя интегралы указанными выражениями, получим 2 2 2 2 2 Таким образом, для вычисления дисперсии случайных величин используют формулу 2 2 x x m D − = α . (4.19) 4.3.4. Среднее квадратичное отклонение Дисперсия измеряется в квадратных единицах по сравнению с единицами измерения самой случайной величины. Такое различие причиняет неудобства при анализе дисперсионных свойств случайной величины. Это связано стем, что рядовому исследователю проще сравнивать линейные размеры. Чтобы единицы измерения числовой характеристики разброса случайной величины привести к линейным, вместо дисперсии используют среднее квадратичное отклонение. Случайные величины Определение 4.13. Среднее квадратичное отклонениепредставляет собой квадратный корень из дисперсии Ошибка измерения представляет собой среднее квадратичное отклонение измеренной величины. 4.3.5. Моменты высоких порядков Для анализа случайных величин имеют значение и моменты более высоких порядков. Особого внимания заслуживают третий и четвертый центральные моменты. 4.3.5.1. Третий центральный момент и коэффициент асимметрии Третий центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень асимметрии её закона распределения. Третий центральный момент дискретной случайной величины вычисляется по формуле ( ) [ ] ( ) i n i x i x p m x m X M ∑ = − = − = 1 3 3 3 µ . (4.21) Третий центральный момент непрерывной случайной величины вычисляется по формуле ( ) [ ] ( ) ( ) dx x f m x m X M x x ∫ ∞ ∞ − − = − = 3 3 3 µ . (4.22) В случае симметричного закона распределения µ 3 = 0. Для характеристики только степени асимметрии используется коэффициент асимметрии 3 3 x s σ µ = . В случае симметричного закона распределения коэффициент асимметрии также равен нулю. Теория вероятностей На рис. 4.12 показаны две непрерывные случайные величины, заданные в виде плотности распределения, c разными по знаку коэффициентами асимметрии. f(x) x 0 m x ? 3 > 0 s > 0 f(x) x 0 Рис. 4.12 m x ? 3 < 0 s < 0 4.3.5.2. Четвертый центральный момент и величина эксцесс Четвертый центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень островершинности её закона распределения. Четвертый центральный момент дискретной случайной величины вычисляется по формуле ( ) [ ] ( ) i n i x i x p m x m X M ∑ = − = − = 1 4 4 4 µ . (4.23) Четвертый центральный момент непрерывной случайной величины вычисляется по формуле ( ) [ ] ( ) ( ) dx x f m x m X M x x ∫ ∞ ∞ − − = − = 4 4 4 µ . (4.24) Для характеристики только степени островершинности закона распределения используется величина эксцесс 3 4 4 − = x E σ µ . В случае нормального закона распределения случайной величины эксцесс равен нулю (Е = 0) . Более подробно нормальный закон распределения будет рассмотрен в подразделе 5.2.3. На рис. 4.13 показаны три непрерывные случайные величины, заданные в виде плотности распределения, c разной величиной Е. При этом первая случайная величина распределена по нормальному закону с E 1 = 0, вторая – с Е > 0, третья – с E 3 < 0. |