Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов. Министерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
1 : 5 1 : 6 б 2 : 1 2 : 2 2 : 3 2 : 4 2 : 5 2 : 6 б 3 : 1 3 : 2 3 : 3 3 : 4 3 : 5 3 : 6 б 4 : 1 4 : 2 4 : 3 4 : 4 4 : 5 4 : 6 б 5 : 1 5 : 2 5 : 3 5 : 4 5 : 5 5 : 6 б 6 : 1 6 : 2 6 : 3 6 : 4 6 : 5 6 : 6 Количество выделенных клеток равно 5. Общее количество клеток, как было указано выше, равно 36. По классической формуле имеем ч + б = 6) = 5/36. б) Дляопределения вероятности ч + б > 9) выделим в таблице пространства событий клетки, которым соответствуют элементарные события, благоприятствующие выпадению суммы очков, большей числа 9: ч ч ч ч ч ч б 1 : 1 1 : 2 1 : 3 1 : 4 1 : 5 1 : 6 б 2 : 1 2 : 2 2 : 3 2 : 4 2 : 5 2 : 6 б 3 : 1 3 : 2 3 : 3 3 : 4 3 : 5 3 : 6 б : 1 4 : 2 4 : 3 4 : 4 4 : 5 4 : 6 б 5 : 1 5 : 2 5 : 3 5 : 4 5 : 5 5 : 6 б 6 : 1 6 : 2 6 : 3 6 : 4 6 : 5 6 : 6 Количество выделенных клеток равно 6. Общее количество клеток – 36. По классической формуле имеем ч + б > 9) = 6/36. в) Дляопределения вероятности ч + б ≤ 5) выделим в таблице пространства событий клетки, которые соответствуют элементарным событиям с условием ч + б ≤ 5: ч ч ч ч ч ч б 1 : 1 1 : 2 1 : 3 1 : 4 1 : 5 1 : 6 б 2 : 1 2 : 2 2 : 3 2 : 4 2 : 5 2 : 6 б 3 : 1 3 : 2 3 : 3 3 : 4 3 : 5 3 : 6 б 4 : 1 4 : 2 4 : 3 4 : 4 4 : 5 4 : 6 б 5 : 1 5 : 2 5 : 3 5 : 4 5 : 5 5 : 6 б 6 : 1 6 : 2 6 : 3 6 : 4 6 : 5 6 : 6 Теория вероятностей Количество выделенных клеток равно 10. Общее количество клеток – 36. По классической формуле имеем ч + б ≤ 5) = 10/36. 1.72. В условиях задачи 1.71 найти следующие вероятности а не выпадения дубля б число очков на одной кости в два раза больше, чем число очков на другой кости. В старинной индийской игре «Тонг» два игрока синхронно показывают один другому или один, или два, или три пальца на правой руке. Подразумевается, что для каждого игрока одинаково возможно показать один, или два, или три пальца. Построить пространство событий, которое отвечает результатам игры. Найти вероятности событий а общее число показанных пальцев – нечетное б общее число показанных пальцев – меньше двух в) общее число показанных пальцев – простое В условиях задачи 1.73 построить пространство событий, которое отвечает результатам игры, и найти вероятности событий а по крайней мере, один игрок показал меньше трех пальцев б первый игрок показал один палец при условии, что общее число показанных пальцев меньше или равно четырем. 1.75. У мальчика в кармане есть четыре монеты номиналом 1, 5, 10 и 25 копеек. Он вынимает одну за другой две монеты. Построить соответствующее пространство событий. Найти вероятности событий а обе монеты номиналом меньше 10; б мальчик вынул меньше 20 копеек. 1.76. В условиях задачи 1.75 найти вероятности событий а мальчик вынул меньше 20 копеек или одна из монет номиналом меньше 10; б мальчик вынул меньше 20 копеек, причем одна из монет номиналом меньше 10. 1.77. Какими свойствами обладают операции суммирования и умножения событий Основные теоремы 35 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 2.1. Основные теоремы теории вероятностей Вероятность суммы событий Основные теоремы теории вероятностей позволяют по известным вероятностям простых событий определять вероятности более сложных событий. То есть предполагается, что вероятности всех событий, на которые раскладывается сложное событие, известны. Основные теоремы теории вероятностей включают две теоремы теорему о вероятности суммы двух событий теорему о вероятности произведения двух событий. Сформулируем и докажем первую из них. Теорема 2.1. Вероятность суммы двух событий Аи В равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности произведения этих же событий Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А*В). (2.1) Доказательство. Пусть исходы опыта образуют полную группу n несовместных равновозможных событий (рис. 2.1). При этом • m из них благоприятны событию А • k из них благоприятны событию Виз них благоприятны произведению событий А*В. Рис. 2.1 Теория вероятностей Тогда согласно классической формуле определения вероятности Согласно той же формуле вероятность появления события А или В Преобразуем последнее равенство ( ) ( ) (что и требовалось доказать. Следствие теоремы 2.1. Вероятность суммы двух несовместных событий Аи В равна сумме их вероятностей Р(А + В) = Р(А) + Р(В) . Следствие очевидно, поскольку произведение несовместных событий представляет собой невозможное событие, а вероятность невозможного события равна нулю ( ) 0 и * = ∅ ∅ = P B A Следствие легко обобщается на случай нескольких событий. 2.1.2. Полная группа событий и противоположные события Сумма вероятностей событий n A A A , , , 2 1 , которые составляют полную группу, равна единице 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 = + + + n A P A P A P (2.3) Докажем данное утверждение. Пусть события n A A A , , , 2 образуют полную группу в некотором пространстве событий. Тогда, по определению полной группы, их сумма равна достоверному событию 2 События n A A A , , , 2 1 несовместны, и потому клевой части приведенного выше равенства применимо следствие (2.2), те. имеем Основные теоремы 37 ( ) ) ( ) ( ) ( 2 1 2 Вероятность достоверного события, которое стоит в правой части равенства (2.4), равна единице P(U) = 1. Сопоставляя выражения (2.4) и (2.5), приходим к формуле (2.3), что и требовалось доказать. Определение 2.1. Два события Аи называются противоположными, если они образуют полную группу несовместных событий. Примеры При стрельбе по мишени два события, которые заключаются соответственно в попадании и промахе, являются противоположными. При бросании монеты, события которые заключаются в выпадении "орла" и "решки, также являются противоположными. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице Р(А) + Р ) = 1 . Согласно определению 2.1 события Аи являются несовместными и составляют полную группу. Следовательно, для них справедлива формула (2.3). Применяя формулу (2.3) к событиям Аи мы приходим к выражению (2.6). Из (2.6) вытекают равенства Р ) = 1 – Р(А) ; (2.7) Р(А) = 1 – Р ) . (2.8) 2.1.3. Зависимые и независимые события Определение 2.2. События Аи В называются независимыми, если вероятность события Ане зависит оттого, произошло событие Вили не произошло. Пример 2.1. В условиях эксперимента выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков – это события взаимно независимые. Сколько бы игральную кость не бросали, вероятности выпадения 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков не изменятся. Теория вероятностей Пример 2.2. Из урны, содержащей 3 красных и 2 синих шара, последовательно извлекают наудачу два. Появление красного шара при первом и втором извлечениях – события зависимые, поскольку вероятность появления красного шара при втором извлечении будет зависеть оттого, какой шар был извлечен при первом извлечении. Так, если первым извлеченным шаром был красный, то вероятность появления красного шара при втором извлечении равна 2/4; если – синий, то – 3/4 (см. пример 2.3). 2.1.4. Условная вероятность Определение 2.3. Для зависимых событий Аи вероятность события B , вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р А (В) или Р(B/А). В условиях примера 2.2 вероятности появления красного шара при втором извлечениях 2/4 и 3/4 – это условные вероятности. Причем вероятность 2/4 вычислена при условии, что первым извлекается красный шара вероятность 3/4 – что синий. Пример 2.3. Из урны, содержащей 3 красных и 2 синих шара, последовательно извлекают наудачу два шара. Определить вероятности появления шара каждого цвета при первом извлечении, а также условные вероятности появления шаров каждого цвета при втором извлечении. Решение Введем обозначения n – общее число шаров в урне m – число красных шаров в урне k – число синих шаров в урне A i – событие, которое заключается в том, что наудачу извлеченный й шар окажется красным, i = 1,2; B i – событие, которое заключается в том, что наудачу извлеченный й шар окажется синим, i = 1,2; Основные теоремы 39 P(A 1 ) – вероятность события A 1 ; P(B 1 ) – вероятность события B 1 ; P(A 2 /A 1 ) – условная вероятность события A 2 при условии, что произошло A 1 ; В) – условная вероятность события A 2 при условии, что произошло В В) – условная вероятность события В при условии, что произошло A 1 ; P(В 2 /В 1 ) – условная вероятность события В при условии, что произошло В 1 Тогда согласно классической формуле определения вероятности (1.1) искомые вероятности вычисляются следующим образом P(A 1 )=3/5, поскольку благоприятных исходов опыта m=3 (число красных шаров в урне, а общее число исходов n=5 (всего шаров в урне В, поскольку благоприятных исходов опыта m=2 (число синих шаров в урне, а общее число исходов n=5 (всего шаров в урне, поскольку благоприятных исходов опыта m=2 (число красных шаров после извлечения одного красного шара, а общее число исходов n=4 (всего шаров в урне после первого извлечения В, поскольку благоприятных исходов опыта m=3 (число красных шаров после извлечения одного синего шара, а общее число исходов n=4 (всего шаров в урне после первого извлечения В, поскольку благоприятных исходов опыта m=2 (число синих шаров после извлечения одного красного шара, а общее число исходов n=4 (всего шаров в урне после первого извлечения P(В 2 /В 1 )=1/4, поскольку благоприятных исходов опыта m=1 (число синих шаров в результате извлечения одного синего шара, а общее число исходов n=4 (всего шаров в урне после первого извлечения. 2.1.5. Вероятность произведения событий Теорема 2.2. Вероятность произведения двух событий Аи В равна вероятности события А, умноженной на условную вероятность события В при условии, что событие А произошло, или равна вероятности события В, умноженной на условную вероятность события А при условии, что событие В произошло Р(А*В) = Р(А) * Р А (В) = Р(В)*Р В (А) . (2.9) Теория вероятностей Доказательство Пусть исходы опыта образуют полную группу несовместных равновозможных событий (рис. 2.1). При этом m из них благоприятны событию А k из них благоприятны событию Виз них благоприятны произведению событий А*В. Тогда согласно классической формуле определения вероятности Согласно той же формуле вероятность одновременного появления событий Аи В Преобразуем последнее равенство Таким образом, теорема доказана. Следствие теоремы 2.2. Вероятность произведения двух независимых событий Аи В равна произведению их вероятностей Р(А*В) = Р(А) * Р В) . Следствие довольно просто объясняется, если принять во внимание, что для независимых событий условные вероятности совпадают с безусловными P B (A) = P(A); P А (В) = В) . Следствие легко обобщается на случай нескольких событий. Пример 2.4. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень в каждом выстреле одинакова и равна 0,9. Найти вероятность того, что в мишени будет только две пробоины Основные теоремы Решение Введем обозначения A 1 и 1 – соответственно попадание и промах при первом выстреле A 2 и 2 – соответственно попадание и промах при втором выстреле A 3 и 3 – соответственно попадание и промах при третьем выстреле. Тогда событие A, которое заключается в том, что после трех выстрелов в мишени будет только две пробоины, может наступить в случае, если стрелок либо попадет при первом и втором выстрелах и промахнётся при третьем, либо попадет при первом и третьем выстрелах и промахнётся при втором, либо попадет при втором и третьем выстрелах и промахнется при первом. С учетом введенных обозначений событие A можно разложить на простые следующим образом А = A 1 A 2 3 + A 1 2 A 3 + Поскольку слагаемые в приведенном разложении соответствуют несовместным событиям, то вероятность события A будет равна сумме вероятностей этих событий (следствие теоремы 2.1): Р(А) = Р 3 ) + Р 2 A 3 ) + Р) . А поскольку все выстрелы являются независимыми между собой, то каждое слагаемое в последнем выражении можно представить как произведение вероятностей простых событий (следствие теоремы 2.2) Р(А) = Р(A 1 )Р( A 2 )Р( 3 ) + Р(A 1 )Р( 2 )Р( А 3 ) +Р( 1 )Р( A 2 )Р( А 3 ) . Вероятности Р, Р) и Р) по условию равны 0,9. Неизвестные вероятности Р, Р) и Р) легко определяются как вероятности противоположных событий Р) = 1 – Р Р) = 1 – Р Р) = 1 – Р. То есть все они равны 0,1 . Подставляя вероятности простых событий в последнее разложение вероятности Р, получим искомый результат Р) = 0,243 . 2.2. Модели надежности технических систем 2.2.1. Надежность технических систем Теория вероятностей играет первостепенную роль в теории надежности, предоставляя ей строгий математический аппарат. В частности, расчет надежности технических систем полностью базируется на основных теоремах теории вероятностей и является удачной иллюстрацией их использования в инженерной практике. Теория вероятностей Определение 2.4. Под надежностью технической системы понимается вероятность её безотказной работы за определенный период времени Т Основные теоремы теории вероятностей позволяют определять вероятность безотказной работы системы по известным вероятностям безотказной работы отдельных ее элементов. Другими словами, основные теоремы теории вероятностей позволяют определять надежность всего изделия по известной надежности составляющих его узлов. Элементы системы могут различным образом объединяться в систему. В зависимости от способа объединения различают системы с последовательным параллельным мостовым смешанным соединением элементов. Для получения основных математических моделей надежности технических систем докажем следующую теорему. Теорема 2.3. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых совместных событий А, А, ... , А равна единице минус произведение вероятностей не появления этих событий P(A) = 1 – ∏ = n i P 1 ( i ) , где Р(А) – вероятность появления хотя бы одного из n независимых совместных событий Р) – вероятность не появления события А, i = 1, 2, … , n . Доказательство Событие А, которое заключается в появлении хотя бы одного из n совместных событий, происходит тогда, когда происходит Основные теоремы либо одно из событий А , i ∈ {1,n} ; либо два из событий А i ; либо все n событий А i Событие Ане происходит только водном случае, когда одновременно не происходят все n событий, то есть в случае = 1 2 … n . Поскольку все события i между собой независимы, то вероятность события определится в соответствии со следствием теоремы 2.2: P( ) = ∏ = n i P 1 ( i ) Согласно формуле (2.8), связывающей противоположные события, окончательно получим P(A) = 1 – ∏ = n i P 1 ( i ) . Теорема доказана. Следствие теоремы 2.3. Если вероятности появления совместных независимых событий А одинаковы и равны р, то вероятность появления хотя бы одного из них определяется по формуле где q – вероятность события i , равная (1 – p) . 2.2.2. Последовательное соединение элементов На рис. 2.2 представлена в общем виде схема системы с последовательным соединением элементов. Каждому i-му элементу поставлена в соответствие вероятность его безотказной работы р. Такая вероятность, как правило, берется изданных технического паспорта, который поставляется заводом-изготовителем вместе с элементом комплектующим узлом. Рис. 2.2 Теория вероятностей Сейчас ив дальнейшем будем считать, что система разбита на элементы так, что отказ любого из них нив коей степени не влияет на отказ остальных элементов. Отказ последовательной системы, приведенной на рис. 2.2, наступает тогда, когда отказывает хотя бы один элемент. Примером такой системы может служить гирлянда последовательно соединенных лампочек. Выход из строя хотя бы одной лампочки влечет за собой выход из строя всей гирлянды. Введем обозначения. Пусть А – событие, которое заключается в работоспособности системы за некоторый период времени Т В – событие, которое заключается в работоспособности го элемента системы за тот же период времени Т В – событие, которое заключается в работоспособности го элемента в течение времени Т |