Учебник Теория вероятности - Самойленко, Кузнецов. Министерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
. . . В – событие, которое заключается в работоспособности го элемента в течение времени Т . . . В – событие, которое заключается в работоспособности го элемента в течение времени Т. Вероятность события В равна вероятности безотказной работы Вся система работоспособна только тогда, когда работоспособны все её элементы, те. А = В 1 *В 2 * . . . В. . . В = ∏ = n i i B 1 Поскольку все события В между собой независимы, то вероятность события A определится в соответствии со следствием теоремы 2.2: Выражение (2.13) является математической моделью надежности системы последовательно соединенных элементов. Основные теоремы Анализ модели показывает, что при ∞ → n , вероятность безотказной работы системы 0 ) ( → A P , поскольку все сомножители p i < 1 . Это значит – чем сложнее система, тем ниже её надежность. Слишком сложная система неработоспособна 2.2.3. Параллельное соединение элементов На рис. 2.3 представлена в общем виде схема системы с параллельным соединением элементов. Каждому i-му элементу поставлена в соответствие вероятность его безотказной работы р Отказ системы с параллельным соединением элементов наступает тогда, когда отказывает одновременно все элементы. Примером такой системы может служить система светильников в аудитории. При выходе из строя одного или нескольких светильников остальные продолжают освещать аудиторию. Введем обозначения. Пусть А – событие, которое заключается в работоспособности всей системы за некоторый период времени Т В событие, которое заключается в работоспособности го элемента системы за тот же период времени Т В событие, которое заключается в работоспособности го элемента в течение времени Т . . . В – событие, которое заключается в работоспособности го элемента в течение времени Т . . . В – событие, которое заключается в работоспособности го элемента в течение времени Т , 1 , 2 ,…, i ,…, n – события, противоположные соответственно событиям А, В, В, ... , В, ..., В n Тогда вероятность события i согласно формуле (2.7), связывающей противоположные события, равна (1–p i ), и вся система будет Рис. 2.3 … … Теория вероятностей неработоспособна, если будут неработоспособны все её элементы, то есть = 1 * 2 *…* i *…* n . Поскольку все события i между собой независимы, то вероятность события определится в соответствии со следствием теоремы 2.2: P( ) = ( ) 1 Используя формулу (2.8), получим окончательно ( ) 1 Выражение (2.14) является математической моделью надежности системы параллельно соединенных элементов. Анализ модели показывает, что при ∞ → n , вероятность безотказной работы системы 1 ) ( → A P , поскольку произведение ( ) 0 Таким образом, ввод в систему дополнительных параллельных ветвей способствует повышению надежности системы. Так, для достижения должной надежности функционирования инженерных сетей часто прибегают к их распараллеливанию, а для повышения надежности работы приборов – к дублированию (и даже троированию) основных его узлов. 2.2.4. Смешанное соединение элементов Реальные технические системы, как правило, представляют собой сложные комбинации последовательных, параллельных и мостовых соединений. На рис. 2.4 представлен алгоритм расчета надежности сложных систем со смешанным соединением элементов – пока только с последовательными и параллельными соединениями. Расчет мостовых соединений элементов будет рассмотрен позднее в подразделе 3.1.3. Как следует из алгоритма на рис. 2.4, расчет смешанных систем представляет собой циклический процесс замены участков системы с однотипным соединением элементов одним элементом с эквивалентной надежностью, рассчитанной по формуле (2.13) в случае последовательного соединения или по формуле (2.14) в случае параллельного соединения элементов. Основные теоремы Начало Выделение участка системы U с однотипным соединением элементов Тип участка U? Расчет надежности по формуле ∏ = = n i i p P 1 Расчет надежности по формуле ∏ = − − = n i i p P 1 ) 1 ( 1 Замена участка одним элементом с надежностью Р Система состоит из одного элемента? Конец Искомая надежность Р Последовательный Параллельный Нет Да 1 2 3 4 5 6 7 Рис. 2.4. Схема алгоритма расчета надежности системы со смешанным соединением элементов Циклический процесс замены продолжается до тех пор, пока схема системы не будет включать только один элемент. Рассчитанная эквивалентная надежность этого элемента и будет являться искомой надежностью системы. 2.3. Практикум и вопросы для самоконтроля 2.1. Какие теоремы теории вероятности называют основными 2.2. Как читается основная теорема о вероятности суммы двух событий 2.3. Каково следствие основной теоремы о вероятности суммы двух событий 2.4. Какие события называются противоположными 2.5. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий 2.6. Какие события являются независимыми 2.7. Дать определение условной вероятности. 2.8. Как обозначается условная вероятность 2.9. Как читается основная теорема о вероятности произведения двух событий 2.10. Каково следствие основной теоремы о вероятности произведения двух событий 2.11. Что понимают под надежностью технической системы Теория вероятностей 48 2.12. Как подразделяются технические системы в зависимости от способа соединения их элементов 2.13. Чему равна вероятность появления хотя бы одного из n независимых совместных событий 2.14. Как определяется вероятность безотказной работы системы последовательно соединенных элементов 2.15. Чему равна вероятность безотказной работы системы из бесконечного числа последовательно соединенных элементов 2.16. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор. 2.17. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. 2.18. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочниках, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится а только водном справочнике б только в двух справочниках в во всех трех справочниках гни водном справочнике. 2.19. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящиках, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится а не более чем в трех ящиках б не менее чем в двух ящиках. 2.20. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает три вопроса, предложенные ему экзаменатором. 2.21. Устройство содержит 2 независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти Основные теоремы вероятность отказа всего устройства, если оно является следствием отказа хотя бы одного элемента. 2.22. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле. 2.23. Как определяется вероятность безотказной работы системы параллельно соединенных элементов 2.24. Чему равна вероятность безотказной работы системы из бесконечного числа последовательно соединенных элементов 2.25. Как производят расчет надежности систем со смешанным соединением элементов 2.26. Определить надежность технической системы, изображенной на рис. 2.5, по известным вероятностям безотказной работы отдельных её элементов. p 1 p 1 p 2 p 2 Рис. 2.5 2.27. Определить надежность технической системы, изображенной на рис. 2.6, по известным вероятностям безотказной работы отдельных её элементов. p 1 p 3 p 2 p 2 Рис. 2.6 2.28. Определить надежность технической системы, изображенной на рис. 2.7, по известным вероятностям безотказной работы отдельных её элементов. p 1 p 1 p 2 p 3 Рис. 2.7 p 2 p 2 p 3 Теория вероятностей 50 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ 3.1. Алгебра гипотез 3.1.1. Формула полной вероятности Формула полной вероятности используется для определения средней вероятности события А, которое может произойти только с одним из полной группы несовместных событий Н, i = 1, 2, … , n. При этом известны априорные (доопытные) вероятности событий Ни условные вероятности наступления события А при условии, что произошло то или иное событие Н i События Н принято называть гипотезами, поскольку средняя вероятность события А определяется в момент, когда неизвестно, какое из событий Н произойдет и повлечет за собой наступление события А. На рис. 3.1 дана графическая интерпретация условиями данным, при которых определяется средняя вероятность. Здесь используются следующие обозначения Р(А) – полная, или средняя, вероятность события А (длинная полужирная линия Р(Н i ) – априорная вероятность гипотезы Н (площадь го прямоугольника, i = 1, 2, … , n ; РАН) – условная вероятность наступления события А при условии, что осуществилась таили иная гипотеза Н (короткая полужирная линия в м прямоугольнике, i = 1, 2, … , n . Как показано на рис. 3.1, сумма вероятностей гипотез должна равняться единице (общая площадь всех прямоугольников, а средняя вероятность наступления события А должна быть больше (выше) самой маленькой из условных вероятностей РАН) и меньше (ниже) самой большой, то есть находиться внутри прямоугольника с пунктирным контуром. Приложения основных теорем Рис. 3.1 Теорема 3.1. Если некоторое событие А может произойти только с одним из полной группы несовместных событий (гипотез) Ни известна априорная вероятность Р(Н i ) каждой гипотезы и условные вероятности РАН) события А при условии, что осуществилась таили иная гипотеза, то полная, или средняя, вероятность события А определяется по формуле ( ) ( ) (Доказательство Событие А может произойти либо совместно с событием Н, либо с Н, ... , либо с Н, то есть сложное событие А может быть разложено следующим образом А = НА + НА + ... + НА . Покажем, что из несовместности Н следует факт несовместности НА. Если Н i *Н j = ∅, то НА НА Н Н (Н Н ∅*A=∅ . Отсюда вероятность события А определяется в соответствии со следствием теоремы 2.1, то есть А) = НА) + НА) + ... + НА) . Применяя к каждому слагаемому последнего выражения теорему 2.2, получим АН) РАН) + Р(Н 2 ) РАН) + ... + Р(Н n )Р(А/Н n ) = ( ) (что и требовалось доказать. Теория вероятностей Пример 3.1. Завод выпускает видеомагнитофоны с гарантийным сроком эксплуатации один год. Известно, что 20% продукции будет эксплуатироваться в Заполярье, 75% – в местности с умеренным климатом, 5% – в пустыне. Известны также вероятности безотказной работы видеомагнитофонов в каждом регионе в течение гарантийного срока 0,9 – в Заполярье 0.99 – в местности с умеренным климатом 0,8 – в пустыне. Необходимо определить какой процент изделий следует выпустить дополнительно к плану для замены отказавших в течение гарантийного срока. При этом считается, что при замене изделий последние не отказывают. Решение Введем обозначения А – безотказная работа видеомагнитофона Н – гипотеза, состоящая в том, что изделие будет эксплуатироваться в Заполярье Н – гипотеза, состоящая в том, что изделие будет эксплуатироваться в местности с умеренным климатом Н – гипотеза, состоящая в том, что изделие будет эксплуатироваться в пустыне. Тогда вероятности осуществления гипотез, исходя из условия примера, составят – для гипотезы Н величину Н) = 20% / 100% = 0,2 ; – для гипотезы Н величину Н) = 75% / 100% = 0,75 ; – для гипотезы Н величину НА соответствующие условные вероятности события А в соответствии стем же условием составят РАН) = 0,9; РАН) = 0,99; РАН) = 0,8 . Дополнительно к плану следует выпустить столько изделий, сколько их откажет во всех регионах. Искомый дополнительный процент изделий – это средняя вероятность отказа изделий по всем регионам, умноженная на 100%. Определим сначала среднюю вероятность безотказной работы изделия Приложения основных теорем 53 ( ) ( ) ( ) ∑ = = 3 1 / i i i H A P H P A P = 0,2*0,9 + 0,75*0,99 + 0,05*0,8 = 0,9625 . Согласно формуле (2.7), связывающей противоположные события, средняя вероятность отказа изделий по всем регионам определится как Р ) = 1 – Р(А) = 1 – 0,9625 = 0,0375 . Искомое решение Р ) * 100% = 3,75% . 3.1.2. Формула Байеса Формула Байеса используется в тех же условиях, что и формула полной вероятности. Единственное отличие состоит в том, что событие А уже произошло. Формула Байеса позволяет определять апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез Р(Н j А, j=1, 2, … , n , те. условные вероятности гипотез при условии, что событие А произошло. Теорема 3.2. Если некоторое событие А может произойти только с одним из полной группы несовместных событий (гипотез) Ни известны априорные вероятности гипотез Р(Н i ), условные вероятности Р(А/Н i ) события А при условии, что осуществилась таили иная гипотеза, а также известно, что событие А произошло, то апостериорная вероятность гипотезы Н j (j ∈ {1,2,…,n}) определяется по формуле ( ) ( ) ( ) ( ) (Доказательство На основании теоремы 2.2 о вероятности произведения двух событий определим вероятность одновременного появления событий Аи Н (j ∈ {1,2,…,n}) водном опыте РАН) = РАНА P(Н j )*P(А/Н j ) Вторую часть полученного соотношения, то есть равенство РАНА P(Н j )*P(А/Н j ) , Теория вероятностей разрешим относительно величины НА) (В знаменателе выражения (3.3) стоит полная вероятность Р(А), которая согласно теореме 3.1 определяется суммой ( ) (Подставляя в (3.3) указанную сумму, окончательно получим ( ) = A H P j / ( ) ( ) ( ) ( ) / / 1 ∑ = = n i i i j j H A P H P H A P H P Теорема доказана. Прикладное значение формулы Байеса довольно велико. Она находит свое применение в • распознавании образов для выявления объектов по их нечеткому изображению, • технической диагностике для поиска неисправности, • в медицинской диагностике для постановки диагноза больному, • в радиолокационной технике для отделения сигнала от шума и во многих других задачах, когда необходимо выявить вероятную причину (гипотезу) происшедшего события. Формула Байеса, используя информацию о факте наступления события, обеспечивает коррекцию априорных вероятностей гипотез, что позволяет более объективно судить о причине, побудившей это событие. Пример 3.2. Пусть на завод-изготовитель поступила рекламация на отказавший видеомагнитофон, условия эксплуатации которого были оговорены в примере 3.1. Необходимо определить, в каком регионе вероятнее всего он эксплуатировался. Решение По условию задачи происшедшим событием является отказ видеомагнитофона. Если оставаться в рамках обозначений, которые имели место при решении примера 3.1, то это событие обозначается . Его средняя вероятность Р ) уже рассчитана и составляет 0,0375. Условные вероятности события при условии, что произошла таили иная гипотеза, определяются следующим образом Приложения основных теорем Р Н = 1 – РАН Р Н = 1 – РАН Р Н = 1 – РАН. Апостериорные вероятности гипотез о предполагаемом регионе эксплуатации отказавшего видеомагнитофона, согласно формуле Байеса, определятся следующим образом для гипотезы Н (эксплуатация в Заполярье) для гипотезы Н (эксплуатация в местности с умеренным климатом) для гипотезы Н (эксплуатация в пустыне) Таким образом, наиболее вероятным регионом, из которого поступила рекламация, является Заполярье. Данная гипотеза имеет самую большую апостериорную вероятность – 0,5333 . 3.1.3. Надежность систем с мостовым соединением элементов Формула полной вероятности, также как и формула Байеса, имеет большое прикладное значение. Одним из ее возможных практических приложений является расчет надежности технических систем с мостовым соединением элементов. В данном разделе будет рассмотрена методика расчета мостовых систем на примере простой системы с одним мостом. Расчет надежности систем с большим числом мостов является сложной инженерной задачей ив данном курсе не рассматривается. На рис. 3.2 представлена схема системы с одним мостом. Каждому плечу мостового соединения поставлена в соответствие вероятность его Теория вероятностей безотказной работы р (i = 1,2,3,4) за некоторый период времени Т. Самому мосту поставлена в соответствие аналогичная вероятность р м Рис. 3.2 Рис. 3.3 Рис. 3.4 Введем обозначения А – событие, которое заключается в работоспособности системы за некоторый период времени Т Н – гипотеза, которое заключается в работоспособности моста в течение времени Т Н – гипотеза, которое заключается в выходе из строя моста в течение времени Т. Вероятность гипотезы Н соответствует величине р м , а вероятность гипотезы Н – величине (1–р м ). Вычислим условные вероятности события А в предположении, что осуществилась таили иная гипотеза. Так, условная вероятность события А в предположении, что осуществилась гипотеза Н 1 , соответствует надежности смешанной системы, изображенной на рис. 3.3, то есть РАН = [1– (1– р р (1– р – р а условная вероятность события А в предположении, что осуществилась гипотеза Н, соответствует надежности смешанной системы, изображенной на рис. 3.4, то есть РАН р 1 р 3 )(1 – р 2 р 4 )] Искомая вероятность безотказной работы системы, приведенной на рис. 3.2, равна средней вероятности события А Эта вероятность в соответствии с теоремой 3.1 определяется по формуле (3.1): Приложения основных теорем 57 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = = ∑ = 2 2 1 1 2 1 / / / H A P H P H A P H P H A P H P A p i i i = р м [1– (1– р р [1– (1– р р + (1– р м ) [1– (1– р 1 р 3 )(1– р 2 р 4 )] При равновесных плечах мостового соединения (р = р, i=1,2,3,4) формула (3.4) упрощается ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 1 1 1 1 1 2 2 Выражения (3.4) и (3.5) являются математическими моделями надежности для систем с одним мостовым соединением элементов соответственно с неравновесными и равновесными плечами мостового соединения. |